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13. ★★ 在$△ ABC$中，$(2\cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0$，则$△ ABC$一定是（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
D
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
13. D 解析:由$(2\cos A-\sqrt{2})^2+|1-\tan B|=0$,得 $2\cos A-\sqrt{2}=0$,$1-\tan B=0$,解得 $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\tan B=1$,即 $∠ A=45°$,$∠ B=45°$,则△ABC 一定是等腰直角三角形,故选 D.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构：平方项和绝对值均属于非负数，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，据此可得到两个关于三角函数的方程，求解得到$\cos A$和$\tan B$的值，再结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$和$∠ B$的度数，最后利用三角形内角和求出$∠ C$的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值都是非负数，即$(2\cos A - \sqrt{2})^2≥0$，$|1 - \tan B|≥0$，且两者的和为0，
∴ $\begin{cases}2\cos A - \sqrt{2}=0 \\1 - \tan B=0\end{cases}$，
分别求解得：$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=1$，
∵ $∠ A$、$∠ B$是三角形内角，取值范围为$0°＜∠ A＜180°$，$0°＜∠ B＜180°$，
∴ $∠ A=45°$，$∠ B=45°$，
∴ $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-45°=90°$，
因此$△ ABC$有一个直角，且两个锐角相等，是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值以及三角形形状的判定，解题核心是熟练运用非负性求出对应角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的结构：平方项和绝对值均属于非负数，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，据此可得到两个关于三角函数的方程，求解得到$\cos A$和$\tan B$的值，再结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$和$∠ B$的度数，最后利用三角形内角和求出$∠ C$的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值都是非负数，即$(2\cos A - \sqrt{2})^2≥0$，$|1 - \tan B|≥0$，且两者的和为0，
∴ $\begin{cases}2\cos A - \sqrt{2}=0 \\1 - \tan B=0\end{cases}$，
分别求解得：$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=1$，
∵ $∠ A$、$∠ B$是三角形内角，取值范围为$0°＜∠ A＜180°$，$0°＜∠ B＜180°$，
∴ $∠ A=45°$，$∠ B=45°$，
∴ $∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-45°=90°$，
因此$△ ABC$有一个直角，且两个锐角相等，是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值以及三角形形状的判定，解题核心是熟练运用非负性求出对应角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.8
14. ★★★ 如图，BD是菱形ABCD的对角线，$CE ⊥ AB$于点E，交BD于点F，且点E是AB的中点，则$\tan∠ BFE$的值是（
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
B
）A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
14. B 解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AB=BC$.
∵ $CE ⊥ AB$,点 E 是 AB 的中点,
∴ $AC=BC$,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ $∠ ABC=60°$,
∴ $∠ EBF=30°$,
∴ $∠ BFE=60°$,
∴ $\tan∠ BFE=\sqrt{3}$.故选 B.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AB=BC$.
∵ $CE ⊥ AB$,点 E 是 AB 的中点,
∴ $AC=BC$,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ $∠ ABC=60°$,
∴ $∠ EBF=30°$,
∴ $∠ BFE=60°$,
∴ $\tan∠ BFE=\sqrt{3}$.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质得到AB=BC，再根据CE垂直且平分AB，利用垂直平分线的性质推出AC=BC，从而判断出△ABC是等边三角形，得到∠ABC的度数；再利用菱形对角线平分内角的性质求出∠EBF的度数，最后在直角三角形BEF中结合直角三角形两锐角互余得到∠BFE的度数，计算其正切值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC。
∵ CE⊥AB，点E是AB的中点，
∴ CE是AB的垂直平分线，
∴ AC=BC，
∴ AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC=60°。
∵ BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴ ∠EBF=½∠ABC=30°。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BEF=90°，
∴ ∠BFE=90°-30°=60°，
∴ tan∠BFE=tan60°=√3。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于几何小综合题，将菱形性质、垂直平分线性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数值结合考查，解题的突破口是推导得出△ABC是等边三角形，对基础几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合菱形的性质得到AB=BC，再根据CE垂直且平分AB，利用垂直平分线的性质推出AC=BC，从而判断出△ABC是等边三角形，得到∠ABC的度数；再利用菱形对角线平分内角的性质求出∠EBF的度数，最后在直角三角形BEF中结合直角三角形两锐角互余得到∠BFE的度数，计算其正切值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC。
∵ CE⊥AB，点E是AB的中点，
∴ CE是AB的垂直平分线，
∴ AC=BC，
∴ AB=BC=AC，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC=60°。
∵ BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴ ∠EBF=½∠ABC=30°。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BEF=90°，
∴ ∠BFE=90°-30°=60°，
