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8. 能否通过上下平移二次函数 $y=\frac{1}{3}x^2$ 的图象，使得到的新函数的图象过点$(3,-3)$？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
答案
能。
设平移后的图象对应函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$，
由新函数的图象经过点 $(3,-3)$，得 $\dfrac{1}{3}× 3^2 + b = -3$，
解得 $b=-6$。
所以将原来图象向下平移 6 个单位长度即可。
设平移后的图象对应函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$，
由新函数的图象经过点 $(3,-3)$，得 $\dfrac{1}{3}× 3^2 + b = -3$，
解得 $b=-6$。
所以将原来图象向下平移 6 个单位长度即可。
解析
【分析】
要判断能否通过上下平移二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象得到过点$(3,-3)$的新图象，首先明确二次函数上下平移的规律：上下平移仅改变函数的常数项，二次项系数、一次项系数均不变，遵循“上加下减”的规则，即向上平移$n$个单位常数项加$n$，向下平移$n$个单位常数项减$n$。因此我们可以先设出平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解未知参数，若能求出有效参数，说明可以平移得到，再根据参数的符号判断平移方向、参数的绝对值判断平移距离即可。
【解析】
能，求解过程如下：
设平移后的新图象对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$，
因为新函数的图象经过点 $(3,-3)$，将点坐标代入解析式得：
$\dfrac{1}{3}× 3^2 + b = -3$，
计算得 $3 + b = -3$，
解得 $b=-6$。
因为$b=-6＜0$，所以是将原函数图象向下平移，平移距离为$|b|=6$个单位长度。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度即可。
【知识点】
二次函数平移规律、待定系数法、函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数平移的基础应用题，解题核心是掌握二次函数上下平移时解析式的变化特点，结合函数图象上的点满足函数解析式这一性质即可求解，掌握基础规律就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断能否通过上下平移二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象得到过点$(3,-3)$的新图象，首先明确二次函数上下平移的规律：上下平移仅改变函数的常数项，二次项系数、一次项系数均不变，遵循“上加下减”的规则，即向上平移$n$个单位常数项加$n$，向下平移$n$个单位常数项减$n$。因此我们可以先设出平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解未知参数，若能求出有效参数，说明可以平移得到，再根据参数的符号判断平移方向、参数的绝对值判断平移距离即可。
【解析】
能，求解过程如下：
设平移后的新图象对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$，
因为新函数的图象经过点 $(3,-3)$，将点坐标代入解析式得：
$\dfrac{1}{3}× 3^2 + b = -3$，
计算得 $3 + b = -3$，
解得 $b=-6$。
因为$b=-6＜0$，所以是将原函数图象向下平移，平移距离为$|b|=6$个单位长度。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度即可。
【知识点】
二次函数平移规律、待定系数法、函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数平移的基础应用题，解题核心是掌握二次函数上下平移时解析式的变化特点，结合函数图象上的点满足函数解析式这一性质即可求解，掌握基础规律就能快速作答。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 如图5-2-8，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，将△ABC向右移动，最后点A与点N重合。
(1)试写出两图形重叠部分的面积$y(\mathrm{cm}^2)$与线段MA的长度$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系式。
(2)写出自变量$x$的取值范围。
(3)当点A向右移动2 cm时，重叠部分的面积是多少？
(4)请在如图5-2-9所示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值。
9. 如图5-2-8，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，将△ABC向右移动，最后点A与点N重合。
(1)试写出两图形重叠部分的面积$y(\mathrm{cm}^2)$与线段MA的长度$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系式。
(2)写出自变量$x$的取值范围。
(3)当点A向右移动2 cm时，重叠部分的面积是多少？
