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7.如图，直线$l_1// l_2$，点A在$l_1$上，点B在$l_2$上，且AB=AC，$∠ BAC=40°$，则$∠1 + ∠2=$
70°
.答案
7.70°
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，有等腰三角形和两条平行直线，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出底角∠ACB的度数；再通过过点C作平行于$l_1$的辅助线，结合平行线的传递性得到这条辅助线也平行于$l_2$，最后利用平行线“内错角相等”的性质，将∠1和∠2转化为∠ACB的两个组成部分，即可求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=40°$，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得：
$∠ACB = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°$。
过点C作$CD// l_1$，
∵$l_1// l_2$，
∴$CD// l_1// l_2$，
根据两直线平行，内错角相等，可得：
$∠2 = ∠ACD$，$∠1 = ∠BCD$，
∴$∠1 + ∠2 = ∠BCD + ∠ACD = ∠ACB = 70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将等腰三角形的角度计算和平行线的角性质结合考查，通过作辅助线构造内错角可快速简化角的转化过程，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和平行线的相关性质，灵活运用辅助线转化角的关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，有等腰三角形和两条平行直线，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出底角∠ACB的度数；再通过过点C作平行于$l_1$的辅助线，结合平行线的传递性得到这条辅助线也平行于$l_2$，最后利用平行线“内错角相等”的性质，将∠1和∠2转化为∠ACB的两个组成部分，即可求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=40°$，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得：
$∠ACB = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°$。
过点C作$CD// l_1$，
∵$l_1// l_2$，
∴$CD// l_1// l_2$，
根据两直线平行，内错角相等，可得：
$∠2 = ∠ACD$，$∠1 = ∠BCD$，
∴$∠1 + ∠2 = ∠BCD + ∠ACD = ∠ACB = 70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将等腰三角形的角度计算和平行线的角性质结合考查，通过作辅助线构造内错角可快速简化角的转化过程，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和平行线的相关性质，灵活运用辅助线转化角的关系。
【难度系数】
0.7
8.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为 （
A.12
B.15
C.12或15
D.12或9
B
）A.12
B.15
C.12或15
D.12或9
答案
8.B
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：首先等腰三角形的边分为腰和底，题目没有明确说明3和6哪个是腰哪个是底，因此需要分两种情况分类讨论；其次根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证两种情况是否能构成三角形，舍去不能构成的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三角形的三边长分别为3、3、6
∵ 3+3=6，不满足三角形两边之和大于第三边
∴ 此种情况不能构成三角形，舍去；
② 当腰长为6时，三角形的三边长分别为6、6、3
∵ 3+6=9＞6，6+6=12＞3，满足三角形三边关系
∴ 此种情况可构成三角形，周长为6+6+3=15
综上，这个等腰三角形的周长为15，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的常见易错题，解题时需注意：分类讨论腰长的同时，一定要结合三角形三边关系验证能否构成三角形，避免未经验证直接计算导致错选。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两步思考：首先等腰三角形的边分为腰和底，题目没有明确说明3和6哪个是腰哪个是底，因此需要分两种情况分类讨论；其次根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证两种情况是否能构成三角形，舍去不能构成的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三角形的三边长分别为3、3、6
∵ 3+3=6，不满足三角形两边之和大于第三边
∴ 此种情况不能构成三角形，舍去；
② 当腰长为6时，三角形的三边长分别为6、6、3
∵ 3+6=9＞6，6+6=12＞3，满足三角形三边关系
∴ 此种情况可构成三角形，周长为6+6+3=15
综上，这个等腰三角形的周长为15，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的常见易错题，解题时需注意：分类讨论腰长的同时，一定要结合三角形三边关系验证能否构成三角形，避免未经验证直接计算导致错选。
【难度系数】
0.7
9.如图，点O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，若∠ACB=70°，则∠AOB=
140°
.答案
9.140°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件OA=OB=OC，可推出△OAB、△OBC、△OAC都是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可以完成角度的等量转换。要求∠AOB，可将其放在△AOB中，利用三角形内角和定理，只要先求出∠OAB与∠OBA的和即可。先借助△ABC的内角和算出∠BAC+∠ABC的度数，再通过角度拆分和等腰三角形的等角关系，推导得出∠OAB+∠OBA的数值，最后计算∠AOB即可。
【解析】
解：
∵ OA=OB=OC
∴ △OAC、△OBC、△OAB均为等腰三角形
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=70°