∴ tan∠BFE=tan60°=√3。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于几何小综合题，将菱形性质、垂直平分线性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数值结合考查，解题的突破口是推导得出△ABC是等边三角形，对基础几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15. 已知α为锐角, 当$\frac{2}{1-\tan α}$无意义时, $\tan(α+15°)-\tan(α-15°)$的值是
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
.答案
15. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 解析:当$\frac{2}{1-\tan α}$无意义时,$1-\tan α=0$,得 $\tan α=1$,即 $α=45°$,则 $\tan(α+15°)-\tan(α-15°)=\tan 60°-\tan 30°=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。据此先列出关于$\tanα$的方程，求出$\tanα$的值；再结合α是锐角的限制，确定α的具体度数；最后将α的度数代入待求式，利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵分式$\frac{2}{1-\tan α}$无意义
∴分母$1-\tan α=0$，解得$\tan α=1$
又
∵α为锐角，$\tan45°=1$
∴$α=45°$
将$α=45°$代入$\tan(α+15°)-\tan(α-15°)$得：
$\tan(45°+15°)-\tan(45°-15°)$
$=\tan60°-\tan30°$
$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 特殊角的三角函数值
3. 角度运算
【点评】
本题是基础综合题，将分式的相关性质与锐角三角函数结合考查，解题的关键是熟练掌握分式无意义的判定条件以及30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，计算时注意通分运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。据此先列出关于$\tanα$的方程，求出$\tanα$的值；再结合α是锐角的限制，确定α的具体度数；最后将α的度数代入待求式，利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵分式$\frac{2}{1-\tan α}$无意义
∴分母$1-\tan α=0$，解得$\tan α=1$
又
∵α为锐角，$\tan45°=1$
∴$α=45°$
将$α=45°$代入$\tan(α+15°)-\tan(α-15°)$得：
$\tan(45°+15°)-\tan(45°-15°)$
$=\tan60°-\tan30°$
$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 特殊角的三角函数值
3. 角度运算
【点评】
本题是基础综合题，将分式的相关性质与锐角三角函数结合考查，解题的关键是熟练掌握分式无意义的判定条件以及30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，计算时注意通分运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
16. ★★★ 下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容,请先阅读这段内容,再解答问题.三角函数中常用公式$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$,求$\sin75°$的值,即$\sin75°=\sin(30°+45°)=\sin30°\cos45°+\cos30°\sin45°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.试用公式$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$,求出$\cos75°$的值是
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
.答案
16. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 解析:
∵ $\cos(α+β)=\cos α\cos β-\sin α\sin β$,
∴ $\cos 75°=\cos(30°+45°)=\cos 30°\cos 45°-\sin 30°\sin 45°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
∵ $\cos(α+β)=\cos α\cos β-\sin α\sin β$,
∴ $\cos 75°=\cos(30°+45°)=\cos 30°\cos 45°-\sin 30°\sin 45°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的余弦和角公式，第一步将75°拆分为两个已知三角函数值的特殊角30°与45°的和，第二步将α=30°、β=45°代入题目给出的$\cos(α+β)$公式中，第三步代入30°、45°对应的正弦、余弦特殊值，最后按照二次根式的运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据题中给出的公式$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$，
将$75°$转化为$30°+45°$代入公式可得：
$\cos75°=\cos(30°+45°)=\cos30°\cos45°-\sin30°\sin45°$
代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$\cos75°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 新公式迁移应用
3. 二次根式运算
【点评】
本题是典型的信息给予类题型，核心考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力，解题的关键是准确拆分角度、正确套用公式，计算过程中要注意二次根式乘法和减法的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题目给出的余弦和角公式，第一步将75°拆分为两个已知三角函数值的特殊角30°与45°的和，第二步将α=30°、β=45°代入题目给出的$\cos(α+β)$公式中，第三步代入30°、45°对应的正弦、余弦特殊值，最后按照二次根式的运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据题中给出的公式$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$，
将$75°$转化为$30°+45°$代入公式可得：
$\cos75°=\cos(30°+45°)=\cos30°\cos45°-\sin30°\sin45°$
代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$\cos75°=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 新公式迁移应用
3. 二次根式运算
【点评】
本题是典型的信息给予类题型，核心考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力，解题的关键是准确拆分角度、正确套用公式，计算过程中要注意二次根式乘法和减法的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
17. 已知$α$为锐角，且$\tan α$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的一个根，求$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)$的值。
答案
17. 解方程$x^2+2x-3=0$,得$x_1=1$,$x_2=-3$.
