登录
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 如图,⊙O的两条弦AB⊥CD,垂足为E,点F在⊙O上,DB平分∠CDF,连接AF,分别交BD于点G,交CD于点H.
(1)求证:DF=DH；
(2)连接EG,若∠CDF = 45°,⊙O的半径为2,求EG的长.
19. 如图,⊙O的两条弦AB⊥CD,垂足为E,点F在⊙O上,DB平分∠CDF,连接AF,分别交BD于点G,交CD于点H.
(1)求证:DF=DH；
(2)连接EG,若∠CDF = 45°,⊙O的半径为2,求EG的长.
答案
19.(1)证明:$\because AB ⊥ CD$,$\therefore ∠ AED=90°$.$\because DB$ 平分$∠ CDF$,$\therefore ∠ BDE=∠ BDF$.又$\because ∠ BAG=∠ BDF$,$\therefore ∠ BAG=∠ BDE$.
又$\because ∠ AHE=∠ DHG$,$\therefore ∠ DGH=∠ AED=90°$,$\therefore ∠ B + ∠ BDE= 90°= ∠ BDE + ∠ DHG$,$\therefore ∠ DHG = ∠ B$.$\because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD}$,$\therefore ∠ B=∠ F$,$\therefore ∠ DHG=∠ F$,$\therefore DF=DH$.
(2)如图,连接$AC$,$OC$,$OF$,$CF$,
$\because ∠ ACD=∠ AFD=∠ DHG$,$∠ DHG=∠ AHC$,$\therefore ∠ ACH=∠ AHC$,$\therefore AC=AH$.又$\because AB⊥ CD$,$\therefore E$为$CH$的中点.由(1)知$DF=DH$,$∠ DGH=90°$,$\therefore G$为$FH$的中点,$\therefore EG$是$△ CHF$的中位线,$\therefore EG = \dfrac{1}{2} CF$.$\because ∠ CDF = 45°$,$\therefore ∠ COF=2∠ CDF=90°$,$\therefore △ OCF$是等腰直角三角形,$\therefore CF=\sqrt{OC^2+OF^2}=\sqrt{2}\ OC$.$\because OC = 2$,$\therefore CF = 2\sqrt{2}$,$\therefore EG=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1)要证明DF=DH，可依据等腰三角形“等角对等边”的判定，推导∠DHG=∠F即可。首先结合AB⊥CD的垂直关系、DB的角平分线性质，以及同弧所对圆周角相等的性质，先证得DG⊥AF，再通过同弧所对圆周角相等建立∠B与∠F的等量关系，逐步转化角的关系即可完成证明。
(2)求EG的长度时，先通过等腰三角形三线合一的性质，证明E、G分别是CH、FH的中点，得到EG是△CHF的中位线，将EG转化为$\frac{1}{2}CF$；再根据圆周角定理，由∠CDF=45°推出圆心角∠COF=90°，结合已知半径求出CF的长度，即可得到EG的长。
【解析】
(1)证明:$\because AB ⊥ CD$,$\therefore ∠ AED=90°$.$\because DB$ 平分$∠ CDF$,$\therefore ∠ BDE=∠ BDF$.又$\because ∠ BAG=∠ BDF$,$\therefore ∠ BAG=∠ BDE$.
又$\because ∠ AHE=∠ DHG$,$\therefore ∠ DGH=∠ AED=90°$,$\therefore ∠ B + ∠ BDE= 90°= ∠ BDE + ∠ DHG$,$\therefore ∠ DHG = ∠ B$.$\because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD}$,$\therefore ∠ B=∠ F$,$\therefore ∠ DHG=∠ F$,$\therefore DF=DH$.
(2)如图,连接$AC$,$OC$,$OF$,$CF$,
$\because ∠ ACD=∠ AFD=∠ DHG$,$∠ DHG=∠ AHC$,$\therefore ∠ ACH=∠ AHC$,$\therefore AC=AH$.又$\because AB⊥ CD$,$\therefore E$为$CH$的中点.由(1)知$DF=DH$,$∠ DGH=90°$,$\therefore G$为$FH$的中点,$\therefore EG$是$△ CHF$的中位线,$\therefore EG = \dfrac{1}{2} CF$.$\because ∠ CDF = 45°$,$\therefore ∠ COF=2∠ CDF=90°$,$\therefore △ OCF$是等腰直角三角形,$\therefore CF=\sqrt{OC^2+OF^2}=\sqrt{2}\ OC$.$\because OC = 2$,$\therefore CF = 2\sqrt{2}$,$\therefore EG=\sqrt{2}$.
