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1. (2024·宿迁中考)6的倒数是 (
A.6
B.-6
C.$-\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{6}$
D
)A.6
B.-6
C.$-\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1.D 解析:6的倒数是$\frac{1}{6}$,故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆倒数的定义：乘积为1的两个非零数互为倒数，0没有倒数。求非零整数的倒数，只需将该整数作为分母、分子取1即可。解题时注意区分倒数和相反数的概念，正数的倒数仍为正数，可先排除带负号的错误选项，再根据倒数的计算规则判断剩余选项即可。
【解析】
根据倒数的定义：若两个非零数的乘积为1，则这两个数互为倒数，非零数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$。
由于$6≠0$，因此6的倒数为$\frac{1}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，属于中考常见的送分题，解题时注意不要混淆倒数、相反数、绝对值的概念，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆倒数的定义：乘积为1的两个非零数互为倒数，0没有倒数。求非零整数的倒数，只需将该整数作为分母、分子取1即可。解题时注意区分倒数和相反数的概念，正数的倒数仍为正数，可先排除带负号的错误选项，再根据倒数的计算规则判断剩余选项即可。
【解析】
根据倒数的定义：若两个非零数的乘积为1，则这两个数互为倒数，非零数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$。
由于$6≠0$，因此6的倒数为$\frac{1}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，属于中考常见的送分题，解题时注意不要混淆倒数、相反数、绝对值的概念，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.9
2. （2024·天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 （
C
）答案
2.C 解析:A.不是轴对称图形;B.不是轴对称图形;C.是轴对称图形;D.不是轴对称图形.故选 C.
解析
【分析】
要判断四个汉字是否为轴对称图形，首先明确轴对称图形的判断标准：若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，该图形就是轴对称图形。接下来依次对每个选项的汉字，验证是否存在满足要求的直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
选项A的“知”：不存在能使对折后两边重合的直线，不是轴对称图形；
选项B的“物”：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C的“由”：沿中间竖直的直线对折，左右两部分完全重合，是轴对称图形；
选项D的“学”：不存在能使对折后两边重合的直线，不是轴对称图形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题以美术字汉字为载体考查轴对称图形的判断，属于基础题型，只要熟练掌握轴对称图形的定义，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断四个汉字是否为轴对称图形，首先明确轴对称图形的判断标准：若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，该图形就是轴对称图形。接下来依次对每个选项的汉字，验证是否存在满足要求的直线即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
选项A的“知”：不存在能使对折后两边重合的直线，不是轴对称图形；
选项B的“物”：不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C的“由”：沿中间竖直的直线对折，左右两部分完全重合，是轴对称图形；
选项D的“学”：不存在能使对折后两边重合的直线，不是轴对称图形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题以美术字汉字为载体考查轴对称图形的判断，属于基础题型，只要熟练掌握轴对称图形的定义，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图,是一个由长方体截去一部分后得到的几何体,其主视图是 (
从正面看
C
)从正面看
答案
3.C 解析:几何体的主视图为
.故选 C.解析
【分析】
要确定该几何体的主视图，首先回忆主视图的定义：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，绘制时看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示。首先观察几何体结构：它是长方体上方截去一个V形缺口得到的，从正面观察时，整体外轮廓是长方形，上方V形缺口的两条棱是正面可见的，因此需要用实线画出这个向下的V形，据此匹配选项即可。
【解析】
主视图是从几何体正前方观察得到的图形：
1. 先确定外轮廓：该几何体的基础是长方体，从正面看外轮廓为矩形；
2. 再分析缺口部分：上方截去的V形缺口的两条边是从正面可直接观察到的轮廓，需用实线绘制，最终得到的主视图为外框是矩形、上边中间带有向下的实线V形的图形，对应选项C。
【答案】
3.C 解析:几何体的主视图为.故选 C.
