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活动一:画一画 试一试
阅读课本第152页的“讨论”,并思考下列问题:
(1) 观察正比例函数$y=2x,y=x,y=-x,y=-\frac{1}{2}x$的图象,说说它们从左向右的变化趋势(上升或下降);
(2) 点$(1,y_1),(2,y_2)$均在函数$y=2x$的图象上,试比较$y_1,y_2$的大小关系;
(3) 点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在函数$y=2x$的图象上,且$x_1＜x_2$,试比较$y_1,y_2$的大小关系;
(4) 点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在函数$y=ax(a＞0)$的图象上,且$x_1＜x_2$,试比较$y_1,y_2$的大小关系.
阅读课本第152页的“讨论”,并思考下列问题:
(1) 观察正比例函数$y=2x,y=x,y=-x,y=-\frac{1}{2}x$的图象,说说它们从左向右的变化趋势(上升或下降);
(2) 点$(1,y_1),(2,y_2)$均在函数$y=2x$的图象上,试比较$y_1,y_2$的大小关系;
(3) 点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在函数$y=2x$的图象上,且$x_1＜x_2$,试比较$y_1,y_2$的大小关系;
(4) 点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在函数$y=ax(a＞0)$的图象上,且$x_1＜x_2$,试比较$y_1,y_2$的大小关系.
答案
(1) $y=2x,y=x$的图象从左向右呈上升趋势，$y=-x,y=-\frac{1}{2}x$的图象从左向右呈下降趋势
(2) $y_1＜y_2$
(3) $y_1＜y_2$
(4) $y_1＜y_2$
(2) $y_1＜y_2$
(3) $y_1＜y_2$
(4) $y_1＜y_2$
解析
【分析】
我们可以结合正比例函数的系数特征、代入求值方法以及不等式的基本性质逐步解题：
1. 正比例函数$y=kx(k≠0)$中，$k$的正负直接决定图象的升降趋势：$k＞0$时图象从左到右上升，$k＜0$时图象从左到右下降，只需提取4个函数的$k$值即可判断趋势；
2. 第(2)问已知两个点的横坐标，直接代入函数解析式算出对应的$y_1$、$y_2$值就能比较大小；
3. 第(3)(4)问可以利用不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，结合函数解析式推导$y_1$和$y_2$的大小关系，也可以直接用正比例函数的增减性判断。
【解析】
(1) 正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）：
$y=2x$中$k=2＞0$，$y=x$中$k=1＞0$，因此这两个函数的图象从左向右呈上升趋势；
$y=-x$中$k=-1＜0$，$y=-\frac{1}{2}x$中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此这两个函数的图象从左向右呈下降趋势。
(2) 将$x=1$代入$y=2x$，得$y_1=2×1=2$；将$x=2$代入$y=2x$，得$y_2=2×2=4$；
因为$2＜4$，所以$y_1＜y_2$。
(3) 已知点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在$y=2x$的图象上，所以$y_1=2x_1$，$y_2=2x_2$；
因为$x_1＜x_2$，根据不等式的性质，两边同时乘正数2，不等号方向不变，所以$2x_1＜2x_2$，即$y_1＜y_2$。
(4) 已知点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在$y=ax(a＞0)$的图象上，所以$y_1=ax_1$，$y_2=ax_2$；
因为$x_1＜x_2$，$a$是正数，根据不等式的性质，两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，所以$ax_1＜ax_2$，即$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $y=2x,y=x$的图象从左向右呈上升趋势，$y=-x,y=-\frac{1}{2}x$的图象从左向右呈下降趋势
(2) $y_1＜y_2$
(3) $y_1＜y_2$
(4) $y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数值比较，不等式基本性质
【点评】
本题从具体函数图象观察入手，逐步引导学生推导正比例函数的增减性规律，符合从特殊到一般的认知逻辑，能帮助学生扎实掌握正比例函数增减性与系数$k$的关联，学会应用性质比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
我们可以结合正比例函数的系数特征、代入求值方法以及不等式的基本性质逐步解题：
1. 正比例函数$y=kx(k≠0)$中，$k$的正负直接决定图象的升降趋势：$k＞0$时图象从左到右上升，$k＜0$时图象从左到右下降，只需提取4个函数的$k$值即可判断趋势；
2. 第(2)问已知两个点的横坐标，直接代入函数解析式算出对应的$y_1$、$y_2$值就能比较大小；
3. 第(3)(4)问可以利用不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，结合函数解析式推导$y_1$和$y_2$的大小关系，也可以直接用正比例函数的增减性判断。
