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例 一个不透明的箱子中装着分别写有“传统节日”“传统艺术”“传统体育”的卡片共 30 张（这些卡片的外观完全相同），其中写有“传统节日”的卡片有 8 张，写有“传统艺术”的卡片有 14 张.
（1）搅匀后，从箱子中随机抽出 1 张卡片，求抽到写有“传统艺术”类卡片的概率；
（2）向箱子中再放入 15 张卡片（与原有卡片外观相同），其中写有“传统体育”的卡片共 10 张，混匀后，从箱子中随机抽出 1 张卡片，求抽到写有“传统体育”类卡片的概率.
（1）搅匀后，从箱子中随机抽出 1 张卡片，求抽到写有“传统艺术”类卡片的概率；
（2）向箱子中再放入 15 张卡片（与原有卡片外观相同），其中写有“传统体育”的卡片共 10 张，混匀后，从箱子中随机抽出 1 张卡片，求抽到写有“传统体育”类卡片的概率.
答案
（1）
∵有“传统节日”“传统艺术”“传统体育”的卡片共 30 张，写有“传统节日”的卡片有 8 张，写有“传统艺术”卡片有 14 张，
∴P(抽到写有“传统艺术”类卡片)=$\frac{14}{30}$=$\frac{7}{15}$.答：抽到写有“传统艺术”类卡片的概率为$\frac{7}{15}$
（2）
∵原来“传统体育”的卡片有 8 张，再放入写有“传统体育”的卡片 10 张，
∴P(抽到写有“传统体育”类卡片)=$\frac{18}{45}$=$\frac{2}{5}$.答：抽到写有“传统体育”类卡片的概率为$\frac{2}{5}$
∵有“传统节日”“传统艺术”“传统体育”的卡片共 30 张，写有“传统节日”的卡片有 8 张，写有“传统艺术”卡片有 14 张，
∴P(抽到写有“传统艺术”类卡片)=$\frac{14}{30}$=$\frac{7}{15}$.答：抽到写有“传统艺术”类卡片的概率为$\frac{7}{15}$
（2）
∵原来“传统体育”的卡片有 8 张，再放入写有“传统体育”的卡片 10 张，
∴P(抽到写有“传统体育”类卡片)=$\frac{18}{45}$=$\frac{2}{5}$.答：抽到写有“传统体育”类卡片的概率为$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是运用概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\mathrm{事件对应的情况数}÷\mathrm{所有等可能的总情况数}$。
（1）第一问可直接提取抽到“传统艺术”卡片的情况数和抽卡片的总情况数，代入公式即可计算结果。
（2）第二问需要先通过原有三类卡片的总数和已知两类卡片的数量，算出原有“传统体育”卡片的数量，再结合新放入的卡片数，分别得到现在“传统体育”卡片的总数量和所有卡片的总数量，最后代入概率公式求解。
【解析】
（1）已知箱子中共有30张外观完全相同的卡片，其中写有“传统艺术”的卡片有14张，所有抽卡片的结果为等可能事件。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到写有“传统艺术”类卡片})=\frac{\mathrm{传统艺术卡片数量}}{\mathrm{总卡片数量}}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$。
（2）先计算原有“传统体育”卡片的数量：原有总卡片数30张，减去“传统节日”卡片8张、“传统艺术”卡片14张，即$30-8-14=8$张。
放入15张卡片后，“传统体育”卡片的总数量为$8+10=18$张，所有卡片的总数量为$30+15=45$张，所有抽卡片的结果为等可能事件。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到写有“传统体育”类卡片})=\frac{\mathrm{传统体育卡片总数量}}{\mathrm{现在总卡片数量}}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$。
【答案】
（1）$\frac{7}{15}$；（2）$\frac{2}{5}$
【知识点】
概率公式应用；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是准确找准目标事件的对应数量和事件的总等可能数量，第二问需要先推导原有传统体育卡片的数量，整体计算量小，主要考查对基础概率公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是运用概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\mathrm{事件对应的情况数}÷\mathrm{所有等可能的总情况数}$。
（1）第一问可直接提取抽到“传统艺术”卡片的情况数和抽卡片的总情况数，代入公式即可计算结果。
（2）第二问需要先通过原有三类卡片的总数和已知两类卡片的数量，算出原有“传统体育”卡片的数量，再结合新放入的卡片数，分别得到现在“传统体育”卡片的总数量和所有卡片的总数量，最后代入概率公式求解。
【解析】
（1）已知箱子中共有30张外观完全相同的卡片，其中写有“传统艺术”的卡片有14张，所有抽卡片的结果为等可能事件。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到写有“传统艺术”类卡片})=\frac{\mathrm{传统艺术卡片数量}}{\mathrm{总卡片数量}}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$。
（2）先计算原有“传统体育”卡片的数量：原有总卡片数30张，减去“传统节日”卡片8张、“传统艺术”卡片14张，即$30-8-14=8$张。
