11. 地球上水的总体积约为13.86亿立方千米.请将数据13.86亿用科学记数法表示为.

11.$1.386×10^9$ 解析:13.86亿$=1\ 386\ 000\ 000=1.386×10^9$.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，当原数绝对值≥10时$n$为正整数。解题第一步先完成单位换算，将“亿”为单位的数转化为普通整数，1亿等于$10^8$也就是100000000；第二步把得到的整数转化为科学记数法的标准形式，确定$a$的数值时要保证其满足$1 ≤ a ＜ 10$的要求，$n$的数值可以通过小数点移动的位数确定，小数点向左移动几位，$n$就等于几。
【解析】
首先进行单位换算：
$13.86亿 = 13.86 × 100000000 = 1386000000$
根据科学记数法的表示要求，将1386000000的小数点向左移动9位得到$a=1.386$，满足$1 ≤ 1.386 ＜10$的要求，小数点移动的位数9即为$n$的值，因此$1386000000 = 1.386 × 10^9$。
【答案】
$1.386 × 10^9$
【知识点】
科学记数法；单位换算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法的表示方法，解题核心是正确完成单位换算，同时准确掌握科学记数法中$a$和$n$的确定规则，容易得分。
【难度系数】
0.9

12. 要使式子$\dfrac{x+3}{x-1}+(x-2)^0$有意义，则$x$的取值范围为。

12.$x≠1$且$x≠2$ 解析:根据分母不等于0,指数幂的底数不等于0得$x-1≠0$且$x-2≠0$,解得$x≠1$且$x≠2$.

【分析】
要确定式子有意义的x的取值范围，需分别分析式子中每一部分有意义的限制条件：首先，分式有意义的前提是分母不为0；其次，零指数幂有意义的前提是底数不为0，最后取所有限制条件的公共范围即可。
【解析】
要使原式有意义，需同时满足两个条件：
1. 分式$\dfrac{x+3}{x-1}$有意义，则分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$；
2. 零指数幂$(x-2)^0$有意义，则底数不为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综上，x的取值范围为$x≠1$且$x≠2$。
【答案】
$x≠1$且$x≠2$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 零指数幂的意义
【点评】
本题属于基础题，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需注意全面考虑式子中各部分的限制要求，避免遗漏零指数幂的底数不为0的条件。
【难度系数】
0.75

13. ★★★ 如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, 过点D作$DE ⊥ BC$交BC的延长线于点E, 若$\odot O$的半径是2, 且$CE = DE$, 则劣弧$\overset{\frown}{BD}$的弧长是。

13.$π$ 解析:$\because DE ⊥ BC$,$CE=DE$,$\therefore ∠ EDC= ∠ ECD=45°$,$\therefore ∠ DCB=135°$.$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠ A+ ∠ DCB=180°$,$\therefore ∠ A=45°$.连接$OD$,$OB$,$\therefore ∠ DOB=2 ∠ A=90°$.$\because \odot O$的半径是2,$\therefore$ 劣弧$\overset{\frown}{BD}$的弧长是$\frac{90π×2}{180}=π$.

【分析】
解题时先从已知的DE⊥BC、CE=DE入手，先判断△DEC是等腰直角三角形，求出∠ECD的度数，进而得到∠DCB的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，求出圆周角∠A的度数；接下来根据圆周角定理，得到劣弧$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角∠BOD的度数；最后代入弧长公式计算即可得到劣弧$\overset{\frown}{BD}$的弧长。
【解析】
∵ $DE⊥BC$，$CE=DE$，
∴ $△ DEC$是等腰直角三角形，$∠ EDC=∠ ECD=45°$，
∴ $∠ DCB=180°-∠ ECD=135°$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ A+∠ DCB=180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ A=180°-135°=45°$。
连接$OD$、$OB$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ DOB=2∠ A=2×45°=90°$。
已知$\odot O$的半径$r=2$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=90$，$r=2$得：
劣弧$\overset{\frown}{BD}$的长$=\frac{90π×2}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，将等腰直角三角形性质、圆的相关性质与弧长计算结合考查，解题的关键是正确推导劣弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

14. ★★★ 如图,已知 $Rt△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$, $AC = 2AB$,以 $BC$ 为直角边作等腰 $Rt△ BCD$, 且 $∠ BCD=90°$.
(1)若 $AB=1$,则 $BD=$ ;
(2)连接 $AD$,交 $BC$ 于点 $E$,则 $\frac{AE}{ED}=$ .

