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1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a,b,c$.
(1) 若$a=7,b=24$，则$c=$;
(2) 若$a=8,c=17$，则$b=$;
(3) 若$a:b=3:4,c=15$，则$a=$;
(4) 若$∠ A=45°,b=5$，则$c^2=$.
(1) 若$a=7,b=24$，则$c=$;
(2) 若$a=8,c=17$，则$b=$;
(3) 若$a:b=3:4,c=15$，则$a=$;
(4) 若$∠ A=45°,b=5$，则$c^2=$.
答案
(1) $\boldsymbol{25}$；(2) $\boldsymbol{15}$；(3) $\boldsymbol{9}$；(4) $\boldsymbol{50}$。
解析
解：
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 代入$a=7$，$b=24$：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{7^2 + 24^2}=\sqrt{625}=25$；
(2) 代入$a=8$，$c=17$：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15$；
(3) 由$a:b=3:4$，设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），代入$c=15$：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 15^2$
$25k^2=225$
解得$k=3$，则$a=3k=9$；
(4) 由$∠A=45°$，$∠C=90°$，得$∠B=45°$，故$a=b=5$：
$c^2=a^2 + b^2=5^2 + 5^2=50$。
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 代入$a=7$，$b=24$：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{7^2 + 24^2}=\sqrt{625}=25$；
(2) 代入$a=8$，$c=17$：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15$；
(3) 由$a:b=3:4$，设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），代入$c=15$：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 15^2$
$25k^2=225$
解得$k=3$，则$a=3k=9$；
(4) 由$∠A=45°$，$∠C=90°$，得$∠B=45°$，故$a=b=5$：
$c^2=a^2 + b^2=5^2 + 5^2=50$。
2. 若一个三角形的边长分别是$m, m+2, m+4$，且它是直角三角形，则$m$的值为 ()
A.3
B.2
C.5
D.6
A.3
B.2
C.5
D.6
答案
D
解析
∵三角形是直角三角形，且边长m＞0，∴最长边m+4为斜边。根据勾股定理可得：$m^2 + (m+2)^2 = (m+4)^2$，展开整理得$m^2 -4m -12=0$，因式分解得$(m-6)(m+2)=0$，解得$m=6$或$m=-2$。∵边长为正数，舍去$m=-2$，验证得三边长6、8、10满足三角形三边关系，因此m的值为6。
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=10$，$BD⊥ AC$，垂足为$D$，且$BD=8$，则$AC$的长为。
答案
解：
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=10$，$BD=8$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
设$AC=AB=x$，则$AD=AC-CD=x-6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2$，
即 $x^2=(x-6)^2+8^2$，
展开得 $x^2=x^2-12x+36+64$，
整理得 $12x=100$，
解得 $x=\dfrac{25}{3}$。
故$AC$的长为$\boldsymbol{\dfrac{25}{3}}$。
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=10$，$BD=8$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
设$AC=AB=x$，则$AD=AC-CD=x-6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2$，
即 $x^2=(x-6)^2+8^2$，
展开得 $x^2=x^2-12x+36+64$，
整理得 $12x=100$，
解得 $x=\dfrac{25}{3}$。
故$AC$的长为$\boldsymbol{\dfrac{25}{3}}$。
4. 已知直角三角形三边长分别是$a+1,a+2,a+3$,则$a$的值为.
答案
解：
∵ 直角三角形三边长为$a+1,a+2,a+3$，且$a+3 ＞ a+2 ＞ a+1$，
∴ 斜边长为$a+3$。
根据勾股定理，得：
$(a+1)^2 + (a+2)^2 = (a+3)^2$
展开运算：
$a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 = a^2 + 6a + 9$
整理得：
$a^2 = 4$
解得$a_1=2$，$a_2=-2$。
又∵ 三角形边长为正，$a+1＞0$，即$a＞-1$，
∴ $a=-2$不合题意，舍去。
∴ $a$的值为$\boldsymbol{2}$。
∵ 直角三角形三边长为$a+1,a+2,a+3$，且$a+3 ＞ a+2 ＞ a+1$，
∴ 斜边长为$a+3$。
根据勾股定理，得：
$(a+1)^2 + (a+2)^2 = (a+3)^2$
展开运算：
$a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 = a^2 + 6a + 9$
整理得：
$a^2 = 4$
解得$a_1=2$，$a_2=-2$。
又∵ 三角形边长为正，$a+1＞0$，即$a＞-1$，
∴ $a=-2$不合题意，舍去。
∴ $a$的值为$\boldsymbol{2}$。
5. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （）
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
答案
A
解析
由勾股定理，计算楼梯的水平宽度为$\sqrt{13^2 - 5^2}=12\ \mathrm{m}$。通过平移台阶的所有竖直边和水平边，可知地毯的最小长度等于楼梯竖直高度与水平宽度之和，即$5+12=17\ \mathrm{m}$。
6. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
由题意可得，圆柱形杯子的底面直径为9 cm，杯子的高为12 cm。
当细木筷在杯内沿底面直径与杯高构成的直角三角形的斜边放置时，杯内木筷的长度达到最大值。
根据勾股定理，杯内木筷的最大长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
因此木筷露在杯子外面的部分的最小长度为：
$20 - 15 = 5\ \mathrm{cm}$
由题意可得，圆柱形杯子的底面直径为9 cm，杯子的高为12 cm。
当细木筷在杯内沿底面直径与杯高构成的直角三角形的斜边放置时，杯内木筷的长度达到最大值。
根据勾股定理，杯内木筷的最大长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
因此木筷露在杯子外面的部分的最小长度为：
$20 - 15 = 5\ \mathrm{cm}$