放入15张卡片后，“传统体育”卡片的总数量为$8+10=18$张，所有卡片的总数量为$30+15=45$张，所有抽卡片的结果为等可能事件。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到写有“传统体育”类卡片})=\frac{\mathrm{传统体育卡片总数量}}{\mathrm{现在总卡片数量}}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$。
【答案】
（1）$\frac{7}{15}$；（2）$\frac{2}{5}$
【知识点】
概率公式应用；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是准确找准目标事件的对应数量和事件的总等可能数量，第二问需要先推导原有传统体育卡片的数量，整体计算量小，主要考查对基础概率公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
1.“二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶.小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{24}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{12}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{24}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路为先确定随机抽取一张邮票的所有等可能结果总数，再确定恰好抽到“夏至”的结果数，最后根据概率公式计算所求概率即可。首先明确随机抽取时每张邮票被抽到的可能性相等，总共有4张邮票，因此总共有4种等可能的结果；其中“夏至”邮票有2张，因此抽到“夏至”的结果有2种，代入概率公式就能得到结果。
【解析】
解：由题意可知，共有4张邮票，从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，
其中抽到“夏至”邮票的结果有2种，
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得：
$P(恰好抽到“夏至”)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，概率公式
【点评】
本题是基础的概率计算应用题，结合传统文化背景，重点考查对概率计算公式的理解和应用，只要准确找出总情况数和符合条件的情况数即可正确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路为先确定随机抽取一张邮票的所有等可能结果总数，再确定恰好抽到“夏至”的结果数，最后根据概率公式计算所求概率即可。首先明确随机抽取时每张邮票被抽到的可能性相等，总共有4张邮票，因此总共有4种等可能的结果；其中“夏至”邮票有2张，因此抽到“夏至”的结果有2种，代入概率公式就能得到结果。
【解析】
解：由题意可知，共有4张邮票，从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果，
其中抽到“夏至”邮票的结果有2种，
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得：
$P(恰好抽到“夏至”)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，概率公式
【点评】
本题是基础的概率计算应用题，结合传统文化背景，重点考查对概率计算公式的理解和应用，只要准确找出总情况数和符合条件的情况数即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，用列举法找出从3个质数中随机选取两个不同数的所有等可能结果；第二步，计算每种结果的和，判断是否为偶数，统计符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终概率。
【解析】
从质数2,3,5中随机选取两个不同的数，所有等可能的情况如下：
① 选取2和3，和为$2+3=5$，是奇数；
② 选取2和5，和为$2+5=7$，是奇数；
③ 选取3和5，和为$3+5=8$，是偶数。
总共有3种等可能的结果，其中和为偶数的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、质数的定义、奇偶性判断
【点评】
本题属于基础概率题型，结合了数的基本性质的知识点，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再准确判断和的奇偶性即可。
【难度系数】
0.7
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，用列举法找出从3个质数中随机选取两个不同数的所有等可能结果；第二步，计算每种结果的和，判断是否为偶数，统计符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终概率。
【解析】
从质数2,3,5中随机选取两个不同的数，所有等可能的情况如下：
① 选取2和3，和为$2+3=5$，是奇数；
② 选取2和5，和为$2+5=7$，是奇数；
③ 选取3和5，和为$3+5=8$，是偶数。
总共有3种等可能的结果，其中和为偶数的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、质数的定义、奇偶性判断
【点评】
本题属于基础概率题型，结合了数的基本性质的知识点，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再准确判断和的奇偶性即可。
【难度系数】
0.7