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$EG=\sqrt{2}$，辅助线如图
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的综合应用题，融合了角平分线性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线定理等多个知识点，解题的核心是通过角的等量转化推导边的关系，合理构造辅助线可以快速建立未知线段与已知条件的联系。
【难度系数】
0.6
(1)要证明DF=DH，可依据等腰三角形“等角对等边”的判定，推导∠DHG=∠F即可。首先结合AB⊥CD的垂直关系、DB的角平分线性质，以及同弧所对圆周角相等的性质，先证得DG⊥AF，再通过同弧所对圆周角相等建立∠B与∠F的等量关系，逐步转化角的关系即可完成证明。
(2)求EG的长度时，先通过等腰三角形三线合一的性质，证明E、G分别是CH、FH的中点，得到EG是△CHF的中位线，将EG转化为$\frac{1}{2}CF$；再根据圆周角定理，由∠CDF=45°推出圆心角∠COF=90°，结合已知半径求出CF的长度，即可得到EG的长。
【解析】
(1)证明:$\because AB ⊥ CD$,$\therefore ∠ AED=90°$.$\because DB$ 平分$∠ CDF$,$\therefore ∠ BDE=∠ BDF$.又$\because ∠ BAG=∠ BDF$,$\therefore ∠ BAG=∠ BDE$.
又$\because ∠ AHE=∠ DHG$,$\therefore ∠ DGH=∠ AED=90°$,$\therefore ∠ B + ∠ BDE= 90°= ∠ BDE + ∠ DHG$,$\therefore ∠ DHG = ∠ B$.$\because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD}$,$\therefore ∠ B=∠ F$,$\therefore ∠ DHG=∠ F$,$\therefore DF=DH$.
(2)如图,连接$AC$,$OC$,$OF$,$CF$,
$\because ∠ ACD=∠ AFD=∠ DHG$,$∠ DHG=∠ AHC$,$\therefore ∠ ACH=∠ AHC$,$\therefore AC=AH$.又$\because AB⊥ CD$,$\therefore E$为$CH$的中点.由(1)知$DF=DH$,$∠ DGH=90°$,$\therefore G$为$FH$的中点,$\therefore EG$是$△ CHF$的中位线,$\therefore EG = \dfrac{1}{2} CF$.$\because ∠ CDF = 45°$,$\therefore ∠ COF=2∠ CDF=90°$,$\therefore △ OCF$是等腰直角三角形,$\therefore CF=\sqrt{OC^2+OF^2}=\sqrt{2}\ OC$.$\because OC = 2$,$\therefore CF = 2\sqrt{2}$,$\therefore EG=\sqrt{2}$.
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$EG=\sqrt{2}$，辅助线如图
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的综合应用题，融合了角平分线性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线定理等多个知识点，解题的核心是通过角的等量转化推导边的关系，合理构造辅助线可以快速建立未知线段与已知条件的联系。
【难度系数】
0.6
20. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级.
(1)本次抽查总人数为
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为
(4)在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲、乙两人的概率为
(1)本次抽查总人数为
50
，“合格”人数的百分比为40%
；(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为
115.2
°；(4)在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲、乙两人的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
20.(1)$50$ $40\%$ 解析:本次抽查的总人数为$8÷16\%=50$,"合格"人数的百分比为$1-(32\%+16\%+12\%)=40\%$.
(2)"不合格"的有$50-(8+6+20)=16$(人).补全条形统计如图.
(3)$115.2$ 解析:扇形统计图中"不合格"人数的度数为$360°×32\%=115.2°$.
