6. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 CD 的高度,如图,$DC ⊥ AM$于点 E,在 A 处测得大树底端 C 的仰角为 $15°$,沿水平地面前进 30 米到达 B 处,测得大树顶端 D 的仰角为 $53°$,测得山坡坡角$∠ CBM=30°$(图中各点均在同一平面内).
(1)求斜坡 BC 的长.
(2)求这棵大树 CD 的高度(结果取整数).
(参考数据:$\sin 53° \approx \frac{4}{5}$, $\cos 53° \approx \frac{3}{5}$, $\tan 53° \approx \frac{4}{3}$, $\sqrt{3} \approx 1.73$)

6. 解:(1)由题意,得 $∠ CAE=15°$,$AB=30$ 米.
$\because ∠ CBE$ 是 $△ ABC$ 的一个外角,
$\therefore ∠ ACB=∠ CBE-∠ CAE=15°$,
$\therefore ∠ ACB=∠ CAE=15°$,
$\therefore AB=BC=30$ 米,
$\therefore$ 斜坡 $BC$ 的长为 $30$ 米.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,$\because ∠ CBE=30°$,$BC=30$ 米,
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=15(\mathrm{米})$,$BE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC=15\sqrt{3}(\mathrm{米})$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中,
$\because ∠ DBE=53°$,
$\therefore DE=BE· \tan 53°\approx 15\sqrt{3}×\dfrac{4}{3}=20\sqrt{3}(\mathrm{米})$,
$\therefore DC=DE-CE=20\sqrt{3}-15\approx 20(\mathrm{米})$,
$\therefore$ 这棵大树 $CD$ 的高度约为 $20$ 米.

7. 如图,某数学兴趣小组为了测量古树 $DE$ 的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端 $D$在同一水平线上的点 $A$ 出发,沿斜面坡度为 $i=2:\sqrt{3}$ 的斜坡 $AB$ 前进 $20\sqrt{7}\ \mathrm{m}$ 到达点 $B$,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 $C$.在点 $C$ 处测得古树 $DE$ 的顶端 $E$ 的俯角为 $37°$,底部 $D$ 的俯角为 $60°$,求古树 $DE$ 的高度.
(参考数据:$\sin 37° \approx \frac{3}{5},\cos 37° \approx \frac{4}{5},\tan 37° \approx \frac{3}{4}$,计算结果用根号表示,不取近似值)

7. 解:如图,过点 $B$ 作 $BF⊥ AD$ 于点 $F$.

在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,
$\because i=2:\sqrt{3}$,
$\therefore$ 可设 $BF=2k$,$AF=\sqrt{3}k$.
$\because BF^2+AF^2=AB^2$,
$\therefore (2k)^2+(\sqrt{3}k)^2=(20\sqrt{7})^2$,
解得 $k=20$(负值已舍),
$\therefore BF=2k=40\ \mathrm{m}$.
延长 $BC$,$DE$ 交于点 $H$,
$\because BC$ 是水平线,$DE$ 是铅直线,
$\therefore DH⊥ CH$,$△ CDH$ 和 $△ CEH$ 都是直角三角形.
$\because AD$,$BC$ 都是水平线,$BF⊥ AD$,$DH⊥ BC$,
$\therefore$ 四边形 $BFDH$ 是矩形,
$\therefore DH=BF=40\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDH$ 中,
$\because \tan∠ DCH=\dfrac{DH}{CH}$,
$\therefore CH=\dfrac{DH}{\tan∠ DCH}=\dfrac{40}{\tan 60°}=\dfrac{40\sqrt{3}}{3}(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ CEH$ 中,$\because \tan∠ ECH=\dfrac{EH}{CH}$,
$\therefore EH=CH· \tan∠ ECH=\dfrac{40\sqrt{3}}{3}· \tan 37°\approx \dfrac{40\sqrt{3}}{3}×\dfrac{3}{4}=10\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore DE=DH-EH=(40-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 古树 $DE$ 的高度为 $(40-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.