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1. 下列条件中，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是 （
A.$AB=3, BC=4, AC=3$
B.$∠ A=40°, ∠ C=70°$
C.$∠ A:∠ B:∠ C =1:1:2$
D.$AB:BC:AC=2:3:4$
D
）A.$AB=3, BC=4, AC=3$
B.$∠ A=40°, ∠ C=70°$
C.$∠ A:∠ B:∠ C =1:1:2$
D.$AB:BC:AC=2:3:4$
答案
1.D
解析
【分析】
解题前先明确等腰三角形的两个判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。本题要求选出不能判定为等腰三角形的选项，只需逐一验证每个选项是否符合上述判定依据，排除符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$AB=3$，$AC=3$，可得$AB=AC$，满足“两条边相等”的判定条件，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
B选项：根据三角形内角和为$180°$，可计算$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-40°-70°=70°$，则$∠ B=∠ C$，满足“两个角相等”的判定条件，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
C选项：设三个角分别为$x$、$x$、$2x$，根据内角和定理得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，即三个角为$45°$、$45°$、$90°$，有两个角相等，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
D选项：$AB:BC:AC=2:3:4$，说明三条边的长度均不相等，没有两条相等的边，对应三个内角也均不相等，不满足等腰三角形的判定条件，因此不能判定$△ ABC$是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、比例的应用
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对等腰三角形判定规则的掌握，解题时要注意仔细审题，明确题干要求选择“不能判定”的选项，避免因看错设问导致失分。
【难度系数】
0.8
解题前先明确等腰三角形的两个判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。本题要求选出不能判定为等腰三角形的选项，只需逐一验证每个选项是否符合上述判定依据，排除符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$AB=3$，$AC=3$，可得$AB=AC$，满足“两条边相等”的判定条件，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
B选项：根据三角形内角和为$180°$，可计算$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-40°-70°=70°$，则$∠ B=∠ C$，满足“两个角相等”的判定条件，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
C选项：设三个角分别为$x$、$x$、$2x$，根据内角和定理得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，即三个角为$45°$、$45°$、$90°$，有两个角相等，因此$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意，排除；
D选项：$AB:BC:AC=2:3:4$，说明三条边的长度均不相等，没有两条相等的边，对应三个内角也均不相等，不满足等腰三角形的判定条件，因此不能判定$△ ABC$是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、比例的应用
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对等腰三角形判定规则的掌握，解题时要注意仔细审题，明确题干要求选择“不能判定”的选项，避免因看错设问导致失分。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=36°$,$D$,$E$两点在$BC$上,$∠ ADE=∠ AED=72°$,则图中等腰三角形的个数有 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
第2题图
D
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
第2题图答案
2.D
解析
【分析】
判定等腰三角形的核心依据是“等角对等边”，我们需要先结合已知角度，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质求出所有未知角的度数，再按顺序逐个判断每个三角形是否存在两个相等的内角，计数时注意避免遗漏或重复。
【解析】
我们逐个分析图中的三角形：
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=36°$，根据等角对等边可得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
2. 在$△ ADE$中，$∠ ADE=∠ AED=72°$，根据等角对等边可得$AD=AE$，故$△ ADE$是等腰三角形；
3. $∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入数值计算得$∠ BAD=72°-36°=36°$，即$∠ BAD=∠ B$，因此$BD=AD$，故$△ ABD$是等腰三角形；
4. 同理，$∠ AED$是$△ ACE$的外角，$∠ AED=∠ C+∠ CAE$，计算得$∠ CAE=72°-36°=36°$，即$∠ CAE=∠ C$，因此$CE=AE$，故$△ ACE$是等腰三角形；
5. 在$△ ADE$中，根据三角形内角和，$∠ DAE=180°-72°×2=36°$，因此$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°$，即$∠ BAE=∠ AEB$，因此$AB=BE$，故$△ ABE$是等腰三角形；
6. 同理，$∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=36°+36°=72°$，即$∠ CAD=∠ ADC$，因此$AC=CD$，故$△ ACD$是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计数题，解题的关键是熟练运用三角形角度相关性质求出所有角的度数，按固定顺序排查等腰三角形，避免因粗心漏数失分。
【难度系数】
0.7
判定等腰三角形的核心依据是“等角对等边”，我们需要先结合已知角度，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质求出所有未知角的度数，再按顺序逐个判断每个三角形是否存在两个相等的内角，计数时注意避免遗漏或重复。
【解析】