∵ $α$是锐角,
∴ $\tan α＞0$,
∴ $\tan α=1$,
∴ $α=45°$,
∴ $2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)=2\sin^245°+\cos^245°-\sqrt{3}\tan 60°=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 -\sqrt{3}×\sqrt{3}=1+\frac{1}{2}-3=-\frac{3}{2}$.
∵ $α$是锐角,
∴ $\tan α＞0$,
∴ $\tan α=1$,
∴ $α=45°$,
∴ $2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)=2\sin^245°+\cos^245°-\sqrt{3}\tan 60°=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 -\sqrt{3}×\sqrt{3}=1+\frac{1}{2}-3=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步结合α是锐角的条件，可知锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanα的值，进而确定α的度数；第三步将α的度数代入待求的三角函数式，利用特殊角的三角函数值逐一计算各项，最终求出结果。
【解析】
解：解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
∵α为锐角，锐角的正切值大于0，
∴$\tanα＞0$，故$\tanα=1$，
∴$α=45°$。
将$α=45°$代入$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)$得：
原式$=2\sin^245°+\cos^245°-\sqrt{3}\tan60°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1+\frac{1}{2}-3$
$=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 特殊角的三角函数值
3. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是方程与三角函数的综合题，难度不大，解题时需注意结合锐角的三角函数取值范围筛选方程的根，计算时要熟记特殊角的三角函数值，避免因记错数值导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步结合α是锐角的条件，可知锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanα的值，进而确定α的度数；第三步将α的度数代入待求的三角函数式，利用特殊角的三角函数值逐一计算各项，最终求出结果。
【解析】
解：解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
∵α为锐角，锐角的正切值大于0，
∴$\tanα＞0$，故$\tanα=1$，
∴$α=45°$。
将$α=45°$代入$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)$得：
原式$=2\sin^245°+\cos^245°-\sqrt{3}\tan60°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1+\frac{1}{2}-3$
$=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 特殊角的三角函数值
3. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是方程与三角函数的综合题，难度不大，解题时需注意结合锐角的三角函数取值范围筛选方程的根，计算时要熟记特殊角的三角函数值，避免因记错数值导致计算错误。
【难度系数】
0.7
18. ★★★ 求下列各式的值.
(1)a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足$a^2=(c+b)(c-b)$和$4c-5b=0$,求$\cos A+\sin B$的值；
(2)已知∠A为锐角,且$\tan A=\sqrt{3}$,求$\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A$的值.
(1)a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足$a^2=(c+b)(c-b)$和$4c-5b=0$,求$\cos A+\sin B$的值；
(2)已知∠A为锐角,且$\tan A=\sqrt{3}$,求$\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A$的值.
答案
18. (1)由$a^2=(c+b)(c-b)$得$c^2=a^2+b^2$,
∴ $∠ C=90°$.由$4c-5b=0$得$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$,
∴ $\cos A=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$,
∴ $\sin B=\cos A=\frac{4}{5}$,
∴ $\cos A+\sin B=\frac{8}{5}$.
