1. 如图,已知$∠ AOC:∠ COD:∠ BOD=2:4:3$,且$A,O,B$三点在同一条直线上,$OE$平分$∠ AOD$.
(1)求$∠ AOE$的度数;
(2)若$OF$平分$∠ COD$,求$∠ EOF$的度数.

1. 解:(1) 因为∠AOC:∠COD:∠BOD = 2:4:3,且∠AOC+∠COD+∠BOD = ∠AOB = 180°,
所以∠AOC = $\frac{2}{9}$∠AOB = $\frac{2}{9}$×180° = 40°,
∠COD = $\frac{4}{9}$∠AOB = $\frac{4}{9}$×180° = 80°,
所以∠AOD = ∠AOC+∠COD = 40°+80° = 120°.
因为 OE 平分∠AOD,
所以∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°;
(2) 因为 OF 平分∠COD,
所以∠DOF = $\frac{1}{2}$∠COD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°,
由(1)可知∠AOE = 60°,
所以∠DOE = ∠AOE = 60°,
所以∠EOF = ∠DOE - ∠DOF = 60°-40° = 20°.

2. (2025山东枣庄实验中学期末)阅读下面材料:利用折纸可以作出角平分线.
(1)如图①,若∠AOB=58°,则∠BOC=;
(2)折叠长方形纸片,OC,OD均是折痕,折叠后,点A落在点A',点B落在点B'.
①如图②,当点B'在OA'上时,求∠COD的度数;

②如图③,当点B'在∠COA'的内部时,若∠AOC=44°,∠BOD=61°,求∠A'OB'的度数.

2. 解:(1)29°;
(2)①由折叠知,∠AOC = ∠A'OC, ∠BOD = ∠B'OD,
所以∠AOA' = 2∠A'OC, ∠BOB' = 2∠B'OD,
因为点 B' 在 OA' 上,
所以∠AOA'+∠BOB' = 180°,
所以 2∠A'OC+2∠B'OD = 180°,
所以∠A'OC+∠B'OD = 90°,
即∠COD = 90°;
②由折叠知,∠AOA' = 2∠AOC, ∠BOB' = 2∠BOD,
因为∠AOC = 44°, ∠BOD = 61°,
所以∠AOA' = 2∠AOC = 2×44° = 88°, ∠BOB' = 2∠BOD = 2×61° = 122°,
所以∠A'OB' = ∠AOA'+∠BOB'-180° = 88°+122°-180° = 30°,
即∠A'OB' = 30°.

3. 如图,已知∠AOB=150°,将含30°角的直角三角板OCD的30°角的顶点(∠COD=30°)与点O重合,OE,OF分别平分∠BOC和∠AOD.
(1)当三角板始终在∠AOB内绕点O转动时,∠EOF=°;
(2)若三角板绕点O转动,则在三角板旋转的过程中,当三角板斜边OD是∠EOF的平分线时,求∠BOC的度数.

几何画板动态演示
单个三角板旋转问题

3. 解:(1)90;
(2)分情况讨论:
①当三角板斜边 OD 在∠AOB 内部时,如解图①,
由(1)知, ∠EOF 的度数是一个定值, 且∠EOF = 90°,
因为 OD 是∠EOF 的平分线,
所以∠DOF = ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠EOF = 45°,
因为∠COD = 30°,
所以∠COE = ∠DOE - ∠COD = 45°-30° = 15°,
又因为 OE 平分∠BOC,
所以∠BOC = 2∠COE = 30°;
②当三角板斜边 OD 在∠AOB 外部时,如解图②,
因为∠BOC+∠AOD = 360°-150°+30° = 240°, OE, OF 分别平分∠BOC 和∠AOD,
所以∠BOE+∠AOF = 120°,
所以∠EOF = 360°-150°-120° = 90°.
因为 OD 是∠EOF 的平分线,
所以∠DOF = ∠DOE = 45°,
所以∠COE = ∠DOE + ∠COD = 45°+30° = 75°.
因为 OE 平分∠BOC,
所以∠BOC = 2∠COE = 150°.
综上所述,当三角板斜边 OD 是∠EOF 的平分线时,∠BOC 的度数为 30°或 150°.