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1. 在一个直角三角形中，已知下列条件：①两条边的长度；②两个锐角的度数；③一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是 (
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
1. B 解析:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.题目中符合条件的只有选项B.故选B.
解析
【分析】
要判断哪些条件能解直角三角形，首先明确解直角三角形的核心要求：需要求出直角三角形除直角外的所有未知元素（3条边、2个锐角），且解唯一。我们逐个分析条件：①已知两条边，结合勾股定理可求第三边，再用三角函数求锐角，能得到唯一解；②仅已知两个锐角，只能得到相似的直角三角形，边长无法确定，没有唯一解；③已知一个锐角和一条边，先由两锐角互余得另一个锐角，再用三角函数求其余两边，能得到唯一解。因此①③符合要求。
【解析】
解：直角三角形中除直角外，共有5个未知元素：3条边的长度、2个锐角的度数，解直角三角形是求出这5个未知元素的过程，且解需唯一。
①已知两条边的长度：由勾股定理可计算出第三条边的长度，再根据锐角三角函数的定义可求出两个锐角的度数，所有未知元素均可确定，能解直角三角形；
②已知两个锐角的度数：仅能确定三角形的形状，无法确定各边的长度（存在无数个相似的直角三角形满足条件），无法解直角三角形；
③已知一个锐角的度数和一条边的长度：先根据“直角三角形两锐角互余”求出另一个锐角的度数，再结合锐角三角函数的定义可求出另外两条边的长度，所有未知元素均可确定，能解直角三角形。
综上，能解这个直角三角形的是①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的定义，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的判定条件，解题关键是牢记解直角三角形不仅要确定角的度数，还要确定边的长度，因此已知条件中至少包含一条边的长度，避免出现仅知角度无法确定边长的错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪些条件能解直角三角形，首先明确解直角三角形的核心要求：需要求出直角三角形除直角外的所有未知元素（3条边、2个锐角），且解唯一。我们逐个分析条件：①已知两条边，结合勾股定理可求第三边，再用三角函数求锐角，能得到唯一解；②仅已知两个锐角，只能得到相似的直角三角形，边长无法确定，没有唯一解；③已知一个锐角和一条边，先由两锐角互余得另一个锐角，再用三角函数求其余两边，能得到唯一解。因此①③符合要求。
【解析】
解：直角三角形中除直角外，共有5个未知元素：3条边的长度、2个锐角的度数，解直角三角形是求出这5个未知元素的过程，且解需唯一。
①已知两条边的长度：由勾股定理可计算出第三条边的长度，再根据锐角三角函数的定义可求出两个锐角的度数，所有未知元素均可确定，能解直角三角形；
②已知两个锐角的度数：仅能确定三角形的形状，无法确定各边的长度（存在无数个相似的直角三角形满足条件），无法解直角三角形；
③已知一个锐角的度数和一条边的长度：先根据“直角三角形两锐角互余”求出另一个锐角的度数，再结合锐角三角函数的定义可求出另外两条边的长度，所有未知元素均可确定，能解直角三角形。
综上，能解这个直角三角形的是①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的定义，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的判定条件，解题关键是牢记解直角三角形不仅要确定角的度数，还要确定边的长度，因此已知条件中至少包含一条边的长度，避免出现仅知角度无法确定边长的错误。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=25°$，$AB=5$，则$BC$的长为（
A.$5\sin25°$
B.$5\tan65°$
C.$5\cos25°$
D.$5\tan25°$
C
）A.$5\sin25°$
B.$5\tan65°$
C.$5\cos25°$
D.$5\tan25°$
答案
2. C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,AB=5,
∴ BC=AB · cos B=5cos 25°.故选C.
∴ BC=AB · cos B=5cos 25°.故选C.