(2)
∵ A 为锐角,$\tan A=\sqrt{3}$,
∴ $∠ A=60°$,
∴ $\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 +2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}+1$.
∴ $∠ C=90°$.由$4c-5b=0$得$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$,
∴ $\cos A=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$,
∴ $\sin B=\cos A=\frac{4}{5}$,
∴ $\cos A+\sin B=\frac{8}{5}$.
(2)
∵ A 为锐角,$\tan A=\sqrt{3}$,
∴ $∠ A=60°$,
∴ $\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 +2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}+1$.
解析
【分析】
(1) 首先对已知等式$a^2=(c+b)(c-b)$利用平方差公式变形，可得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理判断$△ ABC$的形状，确定直角；再根据$4c-5b=0$得到边$b$与$c$的比值，结合三角函数的定义求出$\cos A$，再利用直角三角形中两锐角互余的三角函数关系得到$\sin B$的值，最后求和即可。
(2) 先根据$\tan A=\sqrt{3}$且$∠ A$为锐角，确定$∠ A$的度数，再将对应的特殊角三角函数值代入式子计算即可。
【解析】
(1) 对$a^2=(c+b)(c-b)$展开变形：
$a^2=c^2-b^2$，移项得$c^2=a^2+b^2$，
根据勾股定理逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
由$4c-5b=0$可得$4c=5b$，即$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
因为$∠ A+∠ B=90°$，互余两角的正弦等于余弦，所以$\sin B=\cos A=\frac{4}{5}$，
因此$\cos A+\sin B=\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$。
(2) 已知$∠ A$为锐角，且$\tan A=\sqrt{3}$，根据特殊角的三角函数值可知$∠ A=60°$。
将$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入式子：
$\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}$
$=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{5}$；(2)$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理，特殊角的三角函数值，互余角的三角函数性质
【点评】
本题主要考查直角三角形的判定与三角函数的应用，需要熟练掌握勾股定理逆定理、特殊角的三角函数值，以及直角三角形中互余角的三角函数关系，计算时要注意数值代入的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 首先对已知等式$a^2=(c+b)(c-b)$利用平方差公式变形，可得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理判断$△ ABC$的形状，确定直角；再根据$4c-5b=0$得到边$b$与$c$的比值，结合三角函数的定义求出$\cos A$，再利用直角三角形中两锐角互余的三角函数关系得到$\sin B$的值，最后求和即可。
(2) 先根据$\tan A=\sqrt{3}$且$∠ A$为锐角，确定$∠ A$的度数，再将对应的特殊角三角函数值代入式子计算即可。
【解析】
(1) 对$a^2=(c+b)(c-b)$展开变形：
$a^2=c^2-b^2$，移项得$c^2=a^2+b^2$，
根据勾股定理逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
由$4c-5b=0$可得$4c=5b$，即$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
因为$∠ A+∠ B=90°$，互余两角的正弦等于余弦，所以$\sin B=\cos A=\frac{4}{5}$，
因此$\cos A+\sin B=\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$。
(2) 已知$∠ A$为锐角，且$\tan A=\sqrt{3}$，根据特殊角的三角函数值可知$∠ A=60°$。
将$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入式子：
$\sin^2 A+2\sin A\cos A+\cos^2 A$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}$
$=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{5}$；(2)$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理，特殊角的三角函数值，互余角的三角函数性质
【点评】
本题主要考查直角三角形的判定与三角函数的应用，需要熟练掌握勾股定理逆定理、特殊角的三角函数值，以及直角三角形中互余角的三角函数关系，计算时要注意数值代入的准确性。
【难度系数】
0.7
19. 在学习《解直角三角形》一章时,小华同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一般研究.
(1)初步尝试:我们知道:$\tan 60°=\_\_\_\_\_\_2\tan \frac{1}{2}A$(填“=”或“≠”).
(2)实践探究:在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,求$\tan \frac{1}{2}A$的值”这一问题时,小华想构造包含$\frac{1}{2}∠ A$的直角三角形,延长$CA$到点$D$,使$DA=AB$,连接$BD$,所以得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$,即转化为求$∠ D$的正切值,请按小华的思路求$\tan \frac{1}{2}∠ BAC$的值.
