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1. 如果抛物线$y=(2-a)x^2$开口向下，那么a的取值范围是(
A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞-2$
D.$a＜-2$
A
)。A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞-2$
D.$a＜-2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=Ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$A$决定，当$A＞0$时开口向上，$A＜0$时开口向下。本题明确给出是抛物线，说明是二次函数，因此只需根据开口向下的条件，让二次项系数小于0，列出不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=(2-a)x^2$，已知其开口向下，根据二次函数图象性质可得：
二次项系数小于0，即$2-a ＜ 0$
解不等式：
移项得：$-a ＜ -2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$a ＞ 2$
因此$a$的取值范围是$a＞2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，解题时注意解不等式两边同乘负数时，不等号方向要改变，牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=Ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$A$决定，当$A＞0$时开口向上，$A＜0$时开口向下。本题明确给出是抛物线，说明是二次函数，因此只需根据开口向下的条件，让二次项系数小于0，列出不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=(2-a)x^2$，已知其开口向下，根据二次函数图象性质可得：
二次项系数小于0，即$2-a ＜ 0$
解不等式：
移项得：$-a ＜ -2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$a ＞ 2$
因此$a$的取值范围是$a＞2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，解题时注意解不等式两边同乘负数时，不等号方向要改变，牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 对于函数$y=5x^2$，下列结论正确的是(
A.y的值随着x值的增大而增大
B.其图象开口向下
C.其图象关于y轴对称
D.无论x取何值，y的值总是正的
C
)。A.y的值随着x值的增大而增大
B.其图象开口向下
C.其图象关于y轴对称
D.无论x取何值，y的值总是正的
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：由$a$的正负判断开口方向，明确对称轴、增减性以及函数值的取值范围，再逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=5x^2$，其中二次项系数$a=5＞0$：
选项A：该函数图象开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此不能直接说$y$的值随$x$值的增大而增大，A错误；
选项B：由于$a=5＞0$，函数图象开口向上，B错误；
选项C：该函数的对称轴为$y$轴，因此图象关于$y$轴对称，C正确；
选项D：当$x=0$时，$y=0$，$0$既不是正数也不是负数，因此不是无论$x$取何值$y$都为正，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题的关键是熟练掌握开口方向、对称轴、增减性、函数值范围等核心知识点，易忽略增减性的分界条件和$x=0$时$y=0$的特殊情况导致出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：由$a$的正负判断开口方向，明确对称轴、增减性以及函数值的取值范围，再逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=5x^2$，其中二次项系数$a=5＞0$：
选项A：该函数图象开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此不能直接说$y$的值随$x$值的增大而增大，A错误；
选项B：由于$a=5＞0$，函数图象开口向上，B错误；
选项C：该函数的对称轴为$y$轴，因此图象关于$y$轴对称，C正确；
选项D：当$x=0$时，$y=0$，$0$既不是正数也不是负数，因此不是无论$x$取何值$y$都为正，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题的关键是熟练掌握开口方向、对称轴、增减性、函数值范围等核心知识点，易忽略增减性的分界条件和$x=0$时$y=0$的特殊情况导致出错。
【难度系数】
0.8
3. 函数$y=-\dfrac{5}{4}x^2$的图象的对称轴是
$y$轴
，顶点坐标是$(0,0)$
，开口方向是向下
。答案
对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,0)$，开口方向向下
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的图象性质，解题时可按以下思路推导：1. 先明确该函数属于二次函数的最简顶点式，无一次项和常数项；2. 回忆$y=ax^2$的通用性质确定对称轴和顶点坐标；3. 根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{5}{4}x^2$：