解析
【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，已知斜边长和其中一个锐角的度数，要求直角边BC的长度。解题时先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。先确定∠B的邻边是BC，斜边是AB，正好关联已知条件和待求量，因此选择余弦公式变形求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
将公式变形得：$BC=AB· \cos B$
已知$AB=5$，$∠ B=25°$，代入得：$BC=5\cos25°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记余弦函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的是直角三角形，已知斜边长和其中一个锐角的度数，要求直角边BC的长度。解题时先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。先确定∠B的邻边是BC，斜边是AB，正好关联已知条件和待求量，因此选择余弦公式变形求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
将公式变形得：$BC=AB· \cos B$
已知$AB=5$，$∠ B=25°$，代入得：$BC=5\cos25°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是准确区分锐角对应的对边、邻边和斜边，牢记余弦函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. ★★（黔南州中考）如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥CD,若sin∠ACB=$\frac{1}{3}$,则AD的长度是
10
.答案
3. 10 解析:在 Rt △ABC 中,
∵ AB = 2,
sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$,
∴ AC= 2 ÷ $\frac{1}{3}$ = 6. 在Rt△ADC中,$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=$10.故答案为10.
解析
【分析】
解题时先观察图形，可知图中有两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，二者以AC为公共边。首先在Rt△ABC中，已知∠B=90°、AB的长度和∠ACB的正弦值，可根据正弦的定义先求出AC的长度；再将AC的长度代入Rt△ACD中，结合已知的CD长度，用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
根据正弦的定义可得：$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，AB=2，
∴ $\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=6$。
∵ $AC⊥ CD$，
∴ $∠ ACD=90°$，即△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
10
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为桥梁，先利用锐角三角函数求出AC的长度，再结合勾股定理计算目标线段长度，解题逻辑清晰，侧重对基础公式的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，可知图中有两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，二者以AC为公共边。首先在Rt△ABC中，已知∠B=90°、AB的长度和∠ACB的正弦值，可根据正弦的定义先求出AC的长度；再将AC的长度代入Rt△ACD中，结合已知的CD长度，用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
根据正弦的定义可得：$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，AB=2，
∴ $\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=6$。
∵ $AC⊥ CD$，
∴ $∠ ACD=90°$，即△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
10
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为桥梁，先利用锐角三角函数求出AC的长度，再结合勾股定理计算目标线段长度，解题逻辑清晰，侧重对基础公式的应用考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$AD ⊥ CD$，$∠ ABD = 60°$，$AB = 4\ \mathrm{m}$，$∠ ACB = 45°$，则$AC = \_\_\_\_\_\_$
答案
4. $2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$ 解析:在Rt△ABD中,∠D=90°,∠ABD=60°,AB=4 m,
∴ $BD=AB\cos 60°=2\ \mathrm{m}$,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=2\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$.在Rt△ACD中,∠D=90°,∠ACD=45°,$AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
∴ $CD=AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=2\sqrt{6}\ (\mathrm{m})$.
∴ $BD=AB\cos 60°=2\ \mathrm{m}$,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=2\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$.在Rt△ACD中,∠D=90°,∠ACD=45°,$AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
∴ $CD=AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=2\sqrt{6}\ (\mathrm{m})$.
解析
【分析】
解题时先观察图形可知存在两个共直角边AD的直角三角形，我们可以把公共边AD作为解题的桥梁：第一步先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，利用已知的AB边长和$∠ ABD$的度数，结合三角函数和勾股定理求出AD的长度；第二步再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，利用$∠ ACB=45°$的条件得到CD与AD相等，最后通过勾股定理求出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ D=90°$，$∠ ABD=60°$，$AB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $BD=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=90°$，$∠ ACB=45°$，
∴ $△ ACD$为等腰直角三角形，$CD=AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
再由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AD作为衔接条件，结合特殊角的性质和勾股定理即可逐步求出目标边长，解题时需注意特殊角三角函数值的准确应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形可知存在两个共直角边AD的直角三角形，我们可以把公共边AD作为解题的桥梁：第一步先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，利用已知的AB边长和$∠ ABD$的度数，结合三角函数和勾股定理求出AD的长度；第二步再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，利用$∠ ACB=45°$的条件得到CD与AD相等，最后通过勾股定理求出AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ D=90°$，$∠ ABD=60°$，$AB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $BD=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=90°$，$∠ ACB=45°$，
∴ $△ ACD$为等腰直角三角形，$CD=AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
再由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AD作为衔接条件，结合特殊角的性质和勾股定理即可逐步求出目标边长，解题时需注意特殊角三角函数值的准确应用。
【难度系数】
0.7
5. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，根据下列条件解直角三角形。
(1) $∠ B=60°$，$a=4$；
(2) $a=\sqrt{3}-1$，$b=3-\sqrt{3}$。
(1) $∠ B=60°$，$a=4$；
(2) $a=\sqrt{3}-1$，$b=3-\sqrt{3}$。
答案
5. (1) $∠ A = 90°- ∠ B = 90°-60° = 30°$. 由 $\tan B = \frac{b}{a}$, 得 $b = a\tan B = 4\tan 60° = 4\sqrt{3}$. 由 $\cos B = \frac{a}{c}$, 得 $c = \frac{a}{\cos B} = \frac{4}{\cos 60°}=8$.