我们逐个分析图中的三角形：
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=36°$，根据等角对等边可得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
2. 在$△ ADE$中，$∠ ADE=∠ AED=72°$，根据等角对等边可得$AD=AE$，故$△ ADE$是等腰三角形；
3. $∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入数值计算得$∠ BAD=72°-36°=36°$，即$∠ BAD=∠ B$，因此$BD=AD$，故$△ ABD$是等腰三角形；
4. 同理，$∠ AED$是$△ ACE$的外角，$∠ AED=∠ C+∠ CAE$，计算得$∠ CAE=72°-36°=36°$，即$∠ CAE=∠ C$，因此$CE=AE$，故$△ ACE$是等腰三角形；
5. 在$△ ADE$中，根据三角形内角和，$∠ DAE=180°-72°×2=36°$，因此$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°$，即$∠ BAE=∠ AEB$，因此$AB=BE$，故$△ ABE$是等腰三角形；
6. 同理，$∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=36°+36°=72°$，即$∠ CAD=∠ ADC$，因此$AC=CD$，故$△ ACD$是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计数题，解题的关键是熟练运用三角形角度相关性质求出所有角的度数，按固定顺序排查等腰三角形，避免因粗心漏数失分。
【难度系数】
0.7
3.如图，OP平分∠AOB，点C在OP上，过点C作CD//OB，交OA于点D，若CD=4，则OD=（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，得到OP分∠AOB所得的两个角相等；再结合CD平行OB的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到一组相等的角；通过等量代换可得出△ODC中两个内角相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定，即可求出OD的长度。
【解析】
∵ OP平分∠AOB
∴ ∠DOC = ∠BOC
∵ CD//OB
∴ ∠DCO = ∠BOC（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠DOC = ∠DCO
∴ △DOC为等腰三角形
∴ OD = CD
∵ CD = 4
∴ OD = 4
故选C
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合，核心是通过等量代换得到相等的角，进而推导出相等的边，掌握相关基础性质和判定即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，得到OP分∠AOB所得的两个角相等；再结合CD平行OB的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到一组相等的角；通过等量代换可得出△ODC中两个内角相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定，即可求出OD的长度。
【解析】
∵ OP平分∠AOB
∴ ∠DOC = ∠BOC
∵ CD//OB
∴ ∠DCO = ∠BOC（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠DOC = ∠DCO
∴ △DOC为等腰三角形
∴ OD = CD
∵ CD = 4
∴ OD = 4
故选C
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合，核心是通过等量代换得到相等的角，进而推导出相等的边，掌握相关基础性质和判定即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,$∠ ACD$的平分线交$AB$于点$E$,下列结论一定成立的是（
A.$BC=BE$
B.$CE=CB$
C.$AE=CE$
D.$CE=BE$
A
）A.$BC=BE$
B.$CE=CB$
C.$AE=CE$
D.$CE=BE$
答案
4.A
解析
【分析】
要判断各选项的边是否相等，可通过推导角的关系结合“等角对等边”判断：首先利用直角三角形中同角的余角相等得到∠A=∠BCD，再结合角平分线的性质得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角的性质推导∠BEC和∠BCE的关系，最终得到对应边的关系。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE。
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又
∵∠BCE = ∠BCD + ∠DCE，
∴代入等量关系可得∠BEC = ∠BCE，
∴BC = BE（等角对等边），故A选项结论成立，其余选项均无法通过已知条件推导得出。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题关键是通过角的等量代换得到相等的角，再利用等腰三角形的判定得到等边，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的边是否相等，可通过推导角的关系结合“等角对等边”判断：首先利用直角三角形中同角的余角相等得到∠A=∠BCD，再结合角平分线的性质得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角的性质推导∠BEC和∠BCE的关系，最终得到对应边的关系。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE。
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE（三角形外角等于不相邻两内角和）。
又
∵∠BCE = ∠BCD + ∠DCE，
∴代入等量关系可得∠BEC = ∠BCE，
∴BC = BE（等角对等边），故A选项结论成立，其余选项均无法通过已知条件推导得出。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何推导题，解题关键是通过角的等量代换得到相等的角，再利用等腰三角形的判定得到等边，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，AE//BC，则△ABC是
等腰
三角形。答案
5.等腰
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，可通过证明三角形的两个内角相等来推导。首先结合角平分线的性质得到一组等角，再利用平行线的性质，将得到的等角和△ABC的内角∠B、∠C建立联系，最后根据等角对等边即可判断三角形类型。
【解析】
∵ AE是∠CAD的平分线，
∴ ∠DAE = ∠CAE（角平分线的定义）。
又
∵ AE//BC，