(4)请在如图5-2-9所示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值。
答案
(1)由题意知，$△ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ AMQ=90°$，
$\therefore$ 重叠部分是等腰直角三角形，
$\because$ 线段 $MA=x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore y=\dfrac{1}{2}x^2$。
(2)$\because$ 开始时点 $A$ 与点 $M$ 重合，将$△ ABC$ 向右移动，最后点 $A$ 与点 $N$ 重合，
$\therefore 0≤ AM≤ 4$，即 $0≤ x≤ 4$。
故自变量 $x$ 的取值范围是 $0≤ x≤ 4$。
(3)点 $A$ 向右移动 2 cm 时，即 $x=2$ 时，$y=\dfrac{1}{2}× 2^2=2$。
$\therefore$ 重叠部分的面积是 $2\ \mathrm{cm}^2$。
(4)$y=\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x≤ 4)$ 的图象如
所示。由图象可知重叠部分面积的最大值为 $8\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解决本题首先分析运动过程中重叠部分的形状：△ABC是等腰直角三角形，向右平移时，重叠部分始终为等腰直角三角形，其直角边长等于MA的长度x。①推导函数关系式：直接利用等腰直角三角形的面积公式即可得到y与x的关系；②确定自变量取值范围：结合运动的起点（A与M重合，x=0）和终点（A与N重合，x等于正方形边长4）即可得到x的范围；③求x=2时的面积：将x=2代入函数解析式计算即可；④画函数图象及求最值：该函数是开口向上的二次函数，在0≤x≤4范围内y随x增大而增大，据此画出指定区间的图象，且x取最大值4时y取得最大值。
【解析】
(1) 由题意得，△ABC为等腰直角三角形，平移过程中重叠部分也为等腰直角三角形，其直角边长等于MA的长度x cm，根据三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2} × x × x = \frac{1}{2}x^2$
(2) 运动开始时点A与点M重合，此时$x=0$；运动结束时点A与点N重合，正方形边长为4 cm，此时$x=4$，因此自变量x的取值范围为$0≤ x≤4$。
(3) 当点A向右移动2 cm时，$x=2$，代入函数解析式得：
$y=\frac{1}{2} × 2^2 = 2$，单位为$\mathrm{cm}^2$
(4) 首先列表取点：x=0时y=0，x=2时y=2，x=4时y=8，在坐标系中描点后平滑连线，即可得到$y=\frac{1}{2}x^2$在$0≤ x≤4$范围内的图象；由函数性质可知，在$0≤ x≤4$范围内y随x的增大而增大，因此当x=4时，$y_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2} × 4^2 = 8$，即重叠部分最大面积为8 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1}{2}x^2$
(2)$0≤ x≤ 4$
(3)$2\ \mathrm{cm}^2$
(4)$y=\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x≤ 4)$ 的图象如所示，重叠部分面积的最大值为 $8\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
等腰直角三角形性质；二次函数的应用；函数图象与最值
【点评】
本题结合图形运动考察了二次函数的相关知识，需要先分析动态过程中不变的几何特征，再建立函数关系解决问题，解题时要注意自变量的实际取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.7
解决本题首先分析运动过程中重叠部分的形状：△ABC是等腰直角三角形，向右平移时，重叠部分始终为等腰直角三角形，其直角边长等于MA的长度x。①推导函数关系式：直接利用等腰直角三角形的面积公式即可得到y与x的关系；②确定自变量取值范围：结合运动的起点（A与M重合，x=0）和终点（A与N重合，x等于正方形边长4）即可得到x的范围；③求x=2时的面积：将x=2代入函数解析式计算即可；④画函数图象及求最值：该函数是开口向上的二次函数，在0≤x≤4范围内y随x增大而增大，据此画出指定区间的图象，且x取最大值4时y取得最大值。
【解析】
(1) 由题意得，△ABC为等腰直角三角形，平移过程中重叠部分也为等腰直角三角形，其直角边长等于MA的长度x cm，根据三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2} × x × x = \frac{1}{2}x^2$
(2) 运动开始时点A与点M重合，此时$x=0$；运动结束时点A与点N重合，正方形边长为4 cm，此时$x=4$，因此自变量x的取值范围为$0≤ x≤4$。
(3) 当点A向右移动2 cm时，$x=2$，代入函数解析式得：
$y=\frac{1}{2} × 2^2 = 2$，单位为$\mathrm{cm}^2$
(4) 首先列表取点：x=0时y=0，x=2时y=2，x=4时y=8，在坐标系中描点后平滑连线，即可得到$y=\frac{1}{2}x^2$在$0≤ x≤4$范围内的图象；由函数性质可知，在$0≤ x≤4$范围内y随x的增大而增大，因此当x=4时，$y_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2} × 4^2 = 8$，即重叠部分最大面积为8 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{1}{2}x^2$