∴ ∠OAC+∠OBC=70°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180°-70°=110°
又
∵ ∠BAC=∠OAB+∠OAC，∠ABC=∠OBA+∠OBC
∴ ∠OAB+∠OAC + ∠OBA+∠OBC = 110°
将∠OAC+∠OBC=70°代入上式得：
∠OAB+∠OBA +70°=110°
解得∠OAB+∠OBA=40°
在△AOB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-40°=140°
【答案】
140°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的灵活应用，解题核心是通过相等的线段得到等腰三角形，完成角度的等量转化，结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，对角度拆分转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件OA=OB=OC，可推出△OAB、△OBC、△OAC都是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可以完成角度的等量转换。要求∠AOB，可将其放在△AOB中，利用三角形内角和定理，只要先求出∠OAB与∠OBA的和即可。先借助△ABC的内角和算出∠BAC+∠ABC的度数，再通过角度拆分和等腰三角形的等角关系，推导得出∠OAB+∠OBA的数值，最后计算∠AOB即可。
【解析】
解：
∵ OA=OB=OC
∴ △OAC、△OBC、△OAB均为等腰三角形
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=70°
∴ ∠OAC+∠OBC=70°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180°-70°=110°
又
∵ ∠BAC=∠OAB+∠OAC，∠ABC=∠OBA+∠OBC
∴ ∠OAB+∠OAC + ∠OBA+∠OBC = 110°
将∠OAC+∠OBC=70°代入上式得：
∠OAB+∠OBA +70°=110°
解得∠OAB+∠OBA=40°
在△AOB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-40°=140°
【答案】
140°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的灵活应用，解题核心是通过相等的线段得到等腰三角形，完成角度的等量转化，结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，对角度拆分转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=100°$，$D$，$E$为$AB$上两点，且$AE=AC$，$BD=BC$，则$∠ DCE=$
40°
.答案
10.40°
解析
【分析】
解题时首先观察到已知条件中有两组边相等，可优先考虑等腰三角形“等边对等角”的性质。首先利用△ABC的内角和求出∠A与∠B的和，再分别表示出等腰△ACE、等腰△BCD的底角∠AEC和∠BDC，最后在△CDE中利用内角和定理即可求出∠DCE的度数，过程中注意整体代入∠A+∠B的和简化计算。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=100°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵ $AE=AC$，
∴ $△ ACE$是等腰三角形，根据等边对等角：
$∠ AEC = ∠ ACE = \frac{180° - ∠ A}{2}$
∵ $BD=BC$，
∴ $△ BCD$是等腰三角形，根据等边对等角：
$∠ BDC = ∠ BCD = \frac{180° - ∠ B}{2}$
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ DCE = 180° - (∠ AEC + ∠ BDC)$
将$∠ AEC$、$∠ BDC$代入得：
$\begin{aligned}∠ DCE&=180° - ( \frac{180° - ∠ A}{2} + \frac{180° - ∠ B}{2} )\\&=180° - \frac{360° - (∠ A + ∠ B)}{2}\\&=180° - \frac{360° - 80°}{2}\\&=180° - 140°\\&=40°\end{aligned}$
【答案】
$40°$
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，解题核心是通过等腰三角形的等角关系将未知角与已知角建立关联，利用整体代入的方法计算角度，避免单独求解∠A、∠B的度数，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到已知条件中有两组边相等，可优先考虑等腰三角形“等边对等角”的性质。首先利用△ABC的内角和求出∠A与∠B的和，再分别表示出等腰△ACE、等腰△BCD的底角∠AEC和∠BDC，最后在△CDE中利用内角和定理即可求出∠DCE的度数，过程中注意整体代入∠A+∠B的和简化计算。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=100°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵ $AE=AC$，
∴ $△ ACE$是等腰三角形，根据等边对等角：
$∠ AEC = ∠ ACE = \frac{180° - ∠ A}{2}$
∵ $BD=BC$，
∴ $△ BCD$是等腰三角形，根据等边对等角：
$∠ BDC = ∠ BCD = \frac{180° - ∠ B}{2}$
在△CDE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ DCE = 180° - (∠ AEC + ∠ BDC)$
将$∠ AEC$、$∠ BDC$代入得：
$\begin{aligned}∠ DCE&=180° - ( \frac{180° - ∠ A}{2} + \frac{180° - ∠ B}{2} )\\&=180° - \frac{360° - (∠ A + ∠ B)}{2}\\&=180° - \frac{360° - 80°}{2}\\&=180° - 140°\\&=40°\end{aligned}$
【答案】
$40°$
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，解题核心是通过等腰三角形的等角关系将未知角与已知角建立关联，利用整体代入的方法计算角度，避免单独求解∠A、∠B的度数，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
11.如图,在四边形ABCD中,∠D=90°,CA平分∠BCD,AB=AC.求证BC=2CD. 