3. 嘉琪参加了一个摸球抽奖游戏，一个不透明的盒子里有1个红球、3个白球、3个黄球和5个绿球，这些小球除颜色外完全相同，从箱子中摸出1个球，摸到白球的概率为
$\frac{1}{4}$
。答案
3. 摸到白球的概率为$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步，先计算盒子中所有球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步，确定摸到白球这个事件对应的结果数（即白球的个数）；第三步，根据等可能事件的概率公式“P(事件)=事件对应的结果数÷所有等可能的结果总数”代入计算即可。
【解析】
解：首先计算盒子中球的总个数：
$1+3+3+5=12$（个）
已知白球共有3个，从盒子中任意摸出1个球，每个球被摸到的可能性相等，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算；简单事件概率求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对简单概率公式的理解与应用，解题的易错点在于计算总球数时出现加和错误，做题时注意仔细计算即可。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步，先计算盒子中所有球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步，确定摸到白球这个事件对应的结果数（即白球的个数）；第三步，根据等可能事件的概率公式“P(事件)=事件对应的结果数÷所有等可能的结果总数”代入计算即可。
【解析】
解：首先计算盒子中球的总个数：
$1+3+3+5=12$（个）
已知白球共有3个，从盒子中任意摸出1个球，每个球被摸到的可能性相等，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算；简单事件概率求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对简单概率公式的理解与应用，解题的易错点在于计算总球数时出现加和错误，做题时注意仔细计算即可。
【难度系数】
0.9
4. 盒子中有$x$枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为$\frac{1}{3}$，则$x$的值是
5
.答案
4. 5
解析
【分析】
这道题是概率与方程结合的基础应用题，解题思路可按以下步骤走：第一步，先梳理数量变化：放入10枚黑棋后，先分别算出此时黑棋的总数量、盒子里所有棋子的总数量；第二步，回忆等可能条件下的概率公式：P(目标事件)=目标事件对应的情况数÷所有等可能情况数，本题中取得黑棋的概率就等于黑棋总数除以棋子总数量；第三步，根据题目给出的概率值$\frac{1}{3}$列方程，求解方程后检验解是否符合实际意义即可得到x的值。
【解析】
解：往盒子中放入10枚黑棋后：
黑棋的总数量为$(x+10)$枚，
盒子中棋子的总数量为$x+30+10=(x+40)$枚，
根据等可能事件概率公式列方程得：
$\frac{x+10}{x+40}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(x+10)=x+40$
去括号得：$3x+30=x+40$
移项、合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，分母$x+40=45≠0$，且符合实际场景，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式应用，分式方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，核心考查对概率计算公式的理解，解题的关键是准确统计数量变化后的黑棋数和总棋子数，求解分式方程后注意检验结果是否符合题意即可。
【难度系数】
0.75
这道题是概率与方程结合的基础应用题，解题思路可按以下步骤走：第一步，先梳理数量变化：放入10枚黑棋后，先分别算出此时黑棋的总数量、盒子里所有棋子的总数量；第二步，回忆等可能条件下的概率公式：P(目标事件)=目标事件对应的情况数÷所有等可能情况数，本题中取得黑棋的概率就等于黑棋总数除以棋子总数量；第三步，根据题目给出的概率值$\frac{1}{3}$列方程，求解方程后检验解是否符合实际意义即可得到x的值。
【解析】
解：往盒子中放入10枚黑棋后：
黑棋的总数量为$(x+10)$枚，
盒子中棋子的总数量为$x+30+10=(x+40)$枚，
根据等可能事件概率公式列方程得：
$\frac{x+10}{x+40}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(x+10)=x+40$
去括号得：$3x+30=x+40$
移项、合并同类项得：$2x=10$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，分母$x+40=45≠0$，且符合实际场景，因此$x=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式应用，分式方程求解，列方程解应用题
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，核心考查对概率计算公式的理解，解题的关键是准确统计数量变化后的黑棋数和总棋子数，求解分式方程后注意检验结果是否符合题意即可。
【难度系数】
0.75
5. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球、2个黄色乒乓球和1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出1个乒乓球.