∴ ∠DAE = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B = ∠C（等量代换），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质，推导出三角形的两个底角相等，考查了对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，可通过证明三角形的两个内角相等来推导。首先结合角平分线的性质得到一组等角，再利用平行线的性质，将得到的等角和△ABC的内角∠B、∠C建立联系，最后根据等角对等边即可判断三角形类型。
【解析】
∵ AE是∠CAD的平分线，
∴ ∠DAE = ∠CAE（角平分线的定义）。
又
∵ AE//BC，
∴ ∠DAE = ∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B = ∠C（等量代换），
∴ AB = AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质，推导出三角形的两个底角相等，考查了对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,交$AB$于点$E$,过点$E$作$EF // BC$,交$△ ABC$的外角$∠ ACG$的平分线于点$F$,$EF$交$AC$于点$D$,若$EF=10$,则$CD$=
5
.答案
6.5
解析
【分析】
我们可以从已知的角平分线和平行线条件入手，首先回忆“角平分线+平行线”的组合通常能推导出等腰三角形。第一步先利用内角平分线CE和平行线$EF// BC$，证得$△ EDC$为等腰三角形，得到$ED=CD$；第二步利用外角平分线CF和平行线$EF// BC$，证得$△ DFC$为等腰三角形，得到$DF=CD$；由此可得$ED=DF=CD$，即CD是EF的一半，代入EF的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ BCE=∠ DCE$，
∵$EF// BC$，
∴$∠ BCE=∠ DEC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ DCE=∠ DEC$，
∴$ED=CD$（等角对等边）。
∵CF平分$∠ ACG$，
∴$∠ FCG=∠ DCF$，
∵$EF// BC$，
∴$∠ FCG=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ DCF=∠ F$，
∴$DF=CD$（等角对等边）。
∴$ED=DF=CD$，
∴$CD=\frac{1}{2}EF$，
∵$EF=10$，
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查“角平分线+平行线推出等腰三角形”的常用几何模型，熟练掌握该模型能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
我们可以从已知的角平分线和平行线条件入手，首先回忆“角平分线+平行线”的组合通常能推导出等腰三角形。第一步先利用内角平分线CE和平行线$EF// BC$，证得$△ EDC$为等腰三角形，得到$ED=CD$；第二步利用外角平分线CF和平行线$EF// BC$，证得$△ DFC$为等腰三角形，得到$DF=CD$；由此可得$ED=DF=CD$，即CD是EF的一半，代入EF的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ BCE=∠ DCE$，
∵$EF// BC$，
∴$∠ BCE=∠ DEC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ DCE=∠ DEC$，
∴$ED=CD$（等角对等边）。
∵CF平分$∠ ACG$，
∴$∠ FCG=∠ DCF$，
∵$EF// BC$，
∴$∠ FCG=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ DCF=∠ F$，
∴$DF=CD$（等角对等边）。
∴$ED=DF=CD$，
∴$CD=\frac{1}{2}EF$，
∵$EF=10$，
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查“角平分线+平行线推出等腰三角形”的常用几何模型，熟练掌握该模型能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点D，过点D作$EF// BC$，分别交AB，AC于点E，F。若$AB=14$，$AC=18$，$BC=21$，则$△ AEF$的周长为
32
。答案
7.32
解析
【分析】
本题可利用“角平分线+平行线”的经典几何模型解题：首先根据角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的性质推导等角，进而判定出等腰三角形，得到相等的线段，最后将△AEF的周长通过等量代换转化为AB与AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线
∴∠EBD = ∠CBD，∠FCD = ∠BCD
∵EF//BC
∴∠EDB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等），∠FDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EBD = ∠EDB，∠FCD = ∠FDC
∴△EBD和△FCD均为等腰三角形
∴ED = EB，FD = FC
△AEF的周长 = AE + EF + AF
∵EF = ED + DF
∴周长 = AE + ED + DF + AF = AE + EB + FC + AF = (AE+EB) + (AF+FC) = AB + AC
代入AB=14，AC=18，得周长=14+18=32
【答案】
32
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线与平行线组合必出等腰三角形”的模型，通过线段的等量代换简化周长计算，无需逐一求解△AEF的各边长度，体现了几何转化思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
本题可利用“角平分线+平行线”的经典几何模型解题：首先根据角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的性质推导等角，进而判定出等腰三角形，得到相等的线段，最后将△AEF的周长通过等量代换转化为AB与AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线
∴∠EBD = ∠CBD，∠FCD = ∠BCD
∵EF//BC
∴∠EDB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等），∠FDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EBD = ∠EDB，∠FCD = ∠FDC
∴△EBD和△FCD均为等腰三角形
∴ED = EB，FD = FC
△AEF的周长 = AE + EF + AF
∵EF = ED + DF
∴周长 = AE + ED + DF + AF = AE + EB + FC + AF = (AE+EB) + (AF+FC) = AB + AC
代入AB=14，AC=18，得周长=14+18=32
【答案】
32
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线与平行线组合必出等腰三角形”的模型，通过线段的等量代换简化周长计算，无需逐一求解△AEF的各边长度，体现了几何转化思想的便捷性。
【难度系数】
0.7