(2) 由 $\tan B = \frac{b}{a} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}$, 得 $∠ B = 60°$,
∴ $∠ A = 90°-∠B=30°$.由 $\sin A = \frac{a}{c}$,得 $c = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 30°}=2\sqrt{3}-2$.
(2) 由 $\tan B = \frac{b}{a} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}$, 得 $∠ B = 60°$,
∴ $∠ A = 90°-∠B=30°$.由 $\sin A = \frac{a}{c}$,得 $c = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 30°}=2\sqrt{3}-2$.
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，解题时先结合已知条件选择对应方法：
(1) 已知直角三角形的一个锐角∠B和直角边a，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出未知锐角∠A，再结合锐角三角函数的定义分别求出未知边b、c即可；
(2) 已知两条直角边a、b，首先利用正切函数的定义求出其中一个锐角，再用两锐角互余的性质求出另一个锐角，最后结合锐角三角函数求出斜边c，计算时可先对分式化简再求值，降低运算难度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$：
① 求$∠ A$：根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90°- ∠ B = 90°-60° = 30°$；
② 求边$b$：由正切函数定义$\tan B = \frac{b}{a}$，代入$a=4$，$\tan60°=\sqrt{3}$，得$b = a\tan B = 4×\tan 60° = 4\sqrt{3}$；
③ 求边$c$：由余弦函数定义$\cos B = \frac{a}{c}$，代入$a=4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，得$c = \frac{a}{\cos B} = \frac{4}{\cos 60°}=8$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$：
① 求$∠ B$：由正切函数定义$\tan B = \frac{b}{a}$，代入$a=\sqrt{3}-1$，$b=3-\sqrt{3}$，得$\tan B = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}$，因为$∠ B$是锐角，故$∠ B = 60°$；
② 求$∠ A$：根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90°-∠B=30°$；
③ 求边$c$：由正弦函数定义$\sin A = \frac{a}{c}$，代入$a=\sqrt{3}-1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，得$c = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 30°}=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=60°$，$∠ A=30°$，$c=2\sqrt{3}-2$。
【知识点】
解直角三角形、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了“已知一边一锐角解直角三角形”和“已知两边解直角三角形”两类核心考法，解题时需根据已知条件灵活选择三角函数公式，优先使用原始已知数据计算，减少累计误差。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，解题时先结合已知条件选择对应方法：
(1) 已知直角三角形的一个锐角∠B和直角边a，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出未知锐角∠A，再结合锐角三角函数的定义分别求出未知边b、c即可；
(2) 已知两条直角边a、b，首先利用正切函数的定义求出其中一个锐角，再用两锐角互余的性质求出另一个锐角，最后结合锐角三角函数求出斜边c，计算时可先对分式化简再求值，降低运算难度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$：
① 求$∠ A$：根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90°- ∠ B = 90°-60° = 30°$；
② 求边$b$：由正切函数定义$\tan B = \frac{b}{a}$，代入$a=4$，$\tan60°=\sqrt{3}$，得$b = a\tan B = 4×\tan 60° = 4\sqrt{3}$；
③ 求边$c$：由余弦函数定义$\cos B = \frac{a}{c}$，代入$a=4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，得$c = \frac{a}{\cos B} = \frac{4}{\cos 60°}=8$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$：
① 求$∠ B$：由正切函数定义$\tan B = \frac{b}{a}$，代入$a=\sqrt{3}-1$，$b=3-\sqrt{3}$，得$\tan B = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}$，因为$∠ B$是锐角，故$∠ B = 60°$；
② 求$∠ A$：根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A = 90°-∠B=30°$；
③ 求边$c$：由正弦函数定义$\sin A = \frac{a}{c}$，代入$a=\sqrt{3}-1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，得$c = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sin 30°}=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=60°$，$∠ A=30°$，$c=2\sqrt{3}-2$。