(3)拓展延伸:如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$.请模仿小华的思路或者用你的新思路,试着求一求:
①$\tan 2A$的值;
②$\tan 3A$的值.
(1)初步尝试:我们知道:$\tan 60°=\_\_\_\_\_\_2\tan \frac{1}{2}A$(填“=”或“≠”).
(2)实践探究:在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,求$\tan \frac{1}{2}A$的值”这一问题时,小华想构造包含$\frac{1}{2}∠ A$的直角三角形,延长$CA$到点$D$,使$DA=AB$,连接$BD$,所以得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$,即转化为求$∠ D$的正切值,请按小华的思路求$\tan \frac{1}{2}∠ BAC$的值.
(3)拓展延伸:如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$.请模仿小华的思路或者用你的新思路,试着求一求:
①$\tan 2A$的值;
②$\tan 3A$的值.
答案
19. (1)$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ≠ 解析:$\tan 60°=\sqrt{3}$,$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$,发现结论:$\tan A≠2\tan \frac{1}{2}A$.
(2)在 Rt△ABC 中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}$,
,延长 CA 至点 D,使得 $DA=AB$,∴ $AD=AB=\sqrt{5}$,
∴ $∠ D=∠ ABD$,
∴ $∠ BAC=2∠ D$,$CD=AD+AC=2+\sqrt{5}$,
∴ $\tan \frac{1}{2}∠ BAC=\tan D=\frac{BC}{DC}=\sqrt{5}-2$.
(3)①
,作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,连接 BE,则 $AE=BE$,∴ $∠ A=∠ ABE$,
∴ $∠ BEC=2∠ A$.
∵ 在 Rt△ABC 中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$\tan A=\frac{1}{3}$,
∴ $BC=1$,
∴ $AB=\sqrt{10}$.设 $AE=x$,则 $EC=3-x$,在 Rt△EBC 中,$x^2=(3-x)^2+1$,解得 $x=\frac{5}{3}$,即 $AE=BE=\frac{5}{3}$,$EC=\frac{4}{3}$,
∴ $\tan 2A=\tan∠ BEC=\frac{BC}{EC}=\frac{3}{4}$.
②
,在图②的基础上作 BM 交 AC 于点 M,使 $∠ MBE=∠ EBA$,则 $∠ BMC=∠ A+∠ MBA=3∠ A$.设 $EM=y$,则 $MC=EC-EM=\frac{4}{3}-y$.∵ $∠ MBE=∠ EBA$,设点 E 到 AB,BM 边的距离为 d,根据等面积可得 $\frac{\frac{1}{2}AB×d}{\frac{1}{2}BM×d}=\frac{\frac{1}{2}AE×CB}{\frac{1}{2}EM×CB}$,
∴ $\frac{AB}{BM}=\frac{AE}{EM}$,即 $\frac{\sqrt{10}}{BM}=\frac{\frac{5}{3}}{y}$,
∴ $BM=\frac{3\sqrt{10}}{5}y$.在 Rt△MBC 中,$BM^2=CM^2+BC^2$,即 $(\frac{3\sqrt{10}}{5}y)^2=(\frac{4}{3}-y)^2+1$,整理得 $117y^2+120y-125=0$,解得 $y_1=\frac{25}{39}$,$y_2=-\frac{5}{3}$(不合题意,舍去),即 $EM=\frac{25}{39}$,$CM=\frac{4}{3}-\frac{25}{39}=\frac{9}{13}$,
∴ $\tan 3A=\tan∠ BMC=\frac{BC}{MC}=\frac{1}{\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}$.