(4)$\dfrac{1}{3}$ 解析:列表如下:
| | 甲 | 乙 | 丙 |
|----|----|----|----|
| 甲 | | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | |
由表知,共有6种等可能结果,其中刚好抽中甲、乙两人的有2种结果,所以刚好抽中甲、乙两人的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是统计与概率结合的综合题，解题思路如下：
1. 求总人数：找到同时已知人数和对应占比的优秀等级（人数8人，占比16%），利用“总人数=对应人数÷对应占比”计算；求合格人数百分比，用整体1减去其余三个等级的占比即可。
2. 补全条形统计图：先计算不合格的人数，用总人数减去优秀、良好、合格的人数，再根据人数补画对应高度的条形。
3. 求扇形统计图中不合格人数的圆心角度数：利用“圆心角度数=360°×对应等级占比”计算。
4. 求抽中甲乙两人的概率：用列表法列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知优秀人数为8人，对应扇形占比为16%，因此总人数为 $8÷16\%=50$ 人；
合格人数的百分比为 $1-(32\%+16\%+12\%)=40\%$。
(2) 不合格的人数为总人数减去其余三个等级的人数：$50-(8+6+20)=16$（人），补全条形统计图如下：
(3) 扇形圆心角的总度数为360°，因此不合格人数对应圆心角度数为 $360°×32\%=115.2°$。
(4) 从甲、乙、丙三人中抽2人，列表列举所有等可能的结果：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
|----|----|----|----|
| 甲 | | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中刚好抽中甲、乙两人的结果有2种，因此概率为 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$，$\boxed{40\%}$
(2) 补全的条形统计图为
(3) $\boxed{115.2}$
(4) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
统计图表的应用，扇形圆心角计算，列举法求概率
【点评】
本题将条形统计图、扇形统计图和概率计算结合考察，需要考生具备从图表中提取有效信息的能力，解题过程中用到的均是统计与概率模块的基础方法，属于常规考题，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是统计与概率结合的综合题，解题思路如下：
1. 求总人数：找到同时已知人数和对应占比的优秀等级（人数8人，占比16%），利用“总人数=对应人数÷对应占比”计算；求合格人数百分比，用整体1减去其余三个等级的占比即可。
2. 补全条形统计图：先计算不合格的人数，用总人数减去优秀、良好、合格的人数，再根据人数补画对应高度的条形。
3. 求扇形统计图中不合格人数的圆心角度数：利用“圆心角度数=360°×对应等级占比”计算。
4. 求抽中甲乙两人的概率：用列表法列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知优秀人数为8人，对应扇形占比为16%，因此总人数为 $8÷16\%=50$ 人；
合格人数的百分比为 $1-(32\%+16\%+12\%)=40\%$。
(2) 不合格的人数为总人数减去其余三个等级的人数：$50-(8+6+20)=16$（人），补全条形统计图如下：
(3) 扇形圆心角的总度数为360°，因此不合格人数对应圆心角度数为 $360°×32\%=115.2°$。
(4) 从甲、乙、丙三人中抽2人，列表列举所有等可能的结果：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
|----|----|----|----|
| 甲 | | (乙,甲) | (丙,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | | (丙,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中刚好抽中甲、乙两人的结果有2种，因此概率为 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$，$\boxed{40\%}$
(2) 补全的条形统计图为
(3) $\boxed{115.2}$
(4) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
统计图表的应用，扇形圆心角计算，列举法求概率
【点评】
本题将条形统计图、扇形统计图和概率计算结合考察，需要考生具备从图表中提取有效信息的能力，解题过程中用到的均是统计与概率模块的基础方法，属于常规考题，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
六、（本题满分12分）
21. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴.已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间的关系近似满足一次函数$y=-3x+900$.
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元？
(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为$w$(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润？
(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28 800元，求该月销售单价的最小值.
21. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴.已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间的关系近似满足一次函数$y=-3x+900$.
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元？
(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为$w$(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润？
(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28 800元，求该月销售单价的最小值.
答案
21.(1)在$y=-3x+900$中,令$x=160$,则$y=420$,$\therefore$ 政府这个月补贴$420×20=8\ 400$(元).
(2)由题意得$w=(-3x+900)(x-100)=-3(x-200)^2+30\ 000$.$\because a=-3＜0$,$\therefore$ 当$x=200$时,$w$有最大值,为$30\ 000$.
即当销售单价定为200元时,每月可获得最大利润为30 000元.
(3)设每月获得的总收益为$w'$,由题意得$w'=(-3x+900)(x-100)+20(-3x+900)=-3(x-190)^2+36\ 300$,令$w'=28\ 800$,则$-3(x-190)^2+36\ 300=28\ 800$,解得$x=140$或$x=240$.$\because a=-3＜0$,则抛物线开口向下,对称轴为直线$x=190$,$\therefore$ 当$140≤ x≤240$时,$w≥28\ 800$,$\therefore$ 该月销售单价的最小值为140元.
(2)由题意得$w=(-3x+900)(x-100)=-3(x-200)^2+30\ 000$.$\because a=-3＜0$,$\therefore$ 当$x=200$时,$w$有最大值,为$30\ 000$.
即当销售单价定为200元时,每月可获得最大利润为30 000元.
