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2. 在如图所示的平面直角坐标系中画出正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$的图象，并根据图象解答下列问题：
问题：
（1）横坐标是2的点的坐标是
（2）纵坐标是－3的点的坐标是
（3）写出到y轴距离等于1的点的坐标.
问题：
（1）横坐标是2的点的坐标是
$(2,-1)$
；（2）纵坐标是－3的点的坐标是
$(6,-3)$
；（3）写出到y轴距离等于1的点的坐标.
答案
(1) $(2,-1)$
(2) $(6,-3)$
(3) $(1,-\frac{1}{2}),(-1,\frac{1}{2})$
(2) $(6,-3)$
(3) $(1,-\frac{1}{2}),(-1,\frac{1}{2})$
解析
【分析】
首先，正比例函数的图象是过原点的直线，因此我们可以通过取两个特殊点（通常取原点和一个易计算的点）画出$y=-\frac{1}{2}x$的图象。解题时核心依据是：函数图象上的点的坐标满足函数解析式。
对于问题（1），已知横坐标即x的值，代入解析式即可求出对应的y值，得到点的坐标；
对于问题（2），已知纵坐标即y的值，代入解析式解出x的值，即可得到点的坐标；
对于问题（3），点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，由此先确定x的取值，再代入解析式求出对应的y值，即可得到所有符合要求的点的坐标。
【解析】
第一步：画出正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×2=-1$，过点$(0,0)$和$(2,-1)$画直线，即为$y=-\frac{1}{2}x$的图象。
（1）将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×2=-1$，因此横坐标为2的点的坐标是$(2,-1)$。
（2）将$y=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$-3=-\frac{1}{2}x$，解得$x=6$，因此纵坐标为-3的点的坐标是$(6,-3)$。
（3）点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，因此$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$：
①当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，对应点为$(1,-\frac{1}{2})$；
②当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，对应点为$(-1,\frac{1}{2})$。
因此符合要求的点的坐标为$(1,-\frac{1}{2})$和$(-1,\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-1)}$
(2) $\boldsymbol{(6,-3)}$
(3) $\boldsymbol{(1,-\frac{1}{2}),(-1,\frac{1}{2})}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，解题的关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式，同时要注意点到y轴的距离对应横坐标的绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先，正比例函数的图象是过原点的直线，因此我们可以通过取两个特殊点（通常取原点和一个易计算的点）画出$y=-\frac{1}{2}x$的图象。解题时核心依据是：函数图象上的点的坐标满足函数解析式。
对于问题（1），已知横坐标即x的值，代入解析式即可求出对应的y值，得到点的坐标；
对于问题（2），已知纵坐标即y的值，代入解析式解出x的值，即可得到点的坐标；
对于问题（3），点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，由此先确定x的取值，再代入解析式求出对应的y值，即可得到所有符合要求的点的坐标。
【解析】
第一步：画出正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×2=-1$，过点$(0,0)$和$(2,-1)$画直线，即为$y=-\frac{1}{2}x$的图象。
（1）将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-\frac{1}{2}×2=-1$，因此横坐标为2的点的坐标是$(2,-1)$。
（2）将$y=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$-3=-\frac{1}{2}x$，解得$x=6$，因此纵坐标为-3的点的坐标是$(6,-3)$。
（3）点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，因此$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$：
①当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，对应点为$(1,-\frac{1}{2})$；
②当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，对应点为$(-1,\frac{1}{2})$。
因此符合要求的点的坐标为$(1,-\frac{1}{2})$和$(-1,\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-1)}$
(2) $\boldsymbol{(6,-3)}$
(3) $\boldsymbol{(1,-\frac{1}{2}),(-1,\frac{1}{2})}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，解题的关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式，同时要注意点到y轴的距离对应横坐标的绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 已知正比例函数$y=(2m-1)x$的图象经过点$(-1,2)$.
(1) 求$m$的值；
(2) 判断点$(3,-5),(2,-4)$是否在这个函数的图象上.
(1) 求$m$的值；
(2) 判断点$(3,-5),(2,-4)$是否在这个函数的图象上.
答案
(1) $-\frac{1}{2}$
(2) $(3,-5)$不在函数图象上，$(2,-4)$在函数图象上
(2) $(3,-5)$不在函数图象上，$(2,-4)$在函数图象上
解析
【分析】
（1）正比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式，因此将已知点$(-1,2)$的横、纵坐标代入给定的正比例函数表达式，即可得到关于$m$的一元一次方程，解方程就能求出$m$的值。
（2）判断点是否在函数图象上的核心方法是：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。首先需要根据第一问求出的$m$值确定完整的函数解析式，再分别代入两个点的横坐标验证即可。
【解析】
(1) 把点$(-1,2)$代入正比例函数$y=(2m-1)x$，可得：
$\begin{aligned}2&=(2m-1)×(-1)\\2&=-2m+1\\2m&=1-2\\2m&=-1\\m&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 将$m=-\frac{1}{2}$代入原函数解析式，得该函数的表达式为：
$y=(2×(-\frac{1}{2})-1)x=-2x$
① 验证点$(3,-5)$：把$x=3$代入$y=-2x$，得$y=-2×3=-6$，因为$-6≠-5$，所以点$(3,-5)$不在这个函数的图象上。
② 验证点$(2,-4)$：把$x=2$代入$y=-2x$，得$y=-2×2=-4$，因为$-4=-4$，所以点$(2,-4)$在这个函数的图象上。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$
(2) $(3,-5)$不在函数图象上，$(2,-4)$在函数图象上
【知识点】
正比例函数的性质，点与函数图象的关系，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，代入法是解决此类问题的常用方法，掌握该知识点可为后续学习一次函数相关内容打下基础。
【难度系数】
0.9
（1）正比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式，因此将已知点$(-1,2)$的横、纵坐标代入给定的正比例函数表达式，即可得到关于$m$的一元一次方程，解方程就能求出$m$的值。
（2）判断点是否在函数图象上的核心方法是：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在。首先需要根据第一问求出的$m$值确定完整的函数解析式，再分别代入两个点的横坐标验证即可。
【解析】
(1) 把点$(-1,2)$代入正比例函数$y=(2m-1)x$，可得：
$\begin{aligned}2&=(2m-1)×(-1)\\2&=-2m+1\\2m&=1-2\\2m&=-1\\m&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 将$m=-\frac{1}{2}$代入原函数解析式，得该函数的表达式为：
$y=(2×(-\frac{1}{2})-1)x=-2x$
① 验证点$(3,-5)$：把$x=3$代入$y=-2x$，得$y=-2×3=-6$，因为$-6≠-5$，所以点$(3,-5)$不在这个函数的图象上。
② 验证点$(2,-4)$：把$x=2$代入$y=-2x$，得$y=-2×2=-4$，因为$-4=-4$，所以点$(2,-4)$在这个函数的图象上。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$
(2) $(3,-5)$不在函数图象上，$(2,-4)$在函数图象上
【知识点】
正比例函数的性质，点与函数图象的关系，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，代入法是解决此类问题的常用方法，掌握该知识点可为后续学习一次函数相关内容打下基础。
【难度系数】
0.9