14.(1)$\sqrt{10}$ (2)$\frac{2}{5}$ 解析:(1)$\because AB=1$,$\therefore AC=2AB=2$.$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5}$.$\because △ BCD$是等腰直角三角形,$\therefore BD=\sqrt{2}BC=\sqrt{10}$.(2)如图,过点 D 作$DH ⊥$直线$AC$于点 H,交$BC$的延长线于点 N,$\therefore ∠ DHC=90°= ∠ BAC= ∠ BCD$,$\therefore ∠ ACB+ ∠ ABC=90°= ∠ ACB+ ∠ DCH$,$AB// DH$,$\therefore ∠ ABC= ∠ DCH$.又$\because BC=CD$,$\therefore △ ABC ≌ △ HCD(\mathrm{AAS})$,$\therefore AB=CH$,$AC=DH$.$\because AC=2AB$,$\therefore$ 设$AB=a=CH$,则$AC=2a=DH$.$\because AB// DH$,$\therefore △ ABC ∽ △ HNC$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{NH}{CH}=\frac{1}{2}$,$\therefore NH=\frac{1}{2}a$,$\therefore DN=\frac{5}{2}a$.$\because AB// DH$,$\therefore △ ABE ∽ △ DNE$,$\therefore \frac{AE}{ED}=\frac{AB}{DN}=\frac{2}{5}$.

【分析】
(1) 求BD的长度可分两步：先在Rt△ABC中，结合已知AB的长度和AC=2AB的关系，用勾股定理算出BC的长；再根据等腰Rt△BCD的性质，斜边BD是直角边BC的$\sqrt{2}$倍，即可求出BD。
(2) 求线段比值$\frac{AE}{ED}$，可通过构造相似三角形求解：过D作DH垂直AC的延长线，先证△ABC和△HCD全等，得到各边的等量关系；再利用AB//DH的平行关系得到两组相似三角形，先求出DN的长度，最后根据△ABE和△DNE的对应边成比例，即可算出所求比值。
【解析】
(1) $\because AB=1$，$\therefore AC=2AB=2$。
$\because ∠BAC=90°$，在$Rt△ABC$中由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
$\because △BCD$是等腰直角三角形，$∠BCD=90°$，即$BC=CD$，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2}BC=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$。
(2) 如图，过点D作$DH ⊥$直线$AC$于点H，交$BC$的延长线于点N，
$\therefore ∠DHC=90°=∠BAC=∠BCD$，
$\therefore ∠ACB+∠ABC=90°$，$∠ACB+∠DCH=180°-∠BCD=90°$，且$AB// DH$，
$\therefore ∠ABC=∠DCH$。
又$\because BC=CD$，
$\therefore △ABC ≌ △HCD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CH$，$AC=DH$。
$\because AC=2AB$，设$AB=a=CH$，则$AC=2a=DH$。
$\because AB// DH$，
$\therefore △ABC ∽ △HNC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{NH}{CH}=\frac{1}{2}$，
$\therefore NH=\frac{1}{2}a$，
$\therefore DN=DH+NH=2a+\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$。
$\because AB// DH$，
$\therefore △ABE ∽ △DNE$，
$\therefore \frac{AE}{ED}=\frac{AB}{DN}=\frac{a}{\frac{5}{2}a}=\frac{2}{5}$。

【答案】
(1) $\sqrt{10}$；(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形、全等、相似的相关知识，第一问较为基础，第二问构造辅助线是解题的关键，能够有效考查学生的几何推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：$\left| \sqrt{3} -1 \right| - ( -\sqrt{3} )^2 -12×( -\dfrac{1}{3} )$

15.原式$=\sqrt{3}-1-3+4=\sqrt{3}$.

【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时遵循“先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可：第一步先判断绝对值内式子的正负，化简绝对值；第二步计算二次根式的乘方；第三步计算有理数乘法运算；最后合并各项的结果得到最终答案。
【解析】
解：
∵$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，
∴$\left| \sqrt{3} -1 \right|=\sqrt{3}-1$；
计算乘方项：$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$；
计算乘法项：$-12×(-\dfrac{1}{3})=12×\dfrac{1}{3}=4$；
将各项代入原式得：
原式$=\sqrt{3}-1-3+4=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的性质；乘方运算；实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，重点考察学生对绝对值化简、乘方符号判定、有理数乘法符号法则的掌握情况，解题时只要注意运算顺序，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85

16. 图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点(格点)上.
(1)在图①中画出线段AC关于直线l的对称线段$A_1C_1$.
(2)在图②中画出一个以AC为对角线且面积为6的格点矩形ABCD(顶点均在格点上).

