登录
8.如图,在锐角三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,点E在AD上,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=8,则△EBC的面积是
16
.答案
8.16
解析
【分析】
首先根据等腰三角形的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC可推出AD垂直平分BC，得到BC中点D以及AD⊥BC的结论；再结合∠EBC=45°，可判断△EBD为等腰直角三角形，得出高ED的长度，最后代入三角形面积公式计算即可得到△EBC的面积。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，得AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$BC。
∵BC=8，
∴BD=$\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，
∴∠BED=180°-90°-45°=45°，
∴∠EBC=∠BED，
∴ED=BD=4。
则△EBC的面积为：$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}×BC×ED=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角度关系推出所求三角形的高，对几何性质的综合应用能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC可推出AD垂直平分BC，得到BC中点D以及AD⊥BC的结论；再结合∠EBC=45°，可判断△EBD为等腰直角三角形，得出高ED的长度，最后代入三角形面积公式计算即可得到△EBC的面积。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，得AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$BC。
∵BC=8，
∴BD=$\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，
∴∠BED=180°-90°-45°=45°，
∴∠EBC=∠BED，
∴ED=BD=4。
则△EBC的面积为：$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}×BC×ED=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角度关系推出所求三角形的高，对几何性质的综合应用能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
9.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$上一点，$∠ B=30°$，$∠ DAB=45°$，若$AB=3$，则$CD=\_\_\_\_\_\_$.
答案
9.3
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠C的度数，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数，进一步求出∠DAC的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，发现∠ADC和∠DAC相等，根据等角对等边得到CD=AC，最后结合AB=AC的已知条件就能求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠DAB=120°-45°=75°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°+45°=75°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=AC（等角对等边），
又
∵AB=AC=3，
∴CD=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础应用题，解题核心是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的相等关系，思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形的性质和三角形相关角的运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠C的度数，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数，进一步求出∠DAC的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，发现∠ADC和∠DAC相等，根据等角对等边得到CD=AC，最后结合AB=AC的已知条件就能求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠DAB=120°-45°=75°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°+45°=75°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=AC（等角对等边），
又
∵AB=AC=3，
∴CD=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础应用题，解题核心是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的相等关系，思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形的性质和三角形相关角的运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$3×3$的小正方形网格中,网格线的交点叫格点.已知A,B是两个格点,若点P也是网格中的格点,且使$△ ABP$是等腰三角形,那么满足条件的P点共有
8
个.答案
10.8
解析
【分析】
要找出使△ABP为等腰三角形的格点P，需依据等腰三角形的定义分类讨论：一是AB为腰、A为顶角顶点（AB=AP），二是AB为腰、B为顶角顶点（BA=BP），三是AB为底边（PA=PB）。先利用勾股定理算出AB的长度，再分别在网格中寻找符合对应边长关系的格点，排除三点共线的情况后统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
分三种情况讨论：
1. 当$AB=AP$时，以点A为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，与网格格点的交点（不含点B）共3个，均满足条件；
2. 当$BA=BP$时，以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，与网格格点的交点（不含点A）共3个，均满足条件；
3. 当$PA=PB$时，作AB的垂直平分线，与网格格点的交点共2个，均满足条件。
综上，满足条件的点P总个数为$3+3+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题结合网格考查等腰三角形的判定，解题关键是合理分类，避免漏解或多解，同时要结合网格特征筛选符合要求的格点，对学生的作图和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
要找出使△ABP为等腰三角形的格点P，需依据等腰三角形的定义分类讨论：一是AB为腰、A为顶角顶点（AB=AP），二是AB为腰、B为顶角顶点（BA=BP），三是AB为底边（PA=PB）。先利用勾股定理算出AB的长度，再分别在网格中寻找符合对应边长关系的格点，排除三点共线的情况后统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
分三种情况讨论：