解析
【分析】
(1) 先回忆60°、30°的特殊角正切值，分别计算$\tan60°$和$2\tan30°$的结果，比较大小即可填空。
(2) 先用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$长度，再根据构造的等腰$△ ABD$得出$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$，求出$CD$的长度后，在$\mathrm{Rt}△ BCD$中计算$∠ D$的正切值，即可得到$\tan\frac{1}{2}∠ BAC$的值。
(3) ① 求$\tan2A$时，作$AB$的垂直平分线构造等腰$△ ABE$，推出$∠ BEC=2∠ A$，设$AE=x$，在$\mathrm{Rt}△ BEC$中用勾股定理列方程求出$x$，得到$EC$长度后，计算$∠ BEC$的正切值即可。
② 求$\tan3A$时，在①的基础上构造$∠ MBE=∠ EBA$，推出$∠ BMC=3∠ A$，结合角平分线的性质得到线段比例关系，设$EM=y$，在$\mathrm{Rt}△ MBC$中用勾股定理列方程求解$y$，得到$CM$长度后，计算$∠ BMC$的正切值即可。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，当$A=60°$时，$\frac{1}{2}A=30°$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$2\tan\frac{1}{2}A=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故填$≠$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
延长$CA$至点$D$，使得$DA=AB$，则$AD=AB=\sqrt{5}$，
$\therefore ∠ D=∠ ABD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ D+∠ ABD=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又$CD=AD+AC=\sqrt{5}+2$，
$\therefore \tan\frac{1}{2}∠ BAC=\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$。
(3) ①，作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$E$，连接$BE$，则$AE=BE$，
$\therefore ∠ A=∠ ABE$，
$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BC=AC×\tan A=3×\frac{1}{3}=1$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC-AE=3-x$，
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：$BE^2=EC^2+BC^2$，即$x^2=(3-x)^2+1^2$，
展开解方程得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$，
$\therefore AE=BE=\frac{5}{3}$，$EC=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$，
$\therefore \tan2A=\tan∠ BEC=\frac{BC}{EC}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$。
②，在图②的基础上作$BM$交$AC$于点$M$，使$∠ MBE=∠ EBA$，则$∠ MBA=2∠ A$，
$\therefore ∠ BMC=∠ A+∠ MBA=3∠ A$。
设$EM=y$，则$MC=EC-EM=\frac{4}{3}-y$。
$\because ∠ MBE=∠ EBA$，$BE$是$∠ ABM$的角平分线，设点$E$到$AB$、$BM$边的距离为$d$，
根据三角形面积公式可得$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ MBE}}=\frac{\frac{1}{2}AB× d}{\frac{1}{2}BM× d}=\frac{AB}{BM}$，同时$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ MBE}}=\frac{\frac{1}{2}AE× BC}{\frac{1}{2}EM× BC}=\frac{AE}{EM}$，
$\therefore \frac{AB}{BM}=\frac{AE}{EM}$，代入数据得$\frac{\sqrt{10}}{BM}=\frac{\frac{5}{3}}{y}$，解得$BM=\frac{3\sqrt{10}}{5}y$。
在$\mathrm{Rt}△ MBC$中，由勾股定理得：$BM^2=CM^2+BC^2$，
代入得$(\frac{3\sqrt{10}}{5}y)^2=(\frac{4}{3}-y)^2+1^2$，
整理得$117y^2+120y-125=0$，
解得$y_1=\frac{25}{39}$，$y_2=-\frac{5}{3}$（不合题意，舍去），
$\therefore EM=\frac{25}{39}$，$CM=\frac{4}{3}-\frac{25}{39}=\frac{9}{13}$，
$\therefore \tan3A=\tan∠ BMC=\frac{BC}{MC}=\frac{1}{\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；$≠$
(2) $\tan\frac{1}{2}∠ BAC=\sqrt{5}-2$
(3) ① $\tan2A=\frac{3}{4}$
② $\tan3A=\frac{13}{9}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、解直角三角形、等腰三角形的性质
【点评】
本题以探究倍角、半角的三角函数值为载体，考查了特殊角三角函数识记、勾股定理应用、等腰三角形性质等知识，核心是通过构造等腰三角形实现倍角和半角的转化，体现了转化的数学思想，能有效锻炼学生分析问题、构造辅助线解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先回忆60°、30°的特殊角正切值，分别计算$\tan60°$和$2\tan30°$的结果，比较大小即可填空。