【知识点】
解直角三角形、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，覆盖了“已知一边一锐角解直角三角形”和“已知两边解直角三角形”两类核心考法，解题时需根据已知条件灵活选择三角函数公式，优先使用原始已知数据计算，减少累计误差。
【难度系数】
0.8
6. (2025·北京期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=4,∠B=60^{\circ },sinC=\frac {2}{3}$,则$AC$的长为
(
A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
(
D
)A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
6. D 解析:如图,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,则$∠ADB=∠ADC=90°$.
∵ $∠ B=60°$,$AB=4$,
∴ $AD=AB · \sin B = 4×\sin 60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
∵ $\sin C=\frac{2}{3}$,
∴ $\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{AC}=\frac{2}{3}$,解得$AC=3\sqrt{3}$.故选D.
解析
【分析】
本题是斜三角形求边长的问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解。首先过点A作BC边上的高AD，先在含60°角的Rt△ABD中求出公共高AD的长度，再在Rt△ADC中利用∠C的正弦值建立关于AC的等式，即可求解AC的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，可得$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，已知$AB=4$，$∠ B=60°$，根据正弦函数的定义：
$AD=AB · \sin B = 4 × \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，已知$\sin C=\frac{2}{3}$，由正弦函数定义可得$\sin C=\frac{AD}{AC}$，代入已知值：
$\frac{2\sqrt{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，交叉相乘解得$AC=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是掌握“作高法”将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的相关性质计算，侧重对基础方法和基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形求边长的问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解。首先过点A作BC边上的高AD，先在含60°角的Rt△ABD中求出公共高AD的长度，再在Rt△ADC中利用∠C的正弦值建立关于AC的等式，即可求解AC的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，可得$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，已知$AB=4$，$∠ B=60°$，根据正弦函数的定义：
$AD=AB · \sin B = 4 × \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，已知$\sin C=\frac{2}{3}$，由正弦函数定义可得$\sin C=\frac{AD}{AC}$，代入已知值：
$\frac{2\sqrt{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，交叉相乘解得$AC=3\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是掌握“作高法”将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的相关性质计算，侧重对基础方法和基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$\tan B = \dfrac{1}{3}$，$\cos C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$AC = \sqrt{2}$。
求:(1)$BC$的长；
(2)$\sin∠ ADC$的值.
求:(1)$BC$的长；
(2)$\sin∠ ADC$的值.
答案
7. (1)过点A作$AE ⊥ BC$于点E.$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore ∠ C=45°$.在Rt△ACE中,$CE=AC · \cos C=1$,$\therefore AE=CE=1$.在Rt△ABE中,$\tan B=\frac{1}{3}$,即$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$,$\therefore BE=3AE=3$,$\therefore BC=BE+CE=4$.
(2)$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=2$.由(1)知 $DE=CD - CE = 1$. $\because AE ⊥ BC, DE = AE$, $\therefore ∠ADC = 45°$,$\therefore \sin∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
技法点拨 对非直角三角形的求解,可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决,这种方法叫做“化斜为直”法.通常以特殊角为一个锐角,构造直角三角形,若条件中有线段的比或锐角三角函数,可以设一个辅助的未知数,列方程求解.