16.(1)如图,线段$A_1C_1$即为所求.
(2)如图,矩形$ABCD$即为所求.

【分析】
(1) 作线段关于直线的对称线段，依据轴对称的性质，只需先作出线段两个端点关于直线的对称点，再连接两个对称点即可。找点的对称点时，数出原点点到对称轴的水平距离，在对称轴另一侧相同距离的同一水平位置就能找到对应对称点。
(2) 画以AC为对角线、面积为6的格点矩形，需结合矩形的性质：矩形的对角线平方等于邻边平方和，矩形面积等于邻边的乘积，且四个角均为直角。先利用勾股定理算出AC的长度，再结合面积要求，找到满足条件的格点作为另外两个顶点，连接四个顶点即可。
【解析】
(1) ① 数得点A到直线l的水平距离为2个单位，在直线l右侧、与A同一水平线且距离l2个单位的格点处，得到A的对称点$A_1$；
② 数得点C到直线l的水平距离为1个单位，在直线l左侧、与C同一水平线且距离l1个单位的格点处，得到C的对称点$C_1$；
③ 连接$A_1$和$C_1$，所得线段$A_1C_1$即为所求。
(2) ① 由勾股定理计算AC的长度：AC横向相差2个单位，纵向相差4个单位，因此$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$；
② 设矩形邻边长度为a、b，根据矩形性质得$a^2+b^2=AC^2=20$，结合面积要求$ab=6$，计算可得符合条件的格点边长为$\sqrt{2}$和$3\sqrt{2}$；
③ 在格点中找到点B、D，使得$AB=\sqrt{2}$，$BC=3\sqrt{2}$，由勾股定理逆定理可知$∠ ABC=90°$，同理可证其余角均为直角，顺次连接A、B、C、D，所得矩形ABCD即为所求。
【答案】
16.(1)如图,线段$A_1C_1$即为所求.
(2)如图,矩形$ABCD$即为所求.
【知识点】
轴对称作图，矩形的性质，勾股定理及逆定理
【点评】
本题属于格点作图类基础题，将轴对称性质、矩形性质和勾股定理结合考查，要求学生既能熟练掌握几何性质，又具备一定的动手操作和计算能力。
【难度系数】
0.7

四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. ★★★ 观察下列等式:
第1个等式: $(1+\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{1}{2}$,第2个等式:
$(1+\dfrac{1}{3})×\dfrac{2}{4}=1-\dfrac{1}{3}$,第3个等式: $(1+\dfrac{1}{4})×\dfrac{3}{5}=1-\dfrac{1}{4}$,第4个等式: $(1+\dfrac{1}{5})×\dfrac{4}{6}=1-\dfrac{1}{5}$
……按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ______;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明猜想的正确性.

17.(1)$(1+\dfrac{1}{6})×\dfrac{5}{7}=1-\dfrac{1}{6}$ 解析:第1个等式: $(1+\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{1}{2}$,第2个等式: $(1+\dfrac{1}{3})×\dfrac{2}{4}=1-\dfrac{1}{3}$,第3个等式: $(1+\dfrac{1}{4})×\dfrac{3}{5}=1-\dfrac{1}{4}$,第4个等式: $(1+\dfrac{1}{5})×\dfrac{4}{6}=1-\dfrac{1}{5}$……每个等式等号左边括号内第2项分母依次+1,括号外分子依次+1,分母依次+1;等号右边第2项分母依次+1,根据规律,第5个等式为$(1+\dfrac{1}{6})×\dfrac{5}{7}=1-\dfrac{1}{6}$.
(2)第$n$个等式: $(1+\dfrac{1}{n+1})×\dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+1}$,
证明:左边$=\dfrac{n+2}{n+1}×\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}=$右边.