【知识点】
主视图定义,三视图绘制
【点评】
本题考查三视图中主视图的识别，属于基础题型，解题关键是明确观察方向，区分可见和不可见轮廓线的绘制规则。
【难度系数】
0.8
要确定该几何体的主视图，首先回忆主视图的定义：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，绘制时看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示。首先观察几何体结构：它是长方体上方截去一个V形缺口得到的，从正面观察时，整体外轮廓是长方形，上方V形缺口的两条棱是正面可见的，因此需要用实线画出这个向下的V形，据此匹配选项即可。
【解析】
主视图是从几何体正前方观察得到的图形：
1. 先确定外轮廓：该几何体的基础是长方体，从正面看外轮廓为矩形；
2. 再分析缺口部分：上方截去的V形缺口的两条边是从正面可直接观察到的轮廓，需用实线绘制，最终得到的主视图为外框是矩形、上边中间带有向下的实线V形的图形，对应选项C。
【答案】
3.C 解析:几何体的主视图为
.故选 C.【知识点】
主视图定义,三视图绘制
【点评】
本题考查三视图中主视图的识别，属于基础题型，解题关键是明确观察方向，区分可见和不可见轮廓线的绘制规则。
【难度系数】
0.8
4. ★★ (北京中考)已知$a-1＞0$,则下列结论正确的是
（
A.$-1＜-a＜a＜1$
B.$-a＜-1＜1＜a$
C.$-a＜-1＜a＜1$
D.$-1＜-a＜1＜a$
（
B
）A.$-1＜-a＜a＜1$
B.$-a＜-1＜1＜a$
C.$-a＜-1＜a＜1$
D.$-1＜-a＜1＜a$
答案
4.B 解析:$\because a-1＞0,\therefore a＞1,\therefore -a＜-1,\therefore -a＜-1＜1＜a$,故选 B.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$a-1＞0$入手，先解这个一元一次不等式得到$a$的取值范围；再根据不等式的性质，给$a＞1$两边同时乘$-1$，注意不等号方向要改变，得到$-a$的取值范围；最后将$-a$、$-1$、$1$、$a$四个数按照从小到大的顺序排序，匹配对应选项即可。
【解析】
$\because a - 1 ＞ 0$
$\therefore a ＞ 1$
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-a ＜ -1$
结合正数大小关系$1 ＜ a$，可得四个数的大小关系为：$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
故选B
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质、实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考察不等式性质的应用，易错点是不等式两边乘负数时忽略不等号方向改变，只要正确推导$a$和$-a$的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件$a-1＞0$入手，先解这个一元一次不等式得到$a$的取值范围；再根据不等式的性质，给$a＞1$两边同时乘$-1$，注意不等号方向要改变，得到$-a$的取值范围；最后将$-a$、$-1$、$1$、$a$四个数按照从小到大的顺序排序，匹配对应选项即可。
【解析】
$\because a - 1 ＞ 0$
$\therefore a ＞ 1$
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-a ＜ -1$
结合正数大小关系$1 ＜ a$，可得四个数的大小关系为：$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
故选B
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质、实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，核心考察不等式性质的应用，易错点是不等式两边乘负数时忽略不等号方向改变，只要正确推导$a$和$-a$的取值范围即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 两个直角三角板按如图所示的方式摆放，其中$∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，$∠ E = 45°$，$∠ C = 30°$，$AB$与$DF$交于点$M$。若$BC // EF$，则$∠ BMD$的大小为（
A.$60°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$82.5°$
C
）A.$60°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$82.5°$
答案
5.C 解析:在$△ ABC$和$△ DEF$中,$∠ BAC= ∠ EDF=90°,∠ E=45°, ∠ C=30°, \therefore ∠ B=90°- ∠ C=60°, ∠ F=90°- ∠ E=45°.\because BC// EF,\therefore ∠ MDB= ∠ F=45°.$在$△ BMD$中,$∠ BMD=180°- ∠ B- ∠ MDB=75°.$故选 C.