(2)$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=2$.由(1)知 $DE=CD - CE = 1$. $\because AE ⊥ BC, DE = AE$, $\therefore ∠ADC = 45°$,$\therefore \sin∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
技法点拨 对非直角三角形的求解,可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决,这种方法叫做“化斜为直”法.通常以特殊角为一个锐角,构造直角三角形,若条件中有线段的比或锐角三角函数,可以设一个辅助的未知数,列方程求解.
解析
【分析】
本题为非直角三角形的求解问题，可采用“化斜为直”的思路解题：首先过点A作BC的垂线，构造出两个含已知角的直角三角形。求解第(1)问时，BC可拆分为BE+CE，先在Rt△ACE中利用cosC和AC的长度求出CE、AE的长，再在Rt△ABE中利用tanB的值求出BE的长，相加即可得到BC的长。求解第(2)问时，先根据三角形中线的性质求出CD的长度，再计算DE的长度，通过判断△ADE的形状得出∠ADC的度数，进而求出其正弦值。
【解析】
(1) 过点A作$AE ⊥ BC$于点E。
$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore ∠ C=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$CE=AC · \cos C=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
$\therefore AE=CE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\tan B=\frac{1}{3}$，即$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BE=3AE=3 × 1=3$，
$\therefore BC=BE+CE=3+1=4$。
(2) $\because AD$是$△ ABC$的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DE=CD-CE=2-1=1$。
$\because AE ⊥ BC$，且$DE=AE=1$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ ADC=45°$，
$\therefore \sin∠ ADC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$BC=4$；(2)$\sin∠ ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 三角形中线的性质
3. 等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查解直角三角形的应用，核心解题思想是“化斜为直”，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，即可结合已知的三角函数值、线段性质求解，解题时需注意拆分线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题为非直角三角形的求解问题，可采用“化斜为直”的思路解题：首先过点A作BC的垂线，构造出两个含已知角的直角三角形。求解第(1)问时，BC可拆分为BE+CE，先在Rt△ACE中利用cosC和AC的长度求出CE、AE的长，再在Rt△ABE中利用tanB的值求出BE的长，相加即可得到BC的长。求解第(2)问时，先根据三角形中线的性质求出CD的长度，再计算DE的长度，通过判断△ADE的形状得出∠ADC的度数，进而求出其正弦值。
【解析】
(1) 过点A作$AE ⊥ BC$于点E。
$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore ∠ C=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$CE=AC · \cos C=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
$\therefore AE=CE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\tan B=\frac{1}{3}$，即$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BE=3AE=3 × 1=3$，
$\therefore BC=BE+CE=3+1=4$。
(2) $\because AD$是$△ ABC$的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DE=CD-CE=2-1=1$。
$\because AE ⊥ BC$，且$DE=AE=1$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$∠ ADC=45°$，
$\therefore \sin∠ ADC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$BC=4$；(2)$\sin∠ ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 三角形中线的性质
3. 等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查解直角三角形的应用，核心解题思想是“化斜为直”，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，即可结合已知的三角函数值、线段性质求解，解题时需注意拆分线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
8. |易错题 在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=6$，$∠ A=45°$，求$△ ABC$的面积.
答案
8. 如图①,作$BD ⊥ AC$于点D,$\because \sin A=\frac{DB}{AB}$,$\therefore BD=AB · \sin A=8×\sin 45°=4\sqrt{2}$.$\because \cos A=\frac{AD}{AB}$,$\therefore AD=AB · \cos A=8×\cos 45°=4\sqrt{2}$.$\because DC^2=BC^2-BD^2$,$\therefore DC^2=6^2-(4\sqrt{2})^2=4$,$\therefore DC=2$.
$\therefore AC=AD + DC = 4\sqrt{2} + 2$. $\therefore S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC · DB = \frac{1}{2} ×(4\sqrt{2}+2)×4\sqrt{2}=16+4\sqrt{2}$.
如图②,作$BD ⊥ AC$交AC延长线于点D,同理可得 $BD=4\sqrt{2}$ , $AD = 4\sqrt{2}$ , $DC = 2$ , $\therefore AC = AD - DC =4\sqrt{2}-2$.$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · DB=\frac{1}{2}×(4\sqrt{2}-2)×4\sqrt{2}=16-4\sqrt{2}$.