【分析】
解决本题首先采用拆分法找规律：将等式拆分为左边括号内部分、左侧相乘的分数部分、右侧部分，分别对应序号找变化规律：①左侧括号中分数的分母、右侧分数的分母均为“序号+1”；②左侧相乘分数的分子等于序号，分母等于“序号+2”。第(1)问将序号=5代入对应规律即可写出等式；第(2)问将序号替换为n写出通用等式，再通过分式化简证明左右两边相等即可验证猜想。
【解析】
(1) 观察前4个等式的规律：
第1个等式：$(1+\dfrac{1}{1+1})×\dfrac{1}{1+2}=1-\dfrac{1}{1+1}$
第2个等式：$(1+\dfrac{1}{2+1})×\dfrac{2}{2+2}=1-\dfrac{1}{2+1}$
……
第k个等式可表示为：$(1+\dfrac{1}{k+1})×\dfrac{k}{k+2}=1-\dfrac{1}{k+1}$
当k=5时，代入得第5个等式：$(1+\dfrac{1}{6})×\dfrac{5}{7}=1-\dfrac{1}{6}$
(2) 猜想第n个等式为：$(1+\dfrac{1}{n+1})×\dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+1}$（n为正整数）
证明：
左边$=\dfrac{n+1+1}{n+1}×\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{n+2}{n+1}×\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{n}{n+1}$
右边$=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$
∴左边=右边，猜想成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1+\dfrac{1}{6})×\dfrac{5}{7}=1-\dfrac{1}{6}}$
(2) 第n个等式为$\boldsymbol{(1+\dfrac{1}{n+1})×\dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+1}}$（n为正整数），证明见解析。
【知识点】
规律探究、分式化简、等式证明
【点评】
本题是规律探究类常规题型，侧重考查观察归纳能力和分式运算能力，解题核心是拆分等式各部分找到与序号的对应关系，证明过程需遵循分式运算的规范步骤。
【难度系数】
0.7

18. 如图,灯塔B位于港口A的北偏东$67.4°$方向,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B,C之间的距离为18 km.一艘轮船在港口A的正南方向距港口46 km的D处,测得灯塔C在轮船北偏东$37.0°$方向上,求港口A距离灯塔B有多远.(结果取整数)(参考数据:$\sin 67.4° \approx \frac{12}{13}, \cos 67.4° \approx \frac{5}{13}, \tan 67.4° \approx \frac{12}{5}, \sin 37.0° \approx \frac{3}{5}, \cos 37.0° \approx \frac{4}{5}, \tan 37.0° \approx \frac{3}{4}$)

18.延长$CB$交$DA$的延长线于点$E$,如图.
由题意得,$∠ AEB=90°$,$∠ BAE=67.4°$,
设$AB=x\ \mathrm{km}$,$\therefore BE=AB· \sin 67.4° \approx \dfrac{12}{13}x\ \mathrm{km}$,$AE=AB· \cos 67.4° \approx \dfrac{5}{13}x\ \mathrm{km}$.
$\because BC= 18\ \mathrm{km}$,$\therefore CE = BE + BC = (\dfrac{12}{13}x+18)\ \mathrm{km}$,$\therefore DE = CE ÷ \tan 37° \approx \dfrac{4}{3}(\dfrac{12}{13}x+18)\mathrm{km}$,$\therefore AD=DE-AE=\dfrac{4}{3}(\dfrac{12}{13}x+18 )-\dfrac{5}{13}x=46(\mathrm{ km })$,解得 $x=26$.
答:港口$A$距离灯塔$B$有$26\ \mathrm{km}$远.

【分析】
这是一道结合方位角的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，延长CB交DA的延长线于点E，可得CE⊥DE，得到Rt△ABE和Rt△CDE两个直角三角形；接着设AB的长度为x km，在Rt△ABE中利用67.4°的三角函数值，用含x的式子表示出BE、AE的长度；再结合BC的长度得到CE的长度，在Rt△CDE中利用37°的正切值表示出DE的长度；最后根据“DE - AE = AD=46km”的等量关系列方程求解，即可得到AB的长度。
【解析】
延长$CB$交$DA$的延长线于点$E$，如图.
由题意得，$∠AEB=90°$，$∠BAE=67.4°$，设$AB=x\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中：
$BE=AB·\sin67.4°\approx\dfrac{12}{13}x\ \mathrm{km}$，
$AE=AB·\cos67.4°\approx\dfrac{5}{13}x\ \mathrm{km}$。
$\because BC=18\ \mathrm{km}$，$\therefore CE=BE+BC=(\dfrac{12}{13}x+18)\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠D=37°$，
$\therefore DE=CE÷\tan37°\approx\dfrac{4}{3}(\dfrac{12}{13}x+18)\ \mathrm{km}$。
又$\because AD=46\ \mathrm{km}$，且$AD=DE-AE$，
$\therefore \dfrac{4}{3}(\dfrac{12}{13}x+18)-\dfrac{5}{13}x=46$，
解得$x=26$。
【答案】
港口$A$距离灯塔$B$有$26\ \mathrm{km}$远。
【知识点】
方位角应用、锐角三角函数、一元一次方程
【点评】
本题为解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是合理构造直角三角形，将方位角条件转化为直角三角形的内角条件，结合三角函数表示各线段长度，再根据线段的和差关系列方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.6