(2) 先用勾股定理求出$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$长度，再根据构造的等腰$△ ABD$得出$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$，求出$CD$的长度后，在$\mathrm{Rt}△ BCD$中计算$∠ D$的正切值，即可得到$\tan\frac{1}{2}∠ BAC$的值。
(3) ① 求$\tan2A$时，作$AB$的垂直平分线构造等腰$△ ABE$，推出$∠ BEC=2∠ A$，设$AE=x$，在$\mathrm{Rt}△ BEC$中用勾股定理列方程求出$x$，得到$EC$长度后，计算$∠ BEC$的正切值即可。
② 求$\tan3A$时，在①的基础上构造$∠ MBE=∠ EBA$，推出$∠ BMC=3∠ A$，结合角平分线的性质得到线段比例关系，设$EM=y$，在$\mathrm{Rt}△ MBC$中用勾股定理列方程求解$y$，得到$CM$长度后，计算$∠ BMC$的正切值即可。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，当$A=60°$时，$\frac{1}{2}A=30°$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$2\tan\frac{1}{2}A=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故填$≠$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
延长$CA$至点$D$，使得$DA=AB$，则$AD=AB=\sqrt{5}$，
$\therefore ∠ D=∠ ABD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ D+∠ ABD=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又$CD=AD+AC=\sqrt{5}+2$，
$\therefore \tan\frac{1}{2}∠ BAC=\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$。
(3) ①
，作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$E$，连接$BE$，则$AE=BE$，$\therefore ∠ A=∠ ABE$，
$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE=2∠ A$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BC=AC×\tan A=3×\frac{1}{3}=1$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC-AE=3-x$，
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：$BE^2=EC^2+BC^2$，即$x^2=(3-x)^2+1^2$，
展开解方程得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$，
$\therefore AE=BE=\frac{5}{3}$，$EC=3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$，
$\therefore \tan2A=\tan∠ BEC=\frac{BC}{EC}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$。
②
，在图②的基础上作$BM$交$AC$于点$M$，使$∠ MBE=∠ EBA$，则$∠ MBA=2∠ A$，$\therefore ∠ BMC=∠ A+∠ MBA=3∠ A$。
设$EM=y$，则$MC=EC-EM=\frac{4}{3}-y$。
$\because ∠ MBE=∠ EBA$，$BE$是$∠ ABM$的角平分线，设点$E$到$AB$、$BM$边的距离为$d$，
根据三角形面积公式可得$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ MBE}}=\frac{\frac{1}{2}AB× d}{\frac{1}{2}BM× d}=\frac{AB}{BM}$，同时$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ MBE}}=\frac{\frac{1}{2}AE× BC}{\frac{1}{2}EM× BC}=\frac{AE}{EM}$，
$\therefore \frac{AB}{BM}=\frac{AE}{EM}$，代入数据得$\frac{\sqrt{10}}{BM}=\frac{\frac{5}{3}}{y}$，解得$BM=\frac{3\sqrt{10}}{5}y$。
在$\mathrm{Rt}△ MBC$中，由勾股定理得：$BM^2=CM^2+BC^2$，
代入得$(\frac{3\sqrt{10}}{5}y)^2=(\frac{4}{3}-y)^2+1^2$，
整理得$117y^2+120y-125=0$，
解得$y_1=\frac{25}{39}$，$y_2=-\frac{5}{3}$（不合题意，舍去），
$\therefore EM=\frac{25}{39}$，$CM=\frac{4}{3}-\frac{25}{39}=\frac{9}{13}$，
$\therefore \tan3A=\tan∠ BMC=\frac{BC}{MC}=\frac{1}{\frac{9}{13}}=\frac{13}{9}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；$≠$
(2) $\tan\frac{1}{2}∠ BAC=\sqrt{5}-2$
(3) ① $\tan2A=\frac{3}{4}$
② $\tan3A=\frac{13}{9}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、解直角三角形、等腰三角形的性质
【点评】
本题以探究倍角、半角的三角函数值为载体，考查了特殊角三角函数识记、勾股定理应用、等腰三角形性质等知识，核心是通过构造等腰三角形实现倍角和半角的转化，体现了转化的数学思想，能有效锻炼学生分析问题、构造辅助线解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