综上所述,$△ABC$的面积为$16+4\sqrt{2}$或$16-4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，已知∠A为锐角且BC＜AB，因此过B作AC边上的高时，垂足可能落在AC边上，也可能落在AC的延长线上，需分两种情况讨论求解。解题思路如下：①过点B作BD垂直于AC（或AC的延长线）构造直角三角形；②利用∠A的三角函数值求出高BD和AD的长度；③在Rt△BDC中用勾股定理求出DC的长度；④分情况计算AC的长度，再代入三角形面积公式求出结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 如图①，作$BD ⊥ AC$于点D：
在$Rt△ABD$中，$∠A=45°$，$AB=8$，
∵$\sin A=\frac{DB}{AB}$，
∴$BD=AB · \sin A=8×\sin 45°=4\sqrt{2}$，
∵$\cos A=\frac{AD}{AB}$，
∴$AD=AB · \cos A=8×\cos 45°=4\sqrt{2}$，
在$Rt△BDC$中，$BC=6$，由勾股定理得：
$DC^2=BC^2-BD^2=6^2-(4\sqrt{2})^2=4$，
∴$DC=2$，
此时$AC=AD + DC = 4\sqrt{2} + 2$，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC · DB = \frac{1}{2} ×(4\sqrt{2}+2)×4\sqrt{2}=16+4\sqrt{2}$。
2. 如图②，作$BD ⊥ AC$交AC延长线于点D：
同理可得 $BD=4\sqrt{2}$，$AD = 4\sqrt{2}$，$DC = 2$，
此时$AC = AD - DC =4\sqrt{2}-2$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · DB=\frac{1}{2}×(4\sqrt{2}-2)×4\sqrt{2}=16-4\sqrt{2}$。
【答案】
△ABC的面积为$16+4\sqrt{2}$或$16-4\sqrt{2}$。
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略垂足在AC延长线上的情况导致漏解。需结合已知条件判断图形的多种可能性，运用分类讨论思想全面分析，考查对解直角三角形、勾股定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，已知∠A为锐角且BC＜AB，因此过B作AC边上的高时，垂足可能落在AC边上，也可能落在AC的延长线上，需分两种情况讨论求解。解题思路如下：①过点B作BD垂直于AC（或AC的延长线）构造直角三角形；②利用∠A的三角函数值求出高BD和AD的长度；③在Rt△BDC中用勾股定理求出DC的长度；④分情况计算AC的长度，再代入三角形面积公式求出结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 如图①，作$BD ⊥ AC$于点D：
在$Rt△ABD$中，$∠A=45°$，$AB=8$，
∵$\sin A=\frac{DB}{AB}$，
∴$BD=AB · \sin A=8×\sin 45°=4\sqrt{2}$，
∵$\cos A=\frac{AD}{AB}$，
∴$AD=AB · \cos A=8×\cos 45°=4\sqrt{2}$，
在$Rt△BDC$中，$BC=6$，由勾股定理得：
$DC^2=BC^2-BD^2=6^2-(4\sqrt{2})^2=4$，
∴$DC=2$，
此时$AC=AD + DC = 4\sqrt{2} + 2$，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC · DB = \frac{1}{2} ×(4\sqrt{2}+2)×4\sqrt{2}=16+4\sqrt{2}$。
2. 如图②，作$BD ⊥ AC$交AC延长线于点D：
同理可得 $BD=4\sqrt{2}$，$AD = 4\sqrt{2}$，$DC = 2$，
此时$AC = AD - DC =4\sqrt{2}-2$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · DB=\frac{1}{2}×(4\sqrt{2}-2)×4\sqrt{2}=16-4\sqrt{2}$。
【答案】
△ABC的面积为$16+4\sqrt{2}$或$16-4\sqrt{2}$。
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略垂足在AC延长线上的情况导致漏解。需结合已知条件判断图形的多种可能性，运用分类讨论思想全面分析，考查对解直角三角形、勾股定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