(3)设每月获得的总收益为$w'$,由题意得$w'=(-3x+900)(x-100)+20(-3x+900)=-3(x-190)^2+36\ 300$,令$w'=28\ 800$,则$-3(x-190)^2+36\ 300=28\ 800$,解得$x=140$或$x=240$.$\because a=-3＜0$,则抛物线开口向下,对称轴为直线$x=190$,$\therefore$ 当$140≤ x≤240$时,$w≥28\ 800$,$\therefore$ 该月销售单价的最小值为140元.
解析
【分析】
(1) 政府补贴总金额=每件补贴金额×月销售量，已知销售单价为160元，先代入一次函数表达式算出当月销售量，再乘每件补贴20元即可得到补贴总额。
(2) 不含补贴的销售利润=每件销售利润×月销售量，每件销售利润为$(x-100)$元，月销售量为$(-3x+900)$件，据此列出利润$w$关于$x$的二次函数表达式，结合二次函数开口向下的性质，顶点处可取最大值，求出顶点对应的$x$值即可。
(3) 总收益=销售利润+政府补贴，先列出总收益关于$x$的二次函数表达式，令总收益等于28800元，解一元二次方程得到两个$x$的解，再结合二次函数开口向下的性质，找到满足总收益不低于28800元的$x$的取值范围，即可得到销售单价的最小值。
【解析】
(1) 将$x=160$代入$y=-3x+900$，得：
$y=-3×160+900=420$
每件政府补贴20元，总补贴为：$420×20=8400$（元）
(2) 由题意得：
$w=(x-100)(-3x+900)=-3x^2+1200x-90000=-3(x-200)^2+30000$
$\because a=-3＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=200$时，$w$有最大值30000元。
(3) 设每月总收益为$w'$，由题意得：
$w'=(x-100)(-3x+900)+20(-3x+900)=(-3x+900)(x-80)=-3(x-190)^2+36300$
令$w'=28800$，则：
$-3(x-190)^2+36300=28800$
解得$x_1=140$，$x_2=240$
$\because a=-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=190$，
$\therefore$ 当$140≤x≤240$时，$w'≥28800$，即销售单价最小值为140元。
【答案】
(1) 8400元；(2) 200元；(3) 140元
【知识点】
一次函数应用；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类实际应用题，结合了一次函数求值、二次函数性质、一元二次方程求解等考点，解题核心是理清各经济量的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数图像性质求解，是中考高频考向题型。
【难度系数】
0.65
(1) 政府补贴总金额=每件补贴金额×月销售量，已知销售单价为160元，先代入一次函数表达式算出当月销售量，再乘每件补贴20元即可得到补贴总额。
(2) 不含补贴的销售利润=每件销售利润×月销售量，每件销售利润为$(x-100)$元，月销售量为$(-3x+900)$件，据此列出利润$w$关于$x$的二次函数表达式，结合二次函数开口向下的性质，顶点处可取最大值，求出顶点对应的$x$值即可。
(3) 总收益=销售利润+政府补贴，先列出总收益关于$x$的二次函数表达式，令总收益等于28800元，解一元二次方程得到两个$x$的解，再结合二次函数开口向下的性质，找到满足总收益不低于28800元的$x$的取值范围，即可得到销售单价的最小值。
【解析】
(1) 将$x=160$代入$y=-3x+900$，得：
$y=-3×160+900=420$
每件政府补贴20元，总补贴为：$420×20=8400$（元）
(2) 由题意得：
$w=(x-100)(-3x+900)=-3x^2+1200x-90000=-3(x-200)^2+30000$
$\because a=-3＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=200$时，$w$有最大值30000元。
(3) 设每月总收益为$w'$，由题意得：
$w'=(x-100)(-3x+900)+20(-3x+900)=(-3x+900)(x-80)=-3(x-190)^2+36300$
令$w'=28800$，则：
$-3(x-190)^2+36300=28800$
解得$x_1=140$，$x_2=240$
$\because a=-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=190$，
$\therefore$ 当$140≤x≤240$时，$w'≥28800$，即销售单价最小值为140元。
【答案】
(1) 8400元；(2) 200元；(3) 140元
【知识点】
一次函数应用；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类实际应用题，结合了一次函数求值、二次函数性质、一元二次方程求解等考点，解题核心是理清各经济量的数量关系，正确列出函数表达式，再结合二次函数图像性质求解，是中考高频考向题型。
【难度系数】
0.65