(2)$0≤ x≤ 4$
(3)$2\ \mathrm{cm}^2$
(4)$y=\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x≤ 4)$ 的图象如
所示，重叠部分面积的最大值为 $8\ \mathrm{cm}^2$。【知识点】
等腰直角三角形性质；二次函数的应用；函数图象与最值
【点评】
本题结合图形运动考察了二次函数的相关知识，需要先分析动态过程中不变的几何特征，再建立函数关系解决问题，解题时要注意自变量的实际取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.7
10. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫作这个三角形的“智汇中线”。
(1)根据定义判断下列命题的真假。(在真命题后的横线上打“√”，假命题后的横线上打“×”)
①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”。
②若直角三角形是“智汇三角形”，则“智汇中线”一定是较长直角边上的中线。
(2)如图5-2-10，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AB = \sqrt{7}$，$BC = \sqrt{3}$。求证：$△ ABC$是“智汇三角形”。
(3)如图5-2-11，点$M$，$N$在抛物线$y = 2x^2$上，且$MN // x$轴，若$△ OMN$是“智汇三角形”，求$△ OMN$的“智汇中线”的长。
(1)根据定义判断下列命题的真假。(在真命题后的横线上打“√”，假命题后的横线上打“×”)
①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”。
$×$
②若直角三角形是“智汇三角形”，则“智汇中线”一定是较长直角边上的中线。
$\surd$
(2)如图5-2-10，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AB = \sqrt{7}$，$BC = \sqrt{3}$。求证：$△ ABC$是“智汇三角形”。
(3)如图5-2-11，点$M$，$N$在抛物线$y = 2x^2$上，且$MN // x$轴，若$△ OMN$是“智汇三角形”，求$△ OMN$的“智汇中线”的长。
答案
(1)①$×$ ②$\surd$
(2)证明：如
，作 $AC$ 边上的中线 $BD$。$\because$ 在$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{7}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AC=1$，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore △ ABC$ 是“智汇三角形”。
(3)解：如
，作 $OM$ 边上的中线 $NP$，过点 $N$ 作 $NE⊥ x$ 轴于点 $E$，过点 $P$ 作 $PF⊥ NE$ 于点 $F$。$\because$ 点 $M,N$ 在抛物线 $y=2x^2$ 上，且 $MN// x$ 轴，
$\therefore △ OMN$ 为等腰三角形。
设点 $M(-a,2a^2)$，$N(a,2a^2)$。
①当边 $MN$ 上的中线 $OH=MN$，即 $2a=2a^2$ 时，
解得 $a=1$ 或 $a=0$(舍去)。
$\therefore N(1,2)$，
$\therefore OH=MN=2$，
$\therefore △ OMN$ 的“智汇中线”的长为 2。
②当边 $OM$ 上的中线 $PN=OM$ 时，
$\because$ 点 $M(-a,2a^2)$，
$\therefore P(-\dfrac{a}{2},a^2)$，$OM^2=a^2+4a^4$。
在 $\mathrm{Rt}△ PNF$ 中，$PF=\dfrac{a}{2}+a=\dfrac{3}{2}a$，$NF=2a^2-a^2=a^2$，
$\therefore PN^2=(\dfrac{3}{2}a)^2+(a^2)^2=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$。
$\because PN=OM$，
$\therefore PN^2=OM^2$，
$\therefore a^2+4a^4=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$，
解得 $a=\dfrac{\sqrt{15}}{6}$(负值和 0 已舍去)，
$\therefore PN=OM=\sqrt{a^2+4a^4}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}$，
$\therefore △ OMN$ 的“智汇中线”的长为 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
综上，$△ OMN$ 的“智汇中线”的长为 2 或 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
解析
【分析】
(1)①判断等腰直角三角形是否为“智汇三角形”，需分别计算三边中线长度与对应边长比较：等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不等于斜边长；直角边上的中线经计算也不等于对应直角边长，故命题为假。②判断直角三角形的“智汇中线”位置：斜边中线等于斜边一半，不可能等于斜边长；短直角边上的中线长度大于短直角边，不可能等于短直角边长，仅可能是较长直角边上的中线等于该直角边长，故命题为真。