解析
【分析】
要求∠BMD的度数，首先观察到该角在△BMD中，因此需先求出△BMD另外两个内角∠B和∠MDB的度数：第一步，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠C、∠E的度数，分别计算出∠B和∠F的度数；第二步，根据BC//EF的条件，利用平行线的性质得到∠MDB与∠F相等；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BMD的大小。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠F=90°-∠E=90°-45°=45°，
∵BC//EF，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠MDB=∠F=45°，
在△BMD中，三角形内角和为180°，
∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-60°-45°=75°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题以直角三角板的摆放为命题背景，考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是理清角与角之间的推导关系，属于典型的基础几何题，能有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.75
要求∠BMD的度数，首先观察到该角在△BMD中，因此需先求出△BMD另外两个内角∠B和∠MDB的度数：第一步，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠C、∠E的度数，分别计算出∠B和∠F的度数；第二步，根据BC//EF的条件，利用平行线的性质得到∠MDB与∠F相等；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BMD的大小。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠F=90°-∠E=90°-45°=45°，
∵BC//EF，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠MDB=∠F=45°，
在△BMD中，三角形内角和为180°，
∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-60°-45°=75°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题以直角三角板的摆放为命题背景，考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是理清角与角之间的推导关系，属于典型的基础几何题，能有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.75
6. ★★★ 将一次函数 $ y = 2x + 4 $ 的图象向右平移 $ m $ 个单位长度，所得新一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，则m的值不可能为（
A.1
B.3
C.5
D.7
A
）A.1
B.3
C.5
D.7
答案
6.A 解析:将一次函数$y=2x+4$的图象向右平移$m$个单位长度,所得新一次函数的表达式为$y=2(x-m)+4$,即$y=2x+4-2m.\because$所得新一次函数的图象与$y$轴的交点在$y$轴的负半轴上,$\therefore 4-2m＜0,\therefore m＞2.$观察选项,只有选项A符合题意.故选 A.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确一次函数图像的平移规律，向右平移m个单位时自变量x需减去m，先推导得到平移后的函数解析式；再结合一次函数与y轴交点的特征，即x=0时对应的y值为交点纵坐标，题目要求交点在y轴负半轴，说明该纵坐标小于0，据此列不等式求解m的取值范围，最后对比选项找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据一次函数平移“左加右减”的规则，将$y=2x+4$的图象向右平移$m$个单位后，所得新函数的解析式为：
$y=2(x-m)+4=2x+4-2m$
一次函数与y轴交点的横坐标为0，代入得交点纵坐标为$4-2m$。
∵新函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上
∴$4-2m＜0$
解不等式：
$-2m＜-4$
两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m＞2$
观察选项，3、5、7均满足$m＞2$，只有1不满足该范围，因此m的值不可能为1。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与坐标轴交点；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的常考题型，难度不大，核心是熟练掌握函数图像平移的运算规则，结合交点特征建立不等式即可快速求解参数范围，解题时需注意平移规则中“左加右减”是针对自变量x的运算，解系数为负的不等式时要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确一次函数图像的平移规律，向右平移m个单位时自变量x需减去m，先推导得到平移后的函数解析式；再结合一次函数与y轴交点的特征，即x=0时对应的y值为交点纵坐标，题目要求交点在y轴负半轴，说明该纵坐标小于0，据此列不等式求解m的取值范围，最后对比选项找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据一次函数平移“左加右减”的规则，将$y=2x+4$的图象向右平移$m$个单位后，所得新函数的解析式为：
$y=2(x-m)+4=2x+4-2m$
一次函数与y轴交点的横坐标为0，代入得交点纵坐标为$4-2m$。
∵新函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上
∴$4-2m＜0$
解不等式：
$-2m＜-4$
两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m＞2$
观察选项，3、5、7均满足$m＞2$，只有1不满足该范围，因此m的值不可能为1。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与坐标轴交点；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的常考题型，难度不大，核心是熟练掌握函数图像平移的运算规则，结合交点特征建立不等式即可快速求解参数范围，解题时需注意平移规则中“左加右减”是针对自变量x的运算，解系数为负的不等式时要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
7. ★★★ 已知点 M 为某封闭图形边界上一定点, 动点 P 从点 M 出发, 沿其边界顺时针匀速运动一周.设点 P 运动的时间为 x, 线段 MP 的长为 y.表示 y 与 x 之间关系的图象大致如图1所示,则该封闭图形可能是 (
B
)答案
7.B 解析:选项 A,等腰直角三角形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化,但是始边是斜边,终边是直角边,长度不相等,而函数图象对称,$\therefore$ 选项 A 与题干图象不符合.选项 C,正方形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化,在另两边上,先变速增加至$∠ M$的对角顶点,再变速减小至另一顶点,而函数图象左部分先升后降,$\therefore$ 与题干图象不符合.选项 D,圆,$MP$的长度先变速增加至$MP$为直径,然后再变速减小至点 P 回到点 M,而函数图象开始时为直线,$\therefore$ 选项 D 与题干图象不符合.选项 B,等边三角形,点 P 在开始与结束的两边上直线变化,在点 M 的对边上时,设等边三角形的边长为$a$,则$y=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{3}{2}a-x)^2} (a＜x＜2a)$,符合题干图象变化.故选 B.