1. 对称轴：该函数没有一次项，图象关于$y$轴（即直线$x=0$）对称，因此对称轴是$y$轴；
2. 顶点坐标：当$x=0$时，$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
3. 开口方向：二次项系数$a=-\dfrac{5}{4}＜0$，因此抛物线开口方向向下。
【答案】
对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,0)$，开口方向向下
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质 2. 二次函数的对称轴 3. 二次函数的开口方向
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对$y=ax^2$型二次函数基本性质的记忆和运用，掌握该类函数的对称轴、顶点、开口方向的判断规律即可快速得分，是学习复杂二次函数性质的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的图象性质，解题时可按以下思路推导：1. 先明确该函数属于二次函数的最简顶点式，无一次项和常数项；2. 回忆$y=ax^2$的通用性质确定对称轴和顶点坐标；3. 根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{5}{4}x^2$：
1. 对称轴：该函数没有一次项，图象关于$y$轴（即直线$x=0$）对称，因此对称轴是$y$轴；
2. 顶点坐标：当$x=0$时，$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
3. 开口方向：二次项系数$a=-\dfrac{5}{4}＜0$，因此抛物线开口方向向下。
【答案】
对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,0)$，开口方向向下
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质 2. 二次函数的对称轴 3. 二次函数的开口方向
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对$y=ax^2$型二次函数基本性质的记忆和运用，掌握该类函数的对称轴、顶点、开口方向的判断规律即可快速得分，是学习复杂二次函数性质的基础。
【难度系数】
0.9
4. 已知点$A(2,12)$和点$B(-3,k)$都在二次函数$y=ax^2$的图象上，那么$a=$
$3$
，$k=$$27$
。答案
$a=3$，$k=27$
解析
【分析】
二次函数图象上任意一点的坐标都满足该二次函数的解析式，因此解题分两步走：首先将已知坐标的点A代入解析式y=ax²，即可求出未知参数a的值；确定a后就能得到完整的二次函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，就能算出对应的纵坐标k的值。
【解析】
1. 求a的值：
将点A(2,12)代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$12=a×2^2$
即$4a=12$，解得$a=3$。
2. 求k的值：
由$a=3$得二次函数解析式为$y=3x^2$，将点B(-3,k)代入该解析式，可得：
$k=3×(-3)^2=3×9=27$。
【答案】
$a=3$，$k=27$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，主要考察学生对二次函数图象与解析式对应关系的理解，只要掌握代入法求解参数的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
二次函数图象上任意一点的坐标都满足该二次函数的解析式，因此解题分两步走：首先将已知坐标的点A代入解析式y=ax²，即可求出未知参数a的值；确定a后就能得到完整的二次函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，就能算出对应的纵坐标k的值。
【解析】
1. 求a的值：
将点A(2,12)代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$12=a×2^2$
即$4a=12$，解得$a=3$。
2. 求k的值：
由$a=3$得二次函数解析式为$y=3x^2$，将点B(-3,k)代入该解析式，可得：
$k=3×(-3)^2=3×9=27$。
【答案】
$a=3$，$k=27$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，主要考察学生对二次函数图象与解析式对应关系的理解，只要掌握代入法求解参数的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 已知四个二次函数 $ y=a_1x^2 $，$ y=a_2x^2 $，$ y=a_3x^2 $，$ y=a_4x^2 $ 的图象如图 5-2-6 所示，那么 $ a_1,a_2,a_3,a_4 $ 的大小关系是
$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$
。（请用“＞”连接）答案
$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$
解析
【分析】
要比较四个二次项系数的大小，我们可按以下思路逐步推导：第一步先根据抛物线开口方向判断a的符号：开口向上的抛物线对应a＞0，开口向下的对应a＜0，正数一定大于负数，可先将四个系数分为正、负两组；第二步比较同组内系数的大小，借助二次函数$y=ax^2$的性质：$|a|$越大，抛物线开口越窄，正数组中开口越窄a越大，负数组中开口越窄$|a|$越大、对应的负数反而越小，最后整合两组结论即可得到大小关系。