第11题图
第11题图答案
证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC，AE⊥BC，
∴ 由等腰三角形三线合一可得：BC=2CE。
∵ CA平分∠BCD，
∴ ∠ACD=∠ACE。
∵ ∠D=90°，∠AEC=90°，
∴ ∠D=∠AEC。
在△ACD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠AEC \\∠ACD=∠ACE \\AC=AC\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACE（AAS）。
∴ CD=CE。
又∵ BC=2CE，
∴ BC=2CD。
∵ AB=AC，AE⊥BC，
∴ 由等腰三角形三线合一可得：BC=2CE。
∵ CA平分∠BCD，
∴ ∠ACD=∠ACE。
∵ ∠D=90°，∠AEC=90°，
∴ ∠D=∠AEC。
在△ACD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠AEC \\∠ACD=∠ACE \\AC=AC\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACE（AAS）。
∴ CD=CE。
又∵ BC=2CE，
∴ BC=2CD。
解析
【分析】
要证明BC=2CD，这类线段倍分关系通常可以将长线段拆分为相等的两段，转化为证明其中一段与短线段相等。首先由已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过点A作AE⊥BC于E，即可得到BC=2CE，此时问题转化为证明CE=CD。再结合CA平分∠BCD、∠D=∠AEC=90°、AC为公共边的条件，可通过AAS证明△ACD≌△ACE，从而得到CD=CE，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC，AE⊥BC，
∴ 由等腰三角形三线合一可得：BC=2CE。
∵ CA平分∠BCD，
∴ ∠ACD=∠ACE。
∵ ∠D=90°，∠AEC=90°，
∴ ∠D=∠AEC。
在△ACD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠AEC \\∠ACD=∠ACE \\AC=AC\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACE（AAS）。
∴ CD=CE。
又
∵ BC=2CE，
∴ BC=2CD。
【答案】
BC=2CD
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
这道题是几何证明的典型题型，解题核心是通过作等腰三角形底边上的高构造全等三角形，将线段的倍分关系转化为线段相等的证明，需要熟练掌握等腰三角形三线合一、全等三角形判定等基础知识点，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6
要证明BC=2CD，这类线段倍分关系通常可以将长线段拆分为相等的两段，转化为证明其中一段与短线段相等。首先由已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过点A作AE⊥BC于E，即可得到BC=2CE，此时问题转化为证明CE=CD。再结合CA平分∠BCD、∠D=∠AEC=90°、AC为公共边的条件，可通过AAS证明△ACD≌△ACE，从而得到CD=CE，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC，AE⊥BC，
∴ 由等腰三角形三线合一可得：BC=2CE。
∵ CA平分∠BCD，
∴ ∠ACD=∠ACE。
∵ ∠D=90°，∠AEC=90°，
∴ ∠D=∠AEC。
在△ACD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠AEC \\∠ACD=∠ACE \\AC=AC\end{array} $
∴ △ACD ≌ △ACE（AAS）。
∴ CD=CE。
又
∵ BC=2CE，
∴ BC=2CD。
【答案】
BC=2CD
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
这道题是几何证明的典型题型，解题核心是通过作等腰三角形底边上的高构造全等三角形，将线段的倍分关系转化为线段相等的证明，需要熟练掌握等腰三角形三线合一、全等三角形判定等基础知识点，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$△ ABC$的三边上，且$BE=CF$，$BD=CE$。
(1)探究$DE$与$EF$的大小关系，并说明理由；
(2)若$∠ A=68°$，求$∠ EDF$的度数。
(1)探究$DE$与$EF$的大小关系，并说明理由；
(2)若$∠ A=68°$，求$∠ EDF$的度数。
答案
12.(1)$DE=EF$,理由略 (2)$62°$
解析
【分析】
(1) 要判断DE与EF的大小关系，首先根据AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得两底角∠B=∠C，结合已知的BE=CF、BD=CE两组边相等，可通过SAS判定△DBE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等即可得到DE和EF的关系；