解析
【分析】
本题是动点运动与函数图象结合的选择题，解题核心思路是采用逐项验证排除法：先将每个选项中动点P从M点出发顺时针运动一周的过程按所在边分段，分析每一段内线段MP的长度y随时间x的变化规律（是直线变化还是曲线变化、上升还是下降），再与题干给出的图象特征对比，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 排除选项A：若封闭图形是等腰直角三角形，点P在起始、结束的两条边上运动时，MP长度随x呈直线变化，但等腰直角三角形的直角边与斜边长度不相等，对应两段直线的横坐标区间长度不同，而题干图象左右对称，因此A不符合要求。
2. 排除选项C：若封闭图形是正方形，点P运动一周会经过4条边，y随x的变化应对应4段不同的图象，与题干图象的三段结构不符，因此C不符合要求。
3. 排除选项D：若封闭图形是圆，点P在圆周上运动时，MP的长度从0开始先变速增大到直径长度，再变速减小到0，全程没有直线变化的阶段，与题干图象开头的直线上升段不符，因此D不符合要求。
4. 验证选项B：若封闭图形是等边三角形，设边长为a，点P的运动过程分为三段：
① 第一段：P在M所在的第一条边上运动，MP的长度随运动时间匀速增大，对应图象的直线上升段；
② 第二段：P在M的对边上运动（对应时间$a＜x＜2a$），由勾股定理可得$y=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{3}{2}a-x)^2}$，图象为先升后降的曲线段，与题干中间段特征一致；
③ 第三段：P在第三条边上运动，MP的长度随运动时间匀速减小到0，对应图象的直线下降段，且与上升段对称。
综上只有B符合题干图象特征。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象、等边三角形的性质、函数图象识别
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将抽象的函数图象和具体的几何动点运动过程对应起来，通过分段分析运动规律、对比图象特征即可快速筛选答案。
【难度系数】
0.6
本题是动点运动与函数图象结合的选择题，解题核心思路是采用逐项验证排除法：先将每个选项中动点P从M点出发顺时针运动一周的过程按所在边分段，分析每一段内线段MP的长度y随时间x的变化规律（是直线变化还是曲线变化、上升还是下降），再与题干给出的图象特征对比，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 排除选项A：若封闭图形是等腰直角三角形，点P在起始、结束的两条边上运动时，MP长度随x呈直线变化，但等腰直角三角形的直角边与斜边长度不相等，对应两段直线的横坐标区间长度不同，而题干图象左右对称，因此A不符合要求。
2. 排除选项C：若封闭图形是正方形，点P运动一周会经过4条边，y随x的变化应对应4段不同的图象，与题干图象的三段结构不符，因此C不符合要求。
3. 排除选项D：若封闭图形是圆，点P在圆周上运动时，MP的长度从0开始先变速增大到直径长度，再变速减小到0，全程没有直线变化的阶段，与题干图象开头的直线上升段不符，因此D不符合要求。
4. 验证选项B：若封闭图形是等边三角形，设边长为a，点P的运动过程分为三段：
① 第一段：P在M所在的第一条边上运动，MP的长度随运动时间匀速增大，对应图象的直线上升段；
② 第二段：P在M的对边上运动（对应时间$a＜x＜2a$），由勾股定理可得$y=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 + (\frac{3}{2}a-x)^2}$，图象为先升后降的曲线段，与题干中间段特征一致；
③ 第三段：P在第三条边上运动，MP的长度随运动时间匀速减小到0，对应图象的直线下降段，且与上升段对称。
综上只有B符合题干图象特征。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象、等边三角形的性质、函数图象识别
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将抽象的函数图象和具体的几何动点运动过程对应起来，通过分段分析运动规律、对比图象特征即可快速筛选答案。
【难度系数】
0.6
8. ★★★ 如图,某同学剪了两条宽均为$\sqrt{3}$的纸条,交叉叠放在一起,且它们的交角为$60°$,则它们重叠部分的面积为
（
A.3
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{6}$
D.6
（
B
）A.3
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{6}$
D.6
答案