(2)要证明△ABC是“智汇三角形”，先利用勾股定理求出AC的长度，再作AC边上的中线，计算中线长度，若中线长度等于AC长度即可得证。
(3)由MN//x轴结合抛物线的对称性可知△OMN是等腰三角形，设出M、N的坐标，分两种情况讨论：一是MN边上的中线等于MN长，二是腰OM（或ON）边上的中线等于腰长，分别列方程求解，舍去不合理解即可得到“智汇中线”的长度。
【解析】
(1)①等腰直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，不等于斜边长；设直角边长为2，则直角边上的中线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}≠2$，故等腰直角三角形不一定是“智汇三角形”，命题为假，填×。
②直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长；若“智汇中线”是短直角边上的中线，则中线长大于长直角边，大于短直角边，不可能等于短直角边长，故“智汇中线”一定是较长直角边上的中线，命题为真，填√。
(2)证明：如，作 $AC$ 边上的中线 $BD$。
$\because$ 在$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{7}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AC=1$，
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，
$\therefore AC=BD$，即AC边上的中线等于AC的长，
$\therefore △ ABC$ 是“智汇三角形”。
(3)解：如，作 $OM$ 边上的中线 $NP$，过点 $N$ 作 $NE⊥ x$ 轴于点 $E$，过点 $P$ 作 $PF⊥ NE$ 于点 $F$。
$\because$ 点 $M,N$ 在抛物线 $y=2x^2$ 上，且 $MN// x$ 轴，
$\therefore M、N$ 关于y轴对称，$△ OMN$ 为等腰三角形，$OM=ON$。
设点 $M(-a,2a^2)$（$a＞0$），则 $N(a,2a^2)$，$MN=2a$。
分两种情况讨论：
①当边 $MN$ 上的中线 $OH=MN$ 时：
MN边上的中线OH即为点O到MN的距离，长度为$2a^2$，
$\therefore 2a^2=2a$，
解得 $a=1$ 或 $a=0$(不符合题意，舍去)。
此时“智汇中线”$OH=MN=2$。
②当边 $OM$ 上的中线 $PN=OM$ 时：
$\because$ 点 $M(-a,2a^2)$，P是OM中点，
$\therefore P$ 点坐标为$(-\dfrac{a}{2},a^2)$，
由勾股定理得$OM^2=(-a-0)^2+(2a^2-0)^2=a^2+4a^4$。
在 $\mathrm{Rt}△ PNF$ 中，$PF=a-(-\dfrac{a}{2})=\dfrac{3}{2}a$，$NF=2a^2-a^2=a^2$，
$\therefore PN^2=(\dfrac{3}{2}a)^2+(a^2)^2=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$。
$\because PN=OM$，$\therefore PN^2=OM^2$，
$\therefore a^2+4a^4=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$，
整理得$3a^4=\dfrac{5}{4}a^2$，$\because a＞0$，$\therefore a^2=\dfrac{5}{12}$，
解得 $a=\dfrac{\sqrt{15}}{6}$(负值和0已舍去)，
$\therefore PN=OM=\sqrt{a^2+4a^4}=\sqrt{\dfrac{5}{12}+4×(\dfrac{5}{12})^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}$，
即此时“智汇中线”的长为 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
综上，$△ OMN$ 的“智汇中线”的长为 2 或 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1)①$\boxed{×}$ ②$\boxed{√}$
(2)证明：如，作 $AC$ 边上的中线 $BD$。
$\because$ 在$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{7}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AC=1$，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore △ ABC$ 是“智汇三角形”。
(3)$\boxed{2}$或$\boxed{\dfrac{\sqrt{10}}{3}}$
【知识点】
新定义问题，勾股定理，二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，将几何图形性质与二次函数相结合，考查了对新概念的理解能力、分类讨论思想的应用，解题时需注意分情况讨论避免漏解，同时要熟练运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