1. 当$AB=AP$时，以点A为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，与网格格点的交点（不含点B）共3个，均满足条件；
2. 当$BA=BP$时，以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，与网格格点的交点（不含点A）共3个，均满足条件；
3. 当$PA=PB$时，作AB的垂直平分线，与网格格点的交点共2个，均满足条件。
综上，满足条件的点P总个数为$3+3+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题结合网格考查等腰三角形的判定，解题关键是合理分类，避免漏解或多解，同时要结合网格特征筛选符合要求的格点，对学生的作图和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
11.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD所在的直线折叠，点C落到点$C'$处，$BC'$与AD相交于点E。若$AB=4$，$AE=3$，$BE=5$，则重叠部分（阴影部分）的面积为
10
。答案
11.10
解析
【分析】
解题时先结合长方形和折叠的性质推导边的关系：首先长方形对边平行，可得内错角∠ADB=∠CBD；再根据折叠前后对应角相等，得∠CBD=∠C'BD，等量代换后可得∠ADB=∠C'BD，根据等角对等边推出ED=BE，得到阴影部分△BED的底边长；最后明确△BED底边ED上的高等于长方形的宽AB，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD。
由折叠的性质可得：∠CBD=∠C'BD，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴ED=BE。
已知BE=5，
∴ED=5。
阴影部分为△BED，底边ED上的高等于AB的长度（AB⊥AD），AB=4，
根据三角形面积公式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × ED × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，将长方形性质、折叠性质和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角的等量关系得到ED与BE的相等关系，进而确定阴影三角形的底和高，计算难度不大，解题时注意结合图形梳理各量的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合长方形和折叠的性质推导边的关系：首先长方形对边平行，可得内错角∠ADB=∠CBD；再根据折叠前后对应角相等，得∠CBD=∠C'BD，等量代换后可得∠ADB=∠C'BD，根据等角对等边推出ED=BE，得到阴影部分△BED的底边长；最后明确△BED底边ED上的高等于长方形的宽AB，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD。
由折叠的性质可得：∠CBD=∠C'BD，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴ED=BE。
已知BE=5，
∴ED=5。
阴影部分为△BED，底边ED上的高等于AB的长度（AB⊥AD），AB=4，
根据三角形面积公式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × ED × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，将长方形性质、折叠性质和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角的等量关系得到ED与BE的相等关系，进而确定阴影三角形的底和高，计算难度不大，解题时注意结合图形梳理各量的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$BF$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$,交$AC$于点$F$.求证$CE=CF$. 
第12题图
第12题图答案
证明：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CFB + ∠CBF = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDE = 90°，
∴ ∠BED + ∠DBE = 90°，
∴ ∠CFB = ∠BED。
又∵ ∠BED = ∠CEF（对顶角相等），
∴ ∠CFE = ∠CEF，
∴ CE = CF（等角对等边）。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CFB + ∠CBF = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDE = 90°，
∴ ∠BED + ∠DBE = 90°，
∴ ∠CFB = ∠BED。
又∵ ∠BED = ∠CEF（对顶角相等），
∴ ∠CFE = ∠CEF，
∴ CE = CF（等角对等边）。
解析
【分析】
要证明CE=CF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠CFE=∠CEF即可。首先利用角平分线的定义得到∠CBF=∠DBE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CFB与∠CBF互余、∠BED与∠DBE互余，根据等角的余角相等推出∠CFB=∠BED，最后结合对顶角相等的性质，将∠BED替换为∠CEF，即可得到∠CFE=∠CEF，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CFB + ∠CBF = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDE = 90°，
∴ ∠BED + ∠DBE = 90°，
∴ ∠CFB = ∠BED（等角的余角相等）。
又
∵ ∠BED = ∠CEF（对顶角相等），
∴ ∠CFE = ∠CEF，
∴ CE = CF（等角对等边）。
【答案】
证明过程如上所述，CE=CF得证。
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量转化推导两角相等，进而利用等腰三角形判定得到边相等，解题过程中需要熟练掌握角平分线、直角三角形、对顶角以及等腰三角形的相关性质，考察学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.75
要证明CE=CF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠CFE=∠CEF即可。首先利用角平分线的定义得到∠CBF=∠DBE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CFB与∠CBF互余、∠BED与∠DBE互余，根据等角的余角相等推出∠CFB=∠BED，最后结合对顶角相等的性质，将∠BED替换为∠CEF，即可得到∠CFE=∠CEF，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CFB + ∠CBF = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDE = 90°，
∴ ∠BED + ∠DBE = 90°，
∴ ∠CFB = ∠BED（等角的余角相等）。
又
∵ ∠BED = ∠CEF（对顶角相等），
∴ ∠CFE = ∠CEF，
∴ CE = CF（等角对等边）。
【答案】
证明过程如上所述，CE=CF得证。
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量转化推导两角相等，进而利用等腰三角形判定得到边相等，解题过程中需要熟练掌握角平分线、直角三角形、对顶角以及等腰三角形的相关性质，考察学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.75