【解析】
解：① 判断$a$的符号：
抛物线$y=a_1x^2$、$y=a_2x^2$开口向上，因此$a_1＞0$，$a_2＞0$；
抛物线$y=a_3x^2$、$y=a_4x^2$开口向下，因此$a_3＜0$，$a_4＜0$。
由正数大于负数可知：$a_1$、$a_2$均大于$a_3$、$a_4$。
② 比较$a_1$与$a_2$的大小：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察图象得$y=a_1x^2$的开口比$y=a_2x^2$更窄，因此$|a_1|＞|a_2|$，结合$a_1＞0,a_2＞0$，可得$a_1＞a_2$。
③ 比较$a_3$与$a_4$的大小：
观察图象得$y=a_4x^2$的开口比$y=a_3x^2$更窄，因此$|a_4|＞|a_3|$，结合$a_3＜0,a_4＜0$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，因此$a_3＞a_4$。
综上可得$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$。
【答案】
$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，解题核心是掌握“开口方向定$a$的符号，开口宽窄定$|a|$的大小”的规律，结合有理数大小比较规则即可快速求解，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.8
要比较四个二次项系数的大小，我们可按以下思路逐步推导：第一步先根据抛物线开口方向判断a的符号：开口向上的抛物线对应a＞0，开口向下的对应a＜0，正数一定大于负数，可先将四个系数分为正、负两组；第二步比较同组内系数的大小，借助二次函数$y=ax^2$的性质：$|a|$越大，抛物线开口越窄，正数组中开口越窄a越大，负数组中开口越窄$|a|$越大、对应的负数反而越小，最后整合两组结论即可得到大小关系。
【解析】
解：① 判断$a$的符号：
抛物线$y=a_1x^2$、$y=a_2x^2$开口向上，因此$a_1＞0$，$a_2＞0$；
抛物线$y=a_3x^2$、$y=a_4x^2$开口向下，因此$a_3＜0$，$a_4＜0$。
由正数大于负数可知：$a_1$、$a_2$均大于$a_3$、$a_4$。
② 比较$a_1$与$a_2$的大小：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察图象得$y=a_1x^2$的开口比$y=a_2x^2$更窄，因此$|a_1|＞|a_2|$，结合$a_1＞0,a_2＞0$，可得$a_1＞a_2$。
③ 比较$a_3$与$a_4$的大小：
观察图象得$y=a_4x^2$的开口比$y=a_3x^2$更窄，因此$|a_4|＞|a_3|$，结合$a_3＜0,a_4＜0$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，因此$a_3＞a_4$。
综上可得$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$。
【答案】
$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，解题核心是掌握“开口方向定$a$的符号，开口宽窄定$|a|$的大小”的规律，结合有理数大小比较规则即可快速求解，属于基础性质考查题。
【难度系数】
0.8
6. 根据下列条件，求$a$的值或取值范围。
(1)已知函数$y=(a-2)x^2$，当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大。
(2)函数$y=(3a-2)x^2$有最大值。
(3)抛物线$y=(a+2)x^2$与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的形状相同。
(4)函数$y=(a-1)x^{a^2 -a}$的图象是开口向上的抛物线。
(1)已知函数$y=(a-2)x^2$，当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大。
(2)函数$y=(3a-2)x^2$有最大值。
(3)抛物线$y=(a+2)x^2$与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的形状相同。
(4)函数$y=(a-1)x^{a^2 -a}$的图象是开口向上的抛物线。
答案
(1)由题意得 $a-2＜0$，即 $a＜2$。
(2)由题意得 $3a-2＜0$，即 $a＜\dfrac{2}{3}$。
(3)由题意得 $a+2=-\dfrac{1}{2}$或 $a+2=\dfrac{1}{2}$，
故 $a=-\dfrac{5}{2}$或 $a=-\dfrac{3}{2}$。
(4)由题意得 $a^2 -a=2$ 且 $a-1＞0$，则 $a=2$。
(2)由题意得 $3a-2＜0$，即 $a＜\dfrac{2}{3}$。
(3)由题意得 $a+2=-\dfrac{1}{2}$或 $a+2=\dfrac{1}{2}$，
故 $a=-\dfrac{5}{2}$或 $a=-\dfrac{3}{2}$。
(4)由题意得 $a^2 -a=2$ 且 $a-1＞0$，则 $a=2$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的相关性质设置问题，解题思路如下：
1. 对于(1)：二次函数$y=ax^2$的增减性由开口方向决定，当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，据此列不等式求解即可。