（1）求小颖摸到黄球的概率；
（2）在上述盒子中再放入$n$个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出1个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为$\frac{1}{5}$，则$n=$
（1）求小颖摸到黄球的概率；
（2）在上述盒子中再放入$n$个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出1个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为$\frac{1}{5}$，则$n=$
4
.答案
（1）
∵随一个不透明的盒子中装有 3 个白色乒乓球、2 个黄色乒乓球和 1 个红色乒乓球，
∴小颖摸到黄球的概率为：$\frac{2}{3+2+1}$=$\frac{1}{3}$
（2）根据题意，得$\frac{2}{3+2+1+n}$=$\frac{1}{5}$.解得 $n=4$.经检验 $n=4$ 是方程的解，所以 $n=4$
∵随一个不透明的盒子中装有 3 个白色乒乓球、2 个黄色乒乓球和 1 个红色乒乓球，
∴小颖摸到黄球的概率为：$\frac{2}{3+2+1}$=$\frac{1}{3}$
（2）根据题意，得$\frac{2}{3+2+1+n}$=$\frac{1}{5}$.解得 $n=4$.经检验 $n=4$ 是方程的解，所以 $n=4$
解析
【分析】
（1）解决本题第一问的核心是掌握等可能事件的概率计算方法，即随机事件的概率等于该事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果总数。首先计算出盒子中乒乓球的总个数，再确定黄球的个数，代入公式即可求解。
（2）第二问加入n个红球后，总球数变为原有总球数加n，黄球数量不变，已知此时摸到黄球的概率，可根据概率公式列分式方程求解，最后检验方程的解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）盒子中乒乓球的总个数为：$3+2+1=6$（个），其中黄色乒乓球有2个，
根据概率公式，摸到黄球的概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）加入$n$个红色乒乓球后，盒子中乒乓球总个数为$(6+n)$个，黄球个数仍为2个，
由摸到黄色乒乓球的概率为$\frac{1}{5}$，可列方程：
$\frac{2}{6+n}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$6+n=10$
解得$n=4$，
经检验，$n=4$时分母$6+n=10≠0$，是原方程的解且符合题意，故$n=4$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$4$
【知识点】
等可能事件概率计算，分式方程的应用
【点评】
本题是概率基础题型，既考查了概率公式的直接应用，也考查了结合概率公式列方程求解未知量的能力，解题时需注意加入新球后总数量的变化，解分式方程后不要忘记检验解的合理性。
【难度系数】
0.8
（1）解决本题第一问的核心是掌握等可能事件的概率计算方法，即随机事件的概率等于该事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果总数。首先计算出盒子中乒乓球的总个数，再确定黄球的个数，代入公式即可求解。
（2）第二问加入n个红球后，总球数变为原有总球数加n，黄球数量不变，已知此时摸到黄球的概率，可根据概率公式列分式方程求解，最后检验方程的解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）盒子中乒乓球的总个数为：$3+2+1=6$（个），其中黄色乒乓球有2个，
根据概率公式，摸到黄球的概率为：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）加入$n$个红色乒乓球后，盒子中乒乓球总个数为$(6+n)$个，黄球个数仍为2个，
由摸到黄色乒乓球的概率为$\frac{1}{5}$，可列方程：
$\frac{2}{6+n}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$6+n=10$
解得$n=4$，
经检验，$n=4$时分母$6+n=10≠0$，是原方程的解且符合题意，故$n=4$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$4$
【知识点】
等可能事件概率计算，分式方程的应用
【点评】
本题是概率基础题型，既考查了概率公式的直接应用，也考查了结合概率公式列方程求解未知量的能力，解题时需注意加入新球后总数量的变化，解分式方程后不要忘记检验解的合理性。
【难度系数】
0.8
