母题 (教材随堂练习)如图,OC是∠AOB的平分线,∠BOD=$\frac{1}{3}$∠COD,∠BOD=15°,所以∠COD=,∠BOC=,∠AOB=.

因为∠BOD=$\frac{1}{3}$∠COD,∠BOD=15°,所以∠COD=45°,所以∠BOC=∠COD-∠BOD=45°-15°=30°. 因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOB=2∠BOC=60°.

(2025 北京潞河中学期末改编)如图，OC 是$∠ AOB$的平分线，OB 是$∠ AOD$的平分线，若$∠ AOD=80°$,求$∠ COD$的度数.

变式1题图

解: 因为∠AOD = 80°, OB 是∠AOD 的平分线,
所以∠AOB = ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°.
因为 OC 是∠AOB 的平分线,
所以∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°,
所以∠COD = ∠BOD + ∠BOC = 40°+20° = 60°.

如图,已知$∠ AOD = 80°$, $∠ BOD = 20°$, OC是$∠ AOB$的平分线,通过折叠使OD与OC重合,折痕为OE所在的直线,求$∠ BOE$的度数.

变式2题图

解:因为∠AOD = 80°, ∠BOD = 20°,
所以∠AOB = ∠AOD - ∠BOD = 80°-20° = 60°,
因为 OC 是∠AOB 的平分线,
所以∠BOC = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°,
所以∠COD = ∠BOD + ∠BOC = 20°+30° = 50°.
由题意可知,OE 是∠COD 的平分线,
所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°,
所以∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 30°-25° = 5°.

(2025河南郑州七中阶段练改编)如图,已知$∠ AOD=90°$,OE是过点O且在$∠ AOD$内部的一条射线,OC,OB分别平分$∠ AOE$,$∠ DOE$.当OE绕点O在$∠ AOD$的内部旋转时,请你探究$∠ BOC$的度数是否发生变化,并说明理由.

变式3题图

解:∠BOC 的度数不会发生变化,理由如下:
因为 OC,OB 分别平分∠AOE,∠DOE,
所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOE, ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠DOE,
所以∠BOC = ∠COE + ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOE + $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$(∠AOE+∠DOE) = $\frac{1}{2}$∠AOD.
因为∠AOD = 90°,
所以∠BOC = 45°,不会发生变化.

如图,已知$∠ AOD = 110°$, $∠ BOC = 80°$, $OE$平分$∠ BOC$.在直线$OA$上方绕点$O$旋转$∠ BOC$($OC$始终在$∠ AOD$内),试分别说明$∠ AOC + ∠ DOE = 70°$和$∠ AOC - ∠ DOE = 70°$成立的情况.

变式4题图
几何画板动态演示
角的旋转问题

解:分两种情况讨论:
①当 OE 在 OD 右侧时,
由题图可知,∠AOC+∠COE+∠DOE = ∠AOD = 110°,
因为 OE 平分∠BOC, ∠BOC = 80°,
所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 40°,
所以∠AOC+40°+∠DOE = 110°,
即∠AOC+∠DOE = 70°;
②如解图,当 OE 在 OD 左侧时,延长 AO 到点 F,
因为 OE 平分∠BOC, ∠BOC = 80°, 所以∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 40°,
因为∠AOD = 110°, 所以∠DOF = 180°-∠AOD = 180°-110° = 70°,
∠BOF = 180°-∠BOC-∠AOC = 180°-80°-∠AOC = 100°-∠AOC,
所以∠DOE = ∠DOF - ∠BOF - ∠BOE = 70°-(100°-∠AOC)-40° = ∠AOC-70°,
所以∠AOC-∠DOE = 70°.
综上所述,当 OE 在 OD 右侧时,∠AOC+∠DOE = 70°;当 OE 在 OD 左侧时,∠AOC-∠DOE = 70°.