(2) 先利用三角形内角和及等腰三角形两底角相等的性质求出∠B的度数，再由全等三角形对应角相等得到∠BDE=∠CEF，通过角度的等量代换求出∠DEF的度数，最后结合DE=EF可知△DEF为等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠EDF的度数。
【解析】
(1) $DE=EF$，理由如下：
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
在$△ DBE$和$△ ECF$中：
$\begin{cases} BD=CE \\ ∠ B=∠ C \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore △ DBE ≌ △ ECF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=EF$。
(2) 解：$\because ∠ A=68°$，$∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-68°}{2}=56°$。
由$△ DBE ≌ △ ECF$得$∠ BDE=∠ CEF$，
在$△ DBE$中，$∠ BDE+∠ BED=180°-∠ B=124°$，
$\therefore ∠ CEF+∠ BED=124°$，
$\because ∠ BED+∠ DEF+∠ CEF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ DEF=180°-(∠ CEF+∠ BED)=180°-124°=56°$。
$\because DE=EF$，$\therefore △ DEF$为等腰三角形，$∠ EDF=∠ EFD$，
$\therefore ∠ EDF=\frac{180°-∠ DEF}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$。
【答案】
(1) $DE=EF$；(2) $62°$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过已知条件构造全等三角形，再结合角度的等量代换求解，能帮助学生巩固等腰三角形和全等三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断DE与EF的大小关系，首先根据AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得两底角∠B=∠C，结合已知的BE=CF、BD=CE两组边相等，可通过SAS判定△DBE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等即可得到DE和EF的关系；
(2) 先利用三角形内角和及等腰三角形两底角相等的性质求出∠B的度数，再由全等三角形对应角相等得到∠BDE=∠CEF，通过角度的等量代换求出∠DEF的度数，最后结合DE=EF可知△DEF为等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠EDF的度数。
【解析】
(1) $DE=EF$，理由如下：
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
在$△ DBE$和$△ ECF$中：
$\begin{cases} BD=CE \\ ∠ B=∠ C \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore △ DBE ≌ △ ECF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=EF$。
(2) 解：$\because ∠ A=68°$，$∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-68°}{2}=56°$。
由$△ DBE ≌ △ ECF$得$∠ BDE=∠ CEF$，
在$△ DBE$中，$∠ BDE+∠ BED=180°-∠ B=124°$，
$\therefore ∠ CEF+∠ BED=124°$，
$\because ∠ BED+∠ DEF+∠ CEF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ DEF=180°-(∠ CEF+∠ BED)=180°-124°=56°$。
$\because DE=EF$，$\therefore △ DEF$为等腰三角形，$∠ EDF=∠ EFD$，
$\therefore ∠ EDF=\frac{180°-∠ DEF}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$。
【答案】
(1) $DE=EF$；(2) $62°$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过已知条件构造全等三角形，再结合角度的等量代换求解，能帮助学生巩固等腰三角形和全等三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