2. 对于(2)：二次函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，列不等式求解。
3. 对于(3)：抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，据此列方程求解，注意两种情况都要考虑。
4. 对于(4)：图象是开口向上的抛物线，首先要满足是二次函数，即$x$的次数为2，同时二次项系数大于0，联立条件求解后舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线开口向下，二次项系数小于0：
$a-2＜0$
解得：$a＜2$
(2) 函数有最大值，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0：
$3a-2＜0$
解得：$a＜\dfrac{2}{3}$
(3) 两抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值相等：
$|a+2|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|$
即$a+2=\dfrac{1}{2}$或$a+2=-\dfrac{1}{2}$
分别解得：$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=-\dfrac{5}{2}$
(4) 函数图象是开口向上的抛物线，需满足两个条件：
① 是二次函数：$a^2 -a=2$，整理得$a^2 -a -2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$
② 开口向上：$a-1＞0$，即$a＞1$
综上，舍去$a=-1$，得$a=2$
【答案】
(1)$a＜2$
(2)$a＜\dfrac{2}{3}$
(3)$a=-\dfrac{5}{2}$或$a=-\dfrac{3}{2}$
(4)$a=2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的定义
3. 抛物线形状与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，重点考查对二次函数开口方向、增减性、最值、形状等性质的理解，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，涉及绝对值方程时不要漏解，多个条件限制时要注意解的取舍。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数$y=ax^2$的相关性质设置问题，解题思路如下：
1. 对于(1)：二次函数$y=ax^2$的增减性由开口方向决定，当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，据此列不等式求解即可。
2. 对于(2)：二次函数有最大值说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，列不等式求解。
3. 对于(3)：抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，据此列方程求解，注意两种情况都要考虑。
4. 对于(4)：图象是开口向上的抛物线，首先要满足是二次函数，即$x$的次数为2，同时二次项系数大于0，联立条件求解后舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线开口向下，二次项系数小于0：
$a-2＜0$
解得：$a＜2$
(2) 函数有最大值，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0：
$3a-2＜0$
解得：$a＜\dfrac{2}{3}$
(3) 两抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值相等：
$|a+2|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|$
即$a+2=\dfrac{1}{2}$或$a+2=-\dfrac{1}{2}$
分别解得：$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=-\dfrac{5}{2}$
(4) 函数图象是开口向上的抛物线，需满足两个条件：
① 是二次函数：$a^2 -a=2$，整理得$a^2 -a -2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$
② 开口向上：$a-1＞0$，即$a＞1$
综上，舍去$a=-1$，得$a=2$
【答案】
(1)$a＜2$
(2)$a＜\dfrac{2}{3}$
(3)$a=-\dfrac{5}{2}$或$a=-\dfrac{3}{2}$
(4)$a=2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的定义
3. 抛物线形状与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，重点考查对二次函数开口方向、增减性、最值、形状等性质的理解，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，涉及绝对值方程时不要漏解，多个条件限制时要注意解的取舍。
【难度系数】
0.7
7. 如图5-2-7,在平面直角坐标系$xOy$内,作出二次函数$y=3x^2$和$y=3x^2+3$的图象。
(1)这两个函数的图象间有什么联系?
(2)猜测二次函数$y=3x^2$的图象怎样变换得到$y=3x^2+a$的图象。
(3)写出函数$y=-3x^2-3$的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)这两个函数的图象间有什么联系?
