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13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证DF=EF. 
第13题图
第13题图答案
证明：过点D作DG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF。
∴ ∠B=∠DGB，
∴ BD=DG。
又∵ BD=CE，
∴ DG=CE。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DFG=∠EFC \\∠DGF=∠ECF \\DG=CE\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS），
∴ DF=EF。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF。
∴ ∠B=∠DGB，
∴ BD=DG。
又∵ BD=CE，
∴ DG=CE。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DFG=∠EFC \\∠DGF=∠ECF \\DG=CE\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS），
∴ DF=EF。
解析
【分析】
要证明DF=EF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF、EF所在的△DFB和△EFC无法直接证明全等，因此需要构造新的全等三角形。结合已知AB=AC（等腰三角形底角相等）的条件，可过点D作DG//AC交BC于点G：一方面可通过平行线得到相等的角，另一方面可结合等腰三角形性质将BD转化为DG，再结合BD=CE的条件得到DG=CE，满足全等三角形的判定条件，证得△DGF≌△ECF后即可得到DF=EF。
【解析】
证明：过点D作DG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF。
∴ ∠B=∠DGB，
∴ BD=DG。
又
∵ BD=CE，
∴ DG=CE。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DFG=∠EFC \\∠DGF=∠ECF \\DG=CE\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS），
∴ DF=EF。
【答案】
DF=EF
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线，通过平行线和等腰三角形的性质实现线段的等量代换，进而证明三角形全等得到对应边相等，考查学生对几何辅助线构造思路的掌握和全等判定规则的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明DF=EF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF、EF所在的△DFB和△EFC无法直接证明全等，因此需要构造新的全等三角形。结合已知AB=AC（等腰三角形底角相等）的条件，可过点D作DG//AC交BC于点G：一方面可通过平行线得到相等的角，另一方面可结合等腰三角形性质将BD转化为DG，再结合BD=CE的条件得到DG=CE，满足全等三角形的判定条件，证得△DGF≌△ECF后即可得到DF=EF。
【解析】
证明：过点D作DG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ DG//AC，
∴ ∠DGB=∠ACB，∠DGF=∠ECF。
∴ ∠B=∠DGB，
∴ BD=DG。
又
∵ BD=CE，
∴ DG=CE。
在△DGF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DFG=∠EFC \\∠DGF=∠ECF \\DG=CE\end{array} $
∴ △DGF≌△ECF（AAS），
∴ DF=EF。
【答案】
DF=EF
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线，通过平行线和等腰三角形的性质实现线段的等量代换，进而证明三角形全等得到对应边相等，考查学生对几何辅助线构造思路的掌握和全等判定规则的应用能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E.
(1)求证△BDE是等腰三角形；
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
(1)求证△BDE是等腰三角形；
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
答案
14.(1)略 (2)$CD=ED$,理由略
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明三角形中有两个内角相等即可。已知BD是角平分线可得一组等角，结合DE平行BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，通过等量代换即可得到△BDE的两个内角相等。
(2) 判断CD与ED的大小关系，首先由AB=AC可得△ABC为等腰三角形，两底角相等，结合DE平行BC可推出△AED也为等腰三角形，进而得到BE=CD，再结合第(1)问得到的ED=BE，通过等量代换即可得到CD与ED的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ $∠ EBD = ∠ CBD$，
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDB = ∠ CBD$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ EBD = ∠ EDB$，
∴ $EB = ED$（等角对等边），
∴ △BDE是等腰三角形。
(2) 解：$CD=ED$，理由如下：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$（等边对等角），
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ AED = ∠ ABC$，$∠ ADE = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ AED = ∠ ADE$，
∴ $AE = AD$（等角对等边），
∴ $AB - AE = AC - AD$，即$BE = CD$，
由(1)可知$ED = BE$，
∴ $CD = ED$。
【答案】
(1) △BDE是等腰三角形，证明成立；
(2) $CD=ED$，理由如上。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查了角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题核心是熟练掌握边角互化的方法，灵活运用等角对等边、等边对等角完成推导。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明三角形中有两个内角相等即可。已知BD是角平分线可得一组等角，结合DE平行BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，通过等量代换即可得到△BDE的两个内角相等。
(2) 判断CD与ED的大小关系，首先由AB=AC可得△ABC为等腰三角形，两底角相等，结合DE平行BC可推出△AED也为等腰三角形，进而得到BE=CD，再结合第(1)问得到的ED=BE，通过等量代换即可得到CD与ED的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ $∠ EBD = ∠ CBD$，