8.B 解析:如图,过点 A 作$AE ⊥ BC$于 E,$AF ⊥ CD$于 F,由题意可得$AE=AF=\sqrt{3}$,$∠ AEB= ∠ AFD=90°.\because AD// BC,AB// CD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore ∠ ABE= ∠ ADF=60°.$在$△ AEB$ 和 $△ AFD$ 中, $\begin{cases} ∠ ABE= ∠ ADF, \\ ∠ AEB= ∠ AFD, \\ AE=AF, \end{cases} \therefore △ AEB ≌ △ AFD(\mathrm{AAS})$,$\therefore AB=AD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC.$在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$∠ AEB=90°$,$AE=\sqrt{3}$,$∠ ABE=60°$,$\therefore BE=AE÷ \tan 60°=1$,$AB=AE÷ \sin 60°=2$,$\therefore BC=AB=2$,$\therefore$ 重叠部分的面积是$BC× AE=2\sqrt{3}$.故选 B.
解析
【分析】
解题时先从纸条的特征入手：纸条的两组对边分别平行，因此重叠部分首先是平行四边形；又因为两条纸条宽度相同，所以该平行四边形的两条高相等，结合交角为60°，我们可通过作高构造直角三角形，先证明平行四边形为菱形，再利用锐角三角函数求出菱形的边长，最后根据平行四边形面积公式（底乘高）计算重叠部分面积即可。
【解析】
如图，过点A作$AE ⊥ BC$于E，$AF ⊥ CD$于F。
由题意可得：$AE=AF=\sqrt{3}$，$∠ AEB= ∠ AFD=90°$。
$\because AD// BC,AB// CD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$∠ ABE= ∠ ADF=60°$。
在$△ AEB$ 和 $△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠ ABE= ∠ ADF \\ ∠ AEB= ∠ AFD \\ AE=AF \end{cases}$
$\therefore △ AEB ≌ △ AFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=AD$，即平行四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AE=\sqrt{3}$，$∠ ABE=60°$，
$\therefore AB=AE÷ \sin 60°=\sqrt{3}÷\frac{\sqrt{3}}{2}=2$，
$\therefore BC=AB=2$，
$\therefore$ 重叠部分的面积为$BC× AE=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定与性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中纸条交叉的场景，综合考查了平行四边形、菱形的相关性质以及锐角三角函数的应用，解题的突破口是根据纸条宽度相等证明重叠部分为菱形，能够有效考查学生的几何推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从纸条的特征入手：纸条的两组对边分别平行，因此重叠部分首先是平行四边形；又因为两条纸条宽度相同，所以该平行四边形的两条高相等，结合交角为60°，我们可通过作高构造直角三角形，先证明平行四边形为菱形，再利用锐角三角函数求出菱形的边长，最后根据平行四边形面积公式（底乘高）计算重叠部分面积即可。
【解析】
如图，过点A作$AE ⊥ BC$于E，$AF ⊥ CD$于F。
由题意可得：$AE=AF=\sqrt{3}$，$∠ AEB= ∠ AFD=90°$。
$\because AD// BC,AB// CD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$∠ ABE= ∠ ADF=60°$。
在$△ AEB$ 和 $△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠ ABE= ∠ ADF \\ ∠ AEB= ∠ AFD \\ AE=AF \end{cases}$
$\therefore △ AEB ≌ △ AFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=AD$，即平行四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，$∠ AEB=90°$，$AE=\sqrt{3}$，$∠ ABE=60°$，
$\therefore AB=AE÷ \sin 60°=\sqrt{3}÷\frac{\sqrt{3}}{2}=2$，
$\therefore BC=AB=2$，
$\therefore$ 重叠部分的面积为$BC× AE=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定与性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中纸条交叉的场景，综合考查了平行四边形、菱形的相关性质以及锐角三角函数的应用，解题的突破口是根据纸条宽度相等证明重叠部分为菱形，能够有效考查学生的几何推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 劳动课已正式成为中小学的一门独立课程.