(2)猜测二次函数$y=3x^2$的图象怎样变换得到$y=3x^2+a$的图象。
(3)写出函数$y=-3x^2-3$的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
图象如
所示。(1)由图可知二次函数 $y=3x^2+3$ 的图象由 $y=3x^2$ 的图象向上平移 3 个单位长度得到。
(2)当 $a＞0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向上平移 $a$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象；当 $a＜0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向下平移 $|a|$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象。
(3)函数 $y=-3x^2-3$ 的图象开口向下，对称轴为 $y$ 轴，顶点坐标为 $(0,-3)$。
解析
【分析】
解题思路如下：①画二次函数图象采用描点法，先选取对称的x值，分别计算两个函数对应的y值，再描点、用平滑曲线连线即可得到图象；②观察两个图象的顶点位置、形状、开口方向，判断图象的平移关系，二次函数二次项系数相同则图象形状相同，仅位置不同，平移遵循“上加下减常数项”的规律；③对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，a的符号决定开口方向，对称轴固定为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，直接代入对应数值即可求解第(3)问。
【解析】
1. 画图象步骤：
①列表：取$x=-2、-1、0、1、2$，分别计算函数值：
对$y=3x^2$，对应y值为12、3、0、3、12；对$y=3x^2+3$，对应y值为15、6、3、6、15。
②描点：在平面直角坐标系中描出上述对应点。
③连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到两个函数的图象。
(1) 观察两个图象：二者开口方向、形状完全相同，$y=3x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=3x^2+3$的顶点为$(0,3)$，因此$y=3x^2+3$的图象是由$y=3x^2$的图象向上平移3个单位长度得到的。
(2) 根据平移规律：常数项的变化对应上下平移，当$a＞0$时，$y=3x^2$的图象向上平移a个单位长度得到$y=3x^2+a$的图象；当$a＜0$时，$y=3x^2$的图象向下平移$|a|$个单位长度得到$y=3x^2+a$的图象。
(3) 函数$y=-3x^2-3$符合$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-3＜0$，因此开口向下；该类函数对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-3$得顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
图象如所示。
(1)二次函数 $y=3x^2+3$ 的图象由 $y=3x^2$ 的图象向上平移 3 个单位长度得到。
(2)当 $a＞0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向上平移 $a$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象；当 $a＜0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向下平移 $|a|$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象。
(3)函数 $y=-3x^2-3$ 的图象开口向下，对称轴为 $y$ 轴，顶点坐标为 $(0,-3)$。
【知识点】
二次函数图象画法；二次函数平移规律；$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象的绘制方法、平移规律以及基本性质，熟练掌握“上加下减”的平移规则和$y=ax^2+k$的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①画二次函数图象采用描点法，先选取对称的x值，分别计算两个函数对应的y值，再描点、用平滑曲线连线即可得到图象；②观察两个图象的顶点位置、形状、开口方向，判断图象的平移关系，二次函数二次项系数相同则图象形状相同，仅位置不同，平移遵循“上加下减常数项”的规律；③对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，a的符号决定开口方向，对称轴固定为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，直接代入对应数值即可求解第(3)问。
【解析】
1. 画图象步骤：
①列表：取$x=-2、-1、0、1、2$，分别计算函数值：
对$y=3x^2$，对应y值为12、3、0、3、12；对$y=3x^2+3$，对应y值为15、6、3、6、15。
②描点：在平面直角坐标系中描出上述对应点。
③连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到两个函数的图象。
(1) 观察两个图象：二者开口方向、形状完全相同，$y=3x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=3x^2+3$的顶点为$(0,3)$，因此$y=3x^2+3$的图象是由$y=3x^2$的图象向上平移3个单位长度得到的。
(2) 根据平移规律：常数项的变化对应上下平移，当$a＞0$时，$y=3x^2$的图象向上平移a个单位长度得到$y=3x^2+a$的图象；当$a＜0$时，$y=3x^2$的图象向下平移$|a|$个单位长度得到$y=3x^2+a$的图象。
(3) 函数$y=-3x^2-3$符合$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-3＜0$，因此开口向下；该类函数对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-3$得顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
图象如
所示。(1)二次函数 $y=3x^2+3$ 的图象由 $y=3x^2$ 的图象向上平移 3 个单位长度得到。
(2)当 $a＞0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向上平移 $a$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象；当 $a＜0$ 时，$y=3x^2$ 的图象向下平移 $|a|$ 个单位长度得到 $y=3x^2+a$ 的图象。
(3)函数 $y=-3x^2-3$ 的图象开口向下，对称轴为 $y$ 轴，顶点坐标为 $(0,-3)$。
【知识点】
二次函数图象画法；二次函数平移规律；$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查二次函数图象的绘制方法、平移规律以及基本性质，熟练掌握“上加下减”的平移规则和$y=ax^2+k$的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