【解析】
(1) 正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）：
$y=2x$中$k=2＞0$，$y=x$中$k=1＞0$，因此这两个函数的图象从左向右呈上升趋势；
$y=-x$中$k=-1＜0$，$y=-\frac{1}{2}x$中$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此这两个函数的图象从左向右呈下降趋势。
(2) 将$x=1$代入$y=2x$，得$y_1=2×1=2$；将$x=2$代入$y=2x$，得$y_2=2×2=4$；
因为$2＜4$，所以$y_1＜y_2$。
(3) 已知点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在$y=2x$的图象上，所以$y_1=2x_1$，$y_2=2x_2$；
因为$x_1＜x_2$，根据不等式的性质，两边同时乘正数2，不等号方向不变，所以$2x_1＜2x_2$，即$y_1＜y_2$。
(4) 已知点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在$y=ax(a＞0)$的图象上，所以$y_1=ax_1$，$y_2=ax_2$；
因为$x_1＜x_2$，$a$是正数，根据不等式的性质，两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，所以$ax_1＜ax_2$，即$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $y=2x,y=x$的图象从左向右呈上升趋势，$y=-x,y=-\frac{1}{2}x$的图象从左向右呈下降趋势
(2) $y_1＜y_2$
(3) $y_1＜y_2$
(4) $y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，函数值比较，不等式基本性质
【点评】
本题从具体函数图象观察入手，逐步引导学生推导正比例函数的增减性规律，符合从特殊到一般的认知逻辑，能帮助学生扎实掌握正比例函数增减性与系数$k$的关联，学会应用性质比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
正比例函数$y=kx$的图象经过的象限与$k$的符号的关系：
(1) $k＞0 \iff y=kx$的图象经过________象限；
(2) $k＜0 \iff y=kx$的图象经过________象限。
(1) $k＞0 \iff y=kx$的图象经过________象限；
(2) $k＜0 \iff y=kx$的图象经过________象限。
答案
(1) 一、三
(2) 二、四
(2) 二、四
解析
【分析】
解决本题首先要明确正比例函数$y=kx$的图象特征：它是过坐标原点的一条直线，图象经过的象限由系数$k$的符号决定。我们可以通过$x$、$y$的符号对应象限的规则推导：当$k＞0$时，$x$和$y$的符号始终相同，横纵坐标同正对应第一象限，同负对应第三象限；当$k＜0$时，$x$和$y$的符号始终相反，横纵坐标负、正对应第二象限，正、负对应第四象限，由此即可得到结论。
【解析】
正比例函数$y=kx$的图象是经过原点$(0,0)$的直线：
(1) 当$k＞0$时，若$x＞0$，则$y=kx＞0$，对应点位于第一象限；若$x＜0$，则$y=kx＜0$，对应点位于第三象限，因此$y=kx$的图象经过第一、三象限。
(2) 当$k＜0$时，若$x＞0$，则$y=kx＜0$，对应点位于第四象限；若$x＜0$，则$y=kx＞0$，对应点位于第二象限，因此$y=kx$的图象经过第二、四象限。
【答案】
(1) 一、三；(2) 二、四
【知识点】
1. 正比例函数的图象特征
2. 正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是正比例函数性质的基础考察题，核心是掌握$k$的符号与图象经过象限的对应规律，该知识点是后续学习一次函数相关性质的重要基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确正比例函数$y=kx$的图象特征：它是过坐标原点的一条直线，图象经过的象限由系数$k$的符号决定。我们可以通过$x$、$y$的符号对应象限的规则推导：当$k＞0$时，$x$和$y$的符号始终相同，横纵坐标同正对应第一象限，同负对应第三象限；当$k＜0$时，$x$和$y$的符号始终相反，横纵坐标负、正对应第二象限，正、负对应第四象限，由此即可得到结论。
【解析】
正比例函数$y=kx$的图象是经过原点$(0,0)$的直线：
(1) 当$k＞0$时，若$x＞0$，则$y=kx＞0$，对应点位于第一象限；若$x＜0$，则$y=kx＜0$，对应点位于第三象限，因此$y=kx$的图象经过第一、三象限。
(2) 当$k＜0$时，若$x＞0$，则$y=kx＜0$，对应点位于第四象限；若$x＜0$，则$y=kx＞0$，对应点位于第二象限，因此$y=kx$的图象经过第二、四象限。
【答案】
(1) 一、三；(2) 二、四
【知识点】
1. 正比例函数的图象特征
2. 正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是正比例函数性质的基础考察题，核心是掌握$k$的符号与图象经过象限的对应规律，该知识点是后续学习一次函数相关性质的重要基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