某校七至九年级劳动课计划选择两项传统工艺制作项目,从陶艺、纸工、布艺、木雕4项工艺中随机选取,恰好选中陶艺和布艺的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
某校七至九年级劳动课计划选择两项传统工艺制作项目,从陶艺、纸工、布艺、木雕4项工艺中随机选取,恰好选中陶艺和布艺的概率是 (
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
9.D 解析:画树状图如下(用 A,B,C,D 分别表示陶艺、纸工、布艺、木雕4项工艺):
共有12种等可能的结果,其中恰好选中陶艺和布艺的结果数为2,所以恰好选中陶艺和布艺的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.故选 D.解析
【分析】
要解决这道概率题，首先明确试验规则：从4项工艺中不放回地随机选取2项，所有选取结果都是等可能的。我们可以通过树状图枚举所有可能的选取情况，先统计所有等可能的总结果数，再统计恰好选中陶艺和布艺的结果数，最后根据概率公式计算所求概率即可。我们预先用A代表陶艺、B代表纸工、C代表布艺、D代表木雕，方便后续计数。
【解析】
设A、B、C、D分别对应陶艺、纸工、布艺、木雕4项工艺，根据选取规则画树状图如下：
观察树状图可得，共有12种等可能的选取结果，其中恰好选中陶艺和布艺的结果共2种（先后选A和C、先后选C和A）。
根据概率公式，所求概率为$\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率常规应用题，解题时要注意选取两项时是不放回的选取，保证枚举结果不重复、不遗漏即可正确求解。
【难度系数】
0.6
要解决这道概率题，首先明确试验规则：从4项工艺中不放回地随机选取2项，所有选取结果都是等可能的。我们可以通过树状图枚举所有可能的选取情况，先统计所有等可能的总结果数，再统计恰好选中陶艺和布艺的结果数，最后根据概率公式计算所求概率即可。我们预先用A代表陶艺、B代表纸工、C代表布艺、D代表木雕，方便后续计数。
【解析】
设A、B、C、D分别对应陶艺、纸工、布艺、木雕4项工艺，根据选取规则画树状图如下：
观察树状图可得，共有12种等可能的选取结果，其中恰好选中陶艺和布艺的结果共2种（先后选A和C、先后选C和A）。
根据概率公式，所求概率为$\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率常规应用题，解题时要注意选取两项时是不放回的选取，保证枚举结果不重复、不遗漏即可正确求解。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如表：
且当$x=-\dfrac{1}{2}$时，与其对应的函数值$y＞0$，有下列结论：①$abc＜0$；②$m=n$；③$-2$和$3$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=t$的两个根；④$a＜\dfrac{8}{3}$。
其中，正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
且当$x=-\dfrac{1}{2}$时，与其对应的函数值$y＞0$，有下列结论：①$abc＜0$；②$m=n$；③$-2$和$3$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=t$的两个根；④$a＜\dfrac{8}{3}$。
其中，正确结论的个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.B 解析:①函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}×(0+1)=\frac{1}{2}$,则$ab＜0$,$c=-2＜0$,故$abc＞0$,故①错误;②根据表格可得$x=-1$和$x=2$关于函数对称轴对称,故$m=n$,故②正确;③函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$,根据表格可得$x=-2$和$x=3$关于函数对称轴对称,此时的函数值为$t$,则$-2$和$3$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=t$的两个根,故③正确;④函数的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$,则$b=-a$,当$x=-\frac{1}{2}$时,$y=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b-2＞0$,所以$3a-8＞0$,即$a＞\frac{8}{3}$,故④错误.故选 B.