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDB = ∠ CBD$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ EBD = ∠ EDB$，
∴ $EB = ED$（等角对等边），
∴ △BDE是等腰三角形。
(2) 解：$CD=ED$，理由如下：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$（等边对等角），
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ AED = ∠ ABC$，$∠ ADE = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ AED = ∠ ADE$，
∴ $AE = AD$（等角对等边），
∴ $AB - AE = AC - AD$，即$BE = CD$，
由(1)可知$ED = BE$，
∴ $CD = ED$。
【答案】
(1) △BDE是等腰三角形，证明成立；
(2) $CD=ED$，理由如上。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查了角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题核心是熟练掌握边角互化的方法，灵活运用等角对等边、等边对等角完成推导。
【难度系数】
0.8
15.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=80°$，点$D$在边$BC$上运动（点$D$不与点$B$，$C$重合），连接$AD$，作$∠ ADE=50°$，$DE$交边$AC$于点$E$。
(1)若$AB// DE$，求证$DE=CE$；
(2)点$D$在运动过程中，$△ ADE$的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出$∠ ADB$的度数；若不可以，请说明理由。
(1)若$AB// DE$，求证$DE=CE$；
(2)点$D$在运动过程中，$△ ADE$的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出$∠ ADB$的度数；若不可以，请说明理由。
答案
15.(1)略 (2)分三种情形讨论:①若 $DA=DE$,则$∠DAE=∠DEA=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°,∴∠ADB=∠DAE+∠C=65°+50°=115°$;②若 $AD=AE$,则$∠ADE=∠AED=50°$,又$∵∠AED=∠C+∠CDE＞50°,∴AD≠AE$;③若 $EA=ED$,则$∠EAD=∠EDA=50°,∴∠ADB=∠EAD+∠C=50°+50°=100°$,综上所述,$∠ADB$ 的度数为 $115°$或 $100°$.
解析
【分析】
(1) 先利用等腰三角形的性质求出△ABC的底角∠B和∠C的度数，再结合平行线的性质得到∠EDC=∠B，推出∠EDC=∠C，最后根据等角对等边即可证明结论。
(2) 若△ADE为等腰三角形，需分三种情况讨论：DA=DE、AD=AE、EA=ED，每种情况结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理、三角形外角的性质计算∠ADB的度数，同时要结合三角形外角的性质判断情况是否符合取值范围，排除不成立的情况。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，$∠BAC=80°$，
∴$∠B=∠C=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$，
∵$AB// DE$，
∴$∠EDC=∠B=50°$，
∴$∠EDC=∠C=50°$，
∴$DE=CE$（等角对等边）。
(2) 解：△ADE可以是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 若$DA=DE$，
∵$∠ADE=50°$，
∴$∠DAE=∠DEA=\frac{180°-∠ADE}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴$∠ADB=∠DAE+∠C=65°+50°=115°$；
② 若$AD=AE$，
则$∠ADE=∠AED=50°$，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴$∠AED=∠C+∠CDE=50°+∠CDE＞50°$，与$∠AED=50°$矛盾，故该情况不成立；
③ 若$EA=ED$，
则$∠EAD=∠EDA=50°$，
同理可得$∠ADB=∠EAD+∠C=50°+50°=100°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 可以，∠ADB的度数为$115°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意结合三角形内角的取值范围排除不符合题意的情况，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用等腰三角形的性质求出△ABC的底角∠B和∠C的度数，再结合平行线的性质得到∠EDC=∠B，推出∠EDC=∠C，最后根据等角对等边即可证明结论。
(2) 若△ADE为等腰三角形，需分三种情况讨论：DA=DE、AD=AE、EA=ED，每种情况结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理、三角形外角的性质计算∠ADB的度数，同时要结合三角形外角的性质判断情况是否符合取值范围，排除不成立的情况。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，$∠BAC=80°$，
∴$∠B=∠C=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$，
∵$AB// DE$，
∴$∠EDC=∠B=50°$，
∴$∠EDC=∠C=50°$，
∴$DE=CE$（等角对等边）。
(2) 解：△ADE可以是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 若$DA=DE$，
∵$∠ADE=50°$，
∴$∠DAE=∠DEA=\frac{180°-∠ADE}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴$∠ADB=∠DAE+∠C=65°+50°=115°$；
② 若$AD=AE$，
则$∠ADE=∠AED=50°$，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴$∠AED=∠C+∠CDE=50°+∠CDE＞50°$，与$∠AED=50°$矛盾，故该情况不成立；
③ 若$EA=ED$，
则$∠EAD=∠EDA=50°$，
同理可得$∠ADB=∠EAD+∠C=50°+50°=100°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 可以，∠ADB的度数为$115°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意结合三角形内角的取值范围排除不符合题意的情况，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