(1)①判断等腰直角三角形是否为“智汇三角形”，需分别计算三边中线长度与对应边长比较：等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不等于斜边长；直角边上的中线经计算也不等于对应直角边长，故命题为假。②判断直角三角形的“智汇中线”位置：斜边中线等于斜边一半，不可能等于斜边长；短直角边上的中线长度大于短直角边，不可能等于短直角边长，仅可能是较长直角边上的中线等于该直角边长，故命题为真。
(2)要证明△ABC是“智汇三角形”，先利用勾股定理求出AC的长度，再作AC边上的中线，计算中线长度，若中线长度等于AC长度即可得证。
(3)由MN//x轴结合抛物线的对称性可知△OMN是等腰三角形，设出M、N的坐标，分两种情况讨论：一是MN边上的中线等于MN长，二是腰OM（或ON）边上的中线等于腰长，分别列方程求解，舍去不合理解即可得到“智汇中线”的长度。
【解析】
(1)①等腰直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，不等于斜边长；设直角边长为2，则直角边上的中线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}≠2$，故等腰直角三角形不一定是“智汇三角形”，命题为假，填×。
②直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不可能等于斜边长；若“智汇中线”是短直角边上的中线，则中线长大于长直角边，大于短直角边，不可能等于短直角边长，故“智汇中线”一定是较长直角边上的中线，命题为真，填√。
(2)证明：如
，作 $AC$ 边上的中线 $BD$。$\because$ 在$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{7}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AC=1$，
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，
$\therefore AC=BD$，即AC边上的中线等于AC的长，
$\therefore △ ABC$ 是“智汇三角形”。
(3)解：如
，作 $OM$ 边上的中线 $NP$，过点 $N$ 作 $NE⊥ x$ 轴于点 $E$，过点 $P$ 作 $PF⊥ NE$ 于点 $F$。$\because$ 点 $M,N$ 在抛物线 $y=2x^2$ 上，且 $MN// x$ 轴，
$\therefore M、N$ 关于y轴对称，$△ OMN$ 为等腰三角形，$OM=ON$。
设点 $M(-a,2a^2)$（$a＞0$），则 $N(a,2a^2)$，$MN=2a$。
分两种情况讨论：
①当边 $MN$ 上的中线 $OH=MN$ 时：
MN边上的中线OH即为点O到MN的距离，长度为$2a^2$，
$\therefore 2a^2=2a$，
解得 $a=1$ 或 $a=0$(不符合题意，舍去)。
此时“智汇中线”$OH=MN=2$。
②当边 $OM$ 上的中线 $PN=OM$ 时：
$\because$ 点 $M(-a,2a^2)$，P是OM中点，
$\therefore P$ 点坐标为$(-\dfrac{a}{2},a^2)$，
由勾股定理得$OM^2=(-a-0)^2+(2a^2-0)^2=a^2+4a^4$。
在 $\mathrm{Rt}△ PNF$ 中，$PF=a-(-\dfrac{a}{2})=\dfrac{3}{2}a$，$NF=2a^2-a^2=a^2$，
$\therefore PN^2=(\dfrac{3}{2}a)^2+(a^2)^2=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$。
$\because PN=OM$，$\therefore PN^2=OM^2$，
$\therefore a^2+4a^4=\dfrac{9}{4}a^2+a^4$，
整理得$3a^4=\dfrac{5}{4}a^2$，$\because a＞0$，$\therefore a^2=\dfrac{5}{12}$，
解得 $a=\dfrac{\sqrt{15}}{6}$(负值和0已舍去)，
$\therefore PN=OM=\sqrt{a^2+4a^4}=\sqrt{\dfrac{5}{12}+4×(\dfrac{5}{12})^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}$，
即此时“智汇中线”的长为 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
综上，$△ OMN$ 的“智汇中线”的长为 2 或 $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1)①$\boxed{×}$ ②$\boxed{√}$
(2)证明：如
，作 $AC$ 边上的中线 $BD$。$\because$ 在$△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{7}$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AC=1$，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore △ ABC$ 是“智汇三角形”。
(3)$\boxed{2}$或$\boxed{\dfrac{\sqrt{10}}{3}}$
【知识点】
新定义问题，勾股定理，二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，将几何图形性质与二次函数相结合，考查了对新概念的理解能力、分类讨论思想的应用，解题时需注意分情况讨论避免漏解，同时要熟练运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
