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13.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,过点$A$作$AE// BC$,交$BD$的延长线于点$E$.
(1)若$∠ BAC=48°$,求$∠ E$的度数;
(2)若$F$是$DE$上一点,且$AD=AF$,则$BF$与$DE$相等吗?请说明理由.
(1)若$∠ BAC=48°$,求$∠ E$的度数;
(2)若$F$是$DE$上一点,且$AD=AF$,则$BF$与$DE$相等吗?请说明理由.
答案
13.(1)$33°$ (2)$BF=DE$,理由略
解析
【分析】
(1) 求解∠E的度数时，先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知的顶角度数算出底角∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠E的度数。
(2) 判断BF与DE是否相等，可通过证明对应三角形全等推导：首先结合角平分线和平行线的性质推出∠ABD=∠E，得到AB=AE；再由AD=AF推出∠AFB=∠ADE，最后利用AAS证明△ABF和△AED全等，即可得到两条线段相等。
【解析】
(1) 解：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB$。
∵三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=48°$，
∴$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×66°=33°$。
∵$AE// BC$，两直线平行内错角相等，
∴$∠ E=∠ DBC=33°$。
(2) 解：$BF=DE$，理由如下：
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC$。
∵$AE// BC$，
∴$∠ E=∠ DBC$，
∴$∠ ABD=∠ E$，
∴$AB=AE$。
∵$AD=AF$，
∴$∠ ADF=∠ AFD$，
∴$180°-∠ AFD=180°-∠ ADF$，即$∠ AFB=∠ ADE$。
在$△ ABF$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ AFB=∠ ADE \\∠ ABF=∠ E \\AB=AE\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ AED(\mathrm{AAS})$，
∴$BF=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{33°}$；(2) $\boxed{BF=DE}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形的常考综合题，难度适中，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的性质，准确找到全等三角形的判定条件，同时注意几何证明的书写规范。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠E的度数时，先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知的顶角度数算出底角∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠E的度数。
(2) 判断BF与DE是否相等，可通过证明对应三角形全等推导：首先结合角平分线和平行线的性质推出∠ABD=∠E，得到AB=AE；再由AD=AF推出∠AFB=∠ADE，最后利用AAS证明△ABF和△AED全等，即可得到两条线段相等。
【解析】
(1) 解：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB$。
∵三角形内角和为$180°$，$∠ BAC=48°$，
∴$∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×66°=33°$。
∵$AE// BC$，两直线平行内错角相等，
∴$∠ E=∠ DBC=33°$。
(2) 解：$BF=DE$，理由如下：
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC$。
∵$AE// BC$，
∴$∠ E=∠ DBC$，
∴$∠ ABD=∠ E$，
∴$AB=AE$。
∵$AD=AF$，
∴$∠ ADF=∠ AFD$，
∴$180°-∠ AFD=180°-∠ ADF$，即$∠ AFB=∠ ADE$。
在$△ ABF$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ AFB=∠ ADE \\∠ ABF=∠ E \\AB=AE\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ AED(\mathrm{AAS})$，
∴$BF=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{33°}$；(2) $\boxed{BF=DE}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形的常考综合题，难度适中，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的性质，准确找到全等三角形的判定条件，同时注意几何证明的书写规范。
【难度系数】
0.7
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,D,E两点分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,则∠BEC=
(2)探究∠BEC与∠BDC之间有何数量关系,并说明理由.
(1)若∠ABC=80°,则∠BEC=
60°
,∠BDC=50°
;(2)探究∠BEC与∠BDC之间有何数量关系,并说明理由.
答案
14.(1)$60°,50°$ (2)$∠BEC+∠BDC=110°$
解析
【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，分别在等腰△BCE和等腰△BDC中结合内角和公式计算对应角的度数。
(2) 探究两角数量关系时，可设∠ABC=α、∠ACB=β，先由△ABC的内角和得到α+β的定值，再分别用α、β表示出∠BDC和∠BEC，将两式相加即可推导出两角的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，
根据三角形内角和定理，得$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-40°-80°=60°$。
∵$CE=BC$，
∴△BCE为等腰三角形，$∠ BEC=∠ CBE$，
∴$∠ BEC=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
∵$BD=BC$，
∴△BDC为等腰三角形，$∠ BDC=∠ BCD$，
∴$∠ BDC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
(2) $∠ BEC+∠ BDC=110°$，理由如下：
设$∠ ABC=α$，$∠ ACB=β$，
在△ABC中，$∠ A=40°$，根据内角和定理得$α+β=180°-40°=140°$。
∵$BD=BC$，
∴$∠ BDC=\frac{180°-α}{2}$；
∵$CE=BC$，
∴$∠ BEC=\frac{180°-β}{2}$。
将两式相加得：
$∠ BEC+∠ BDC=\frac{(180°-α)+(180°-β)}{2}=\frac{360°-(α+β)}{2}$，
代入$α+β=140°$，得$∠ BEC+∠ BDC=\frac{360°-140°}{2}=110°$。
【答案】
(1)$60°$，$50°$；(2)$∠ BEC+∠ BDC=110°$
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查等腰三角形等边对等角性质和三角形内角和定理的综合运用，通过设参数表示角度的方法可以直观推导两角的数量关系，是等腰三角形基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，分别在等腰△BCE和等腰△BDC中结合内角和公式计算对应角的度数。
(2) 探究两角数量关系时，可设∠ABC=α、∠ACB=β，先由△ABC的内角和得到α+β的定值，再分别用α、β表示出∠BDC和∠BEC，将两式相加即可推导出两角的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，
根据三角形内角和定理，得$∠ ACB=180°-∠ A-∠ ABC=180°-40°-80°=60°$。
∵$CE=BC$，
∴△BCE为等腰三角形，$∠ BEC=∠ CBE$，
∴$∠ BEC=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
∵$BD=BC$，
∴△BDC为等腰三角形，$∠ BDC=∠ BCD$，
∴$∠ BDC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
(2) $∠ BEC+∠ BDC=110°$，理由如下：
设$∠ ABC=α$，$∠ ACB=β$，
在△ABC中，$∠ A=40°$，根据内角和定理得$α+β=180°-40°=140°$。
∵$BD=BC$，
∴$∠ BDC=\frac{180°-α}{2}$；
∵$CE=BC$，
∴$∠ BEC=\frac{180°-β}{2}$。
将两式相加得：
$∠ BEC+∠ BDC=\frac{(180°-α)+(180°-β)}{2}=\frac{360°-(α+β)}{2}$，
代入$α+β=140°$，得$∠ BEC+∠ BDC=\frac{360°-140°}{2}=110°$。
【答案】
(1)$60°$，$50°$；(2)$∠ BEC+∠ BDC=110°$
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查等腰三角形等边对等角性质和三角形内角和定理的综合运用，通过设参数表示角度的方法可以直观推导两角的数量关系，是等腰三角形基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
