1. 如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为$30°$,看这栋楼底部C的俯角β为$60°$,无人机与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高度为 ()

A.$140\sqrt{3}$ m
B.$160\sqrt{3}$ m
C.$180\sqrt{3}$ m
D.$200\sqrt{3}$ m

1. B

2. 某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度(旗杆底端有台阶).该小组在C处安置测角仪CD,测得旗杆顶端A的仰角为$30°$,前进8 m到达E处,安置测角仪EF,测得旗杆顶端A的仰角为$45°$(点B,E,C在同一直线上),测角仪支架高$CD = EF = 1.2$ m,则旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度为 m.(结果精确到1 m.参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.7$)

2. 12 解析:如图,延长DF交AB于点G.

由题意,得 $DF=CE=8\ \mathrm{m},DC=EF=BG=1.2\ \mathrm{m}$,
$∠ AGF=90°$,设 $AG=x\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 中,$\because ∠ AFG=45°$,
$\therefore FG=\dfrac{AG}{\tan 45°}=x(\mathrm{m})$,
$\therefore DG=DF+FG=(x+8)\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADG$ 中,$\because ∠ ADG=30°$,
$\therefore \tan 30°=\dfrac{AG}{DG}=\dfrac{x}{x+8}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore x=4\sqrt{3}+4$,
经检验,$x=4\sqrt{3}+4$ 是原方程的根,
$\therefore AB=AG+BG\approx 12(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 旗杆顶端 $A$ 到地面的距离即 $AB$ 的长度约为 $12\ \mathrm{m}$.

3. (泰安岱岳区期中)根据题中所给的素材,完成下面的任务.
换房间的灯泡
素材1 房间内的灯泡到地面的距离为2.65 m
素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯,其中踏板,地面都是水平的,梯子的侧面简化结构如图所示,左右支撑架长度相等, $BD=1$ m,设梯子一边$AD$与地面的夹角为$α$,且$α$可调节的范围为$60° ≤ α ≤ 75°$
素材3 当$α=60°$时,一电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板$BE$上的最大触及高度为2.6 m
续表
示意图
任务1 当$α=60°$时,踏板$BE$离地面的高度$BH$(精确到0.01 m)
任务2 调节角度,试判断电工是否可以换下灯泡,并说明理由.(参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sin 15° \approx 0.26$, $\cos 15° \approx 0.97$, $\tan 15° \approx 0.27)$

3. 解:任务 1:在 $\mathrm{Rt}△ BDH$ 中,$BD=1$,$α=60°$,
$\because \sin α=\dfrac{BH}{BD}$,
$\therefore BH=BD· \sin α=1×\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87(\mathrm{m})$.
答:踏板 $BE$ 离地面的高度 $BH$ 约为 $0.87\ \mathrm{m}$.
任务 2:电工可以换下灯泡. 理由如下:
由题意,可知当 $α=75°$ 时,$BH$ 最大,
在 $\mathrm{Rt}△ BDH$ 中,$BD=1$,$α=75°$,
则 $BH=BD×\sin 75°=BD×\cos 15°\approx 0.97(\mathrm{m})$.
$\because 0.97+2.6-0.87=2.7＞2.65$,
$\therefore$ 电工可以换下灯泡.

4. 如图,考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为$60°$,斜坡AD的长为5米,坡度$i=3:4$,BD长为6米,则古塔BC的高度为 ()

A.$9\sqrt{3}$米
B.$10\sqrt{3}$米
C.$(3+10\sqrt{3})$米
D.$(4+9\sqrt{3})$米

4. C

5. 如图,为了测量校园内旗杆AB的高度,九年级数学应用实践小组,根据光的反射定律,利用镜子、皮尺和测角仪等工具,按以下方式进行测量:把镜子放在点O处,然后观测者沿着水平直线BO后退到点D,这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°,观测者眼睛与地面距离CD=1.7 m,BD=11 m,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数,$\sqrt{3}\approx1.7$)

5. 17