解析
【分析】
解决本题的核心是先从表格数据找到二次函数的对称轴，再结合二次函数的性质、对称性、函数与方程的关系逐一判断每个结论：
1. 首先观察表格，x=0和x=1时函数值相等，可直接求出对称轴，同时x=0时y=-2，可得c=-2；
2. 利用对称轴公式推导a和b的符号关系，判断①；
3. 根据二次函数对称点的函数值相等，判断②③；
4. 代入x=-1/2时y＞0的条件，结合a、b的关系推导a的取值范围，判断④。
【解析】
步骤1：求二次函数的对称轴和c的值
由表格可知，当x=0和x=1时，y均为-2，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$；
当x=0时，$y=c=-2$，故$c=-2＜0$。
步骤2：推导a与b的关系
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，因此a和b异号，即$ab＜0$。
步骤3：判断结论①
$abc=ab· c$，其中$ab＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，故①错误。
步骤4：判断结论②
点x=-1到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离为$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$，点x=2到对称轴的距离为$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，两点关于对称轴对称，因此函数值相等，即$m=n$，故②正确。
步骤5：判断结论③
方程$ax^2+bx+c=t$的根就是函数$y=ax^2+bx+c$中y=t时对应的x值；
已知x=-2时y=t，求x=-2关于对称轴$x=\frac{1}{2}$的对称点：对称点横坐标为$2×\frac{1}{2}-(-2)=3$，因此x=3时y=t，即-2和3是方程$ax^2+bx+c=t$的两个根，故③正确。
步骤6：判断结论④
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y＞0$，将$b=-a$、$c=-2$代入函数得：
$y=a· (-\frac{1}{2})^2 + b· (-\frac{1}{2}) + c=\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}a -2=\frac{3}{4}a-2＞0$
解不等式得：$\frac{3}{4}a＞2$，即$a＞\frac{8}{3}$，故④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合题，解题的突破口是从表格数据快速确定函数的对称轴，再结合二次函数的对称性、函数与方程的对应关系、不等式求解逐一验证结论，需要熟练掌握二次函数的基础性质，具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先从表格数据找到二次函数的对称轴，再结合二次函数的性质、对称性、函数与方程的关系逐一判断每个结论：
1. 首先观察表格，x=0和x=1时函数值相等，可直接求出对称轴，同时x=0时y=-2，可得c=-2；
2. 利用对称轴公式推导a和b的符号关系，判断①；
3. 根据二次函数对称点的函数值相等，判断②③；
4. 代入x=-1/2时y＞0的条件，结合a、b的关系推导a的取值范围，判断④。
【解析】
步骤1：求二次函数的对称轴和c的值
由表格可知，当x=0和x=1时，y均为-2，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$；
当x=0时，$y=c=-2$，故$c=-2＜0$。
步骤2：推导a与b的关系
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，因此a和b异号，即$ab＜0$。
步骤3：判断结论①
$abc=ab· c$，其中$ab＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，故①错误。
步骤4：判断结论②
点x=-1到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离为$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$，点x=2到对称轴的距离为$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，两点关于对称轴对称，因此函数值相等，即$m=n$，故②正确。
步骤5：判断结论③
方程$ax^2+bx+c=t$的根就是函数$y=ax^2+bx+c$中y=t时对应的x值；
已知x=-2时y=t，求x=-2关于对称轴$x=\frac{1}{2}$的对称点：对称点横坐标为$2×\frac{1}{2}-(-2)=3$，因此x=3时y=t，即-2和3是方程$ax^2+bx+c=t$的两个根，故③正确。
步骤6：判断结论④
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y＞0$，将$b=-a$、$c=-2$代入函数得：
$y=a· (-\frac{1}{2})^2 + b· (-\frac{1}{2}) + c=\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}a -2=\frac{3}{4}a-2＞0$
解不等式得：$\frac{3}{4}a＞2$，即$a＞\frac{8}{3}$，故④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合题，解题的突破口是从表格数据快速确定函数的对称轴，再结合二次函数的对称性、函数与方程的对应关系、不等式求解逐一验证结论，需要熟练掌握二次函数的基础性质，具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
