【变式3】利用等式的性质求下列方程的解：
(1)$-5x=5-6x$；(2)$0=3x-9$；
(3)$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$。

解：
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加$6x$，得
$-5x + 6x = 5 - 6x + 6x$
化简，得
$x = 5$
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时加$9$，得
$0 + 9 = 3x - 9 + 9$
化简，得
$9 = 3x$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$3$，得
$9÷3 = 3x÷3$
化简，得
$x = 3$
(3) 根据等式的性质1，方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$
化简，得
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
根据等式的性质2，方程两边同时乘$3$，得
$x = \frac{1}{2}$

【分析】
本题要求利用等式的性质求解一元一次方程，首先明确等式的两个基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时先通过等式性质1，将含未知数的项移到等式同侧，常数项移到等式另一侧，再通过等式性质2将未知数的系数化为1即可得到解，每一步操作都要保证等式两边同时进行相同运算，保证等式始终成立。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时加$6x$，得
$-5x + 6x = 5 - 6x + 6x$
化简，得
$x = 5$
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时加$9$，得
$0 + 9 = 3x - 9 + 9$
化简，得
$9 = 3x$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$3$，得
$9÷3 = 3x÷3$
化简，得
$x = 3$
(3) 根据等式的性质1，方程两边同时减去$\frac{1}{2}$，得
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$
化简，得
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
根据等式的性质2，方程两边同时乘$3$，得
$x = \frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=3$；(3)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，旨在帮助学生掌握运用等式性质解方程的基本步骤，解题时需注意等式两边必须同时进行相同的运算，涉及分数运算时要注意通分计算准确，熟练掌握该类题型是后续学习复杂方程求解的基础。
【难度系数】
0.8

1.已知$a=b$,则下列式子中不一定成立的是().

A.$a+2=b+2$
B.$ac=bc$
C.$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$
D.$a-m=b-m$

C

【分析】
本题需要根据等式的基本性质逐一判断每个选项是否成立，解题思路如下：首先回忆等式的两条核心性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。再将每个选项的变形和等式性质对照，不符合性质的就是不一定成立的选项。
【解析】
已知$a = b$，逐一分析选项：
选项A：根据等式性质1，等式两边同时加2，可得$a + 2 = b + 2$，该式一定成立，不符合题意；
选项B：根据等式性质2，等式两边同时乘$c$，可得$ac = bc$，该式一定成立，不符合题意；
选项C：等式左边除以2，右边除以3，除数不是同一个数，不符合等式性质2，因此$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$不一定成立，符合题意；
选项D：根据等式性质1，等式两边同时减$m$，可得$a - m = b - m$，该式一定成立，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，解题的核心是明确等式变形时两边必须进行相同的加、减、乘、除（除数不为0）运算，属于基础类题型，易错点是忽略等式两边运算的一致性。
【难度系数】
0.8

2.方程$-x=3$的两边都除以$-1$，得（）.

A.$x=-3$
B.$x=3$
C.$x=-\dfrac{1}{3}$
D.$x=\dfrac{1}{3}$

A

【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题思路为：先回忆等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题要求将方程两边同时除以-1，分别计算等号左右两侧的运算结果，即可得到x的值，再对应选项选择即可。
【解析】
根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对方程$-x=3$的两边同时除以$-1$：
左边：$(-x) ÷ (-1) = x$
右边：$3 ÷ (-1) = -3$
因此计算结果为$x=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解和简单应用，解题时需注意除法运算的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9

3.(2025玉溪期中)已知方程$3x - 4y = 6$，用含$y$的式子表示$x$为()。

A.$x=\dfrac{6 - 4y}{3}$
B.$x=\dfrac{6 + 4y}{3}$
C.$y=\dfrac{6 - 3x}{4}$
D.$y=\dfrac{6 + 3x}{4}$

B

【分析】
本题要求将方程中的x用含y的式子表示，解题核心是把y看作已知数，利用等式的性质解关于x的一元一次方程。首先要明确目标：将x单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧；其次要注意移项时符号变化，还要看清题干要求，排除用x表示y的错误选项。
【解析】
已知方程$3x - 4y = 6$，
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加$4y$，得：
$3x = 6 + 4y$
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得：
$x=\dfrac{6 + 4y}{3}$
对照选项，A选项移项时符号错误，C、D是用含x的式子表示y，不符合题意，只有B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意两点：一是移项要变号，避免出现符号错误；二是看清题目要求的表示方向，不要混淆两个未知数的表示关系。
【难度系数】
0.8

4.已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$,根据等式的性质,$x^2 - x$的值为.

$\boldsymbol{2}$

【分析】
解题时先观察已知等式和所求代数式的关系，已知等式左边的前两项$5x^2-5x$是所求代数式$x^2-x$的5倍，因此可以利用等式的性质对已知等式逐步变形，不需要求出$x$的具体值，通过整体运算即可得到结果。第一步先根据等式的性质1，把等式左边的常数项消去，得到含$5x^2-5x$的等式；第二步再根据等式的性质2，两边同时除以5，就能直接求出$x^2-x$的值。
【解析】
已知$5x^2 - 5x - 3 = 7$，
第一步，根据等式的性质1，等式两边同时加3，得：
$5x^2 - 5x - 3 + 3 = 7 + 3$
化简得$5x^2 - 5x = 10$，
将左边提取公因数5，可得$5(x^2 - x) = 10$，
第二步，根据等式的性质2，等式两边同时除以5（$5≠0$），得：
$\frac{5(x^2 - x)}{5} = \frac{10}{5}$
化简得$x^2 - x = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等式的性质、代数式求值、整式变形
【点评】
本题是基础运算题，核心考查等式性质的灵活运用，解题时采用整体思想处理所求代数式与已知等式的关系，无需单独求解未知数$x$，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8

1.(2026 曲靖期末)下列等式变形中,正确的是().

A.如果 $S=2ab(a≠0)$,那么 $b=\frac{S}{2a}$
B.如果 $\frac{1}{2}x=6$,那么 $x=3$
C.如果 $x-3=y-3$,那么 $x+y=0$
D.如果 $mx=my$,那么 $x=y$

A

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题时先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来逐个分析每个选项的变形是否符合等式的性质，尤其要注意除以一个数时必须保证这个数不为0，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：已知$S=2ab$且$a≠0$，根据等式性质2，等式两边同时除以$2a$，可得$b=\frac{S}{2a}$，变形正确。
B选项：$\frac{1}{2}x=6$，根据等式性质2，两边同时乘2，得$x=12$，不是$x=3$，变形错误。
C选项：$x-3=y-3$，根据等式性质1，两边同时加3，得$x=y$，不是$x+y=0$，变形错误。
D选项：$mx=my$，若$m=0$，无论$x、y$取何值等式都成立，只有当$m≠0$时才能推出$x=y$，变形错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查等式性质的灵活运用，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，解答时需仔细判断每个变形的前提是否成立。
【难度系数】
0.8

2.已知$x=y$,则下列各式:①$x-3=y-3$；②$3x=3y$；③$-2x=-2y$；④$\frac{y}{x}=1$.其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质，再逐一判断每个式子是否符合等式的性质，注意要考虑除数不能为0的特殊情况。第一步判断式子①：等式两边同时减3，符合等式性质1；第二步判断式子②：等式两边同时乘3，符合等式性质2；第三步判断式子③：等式两边同时乘-2，符合等式性质2；第四步判断式子④：等式两边同时除以x，要考虑x为0的情况，此时除数为0无意义，该式不成立。
【解析】
根据等式的性质逐一判断：
1. 对于①$x-3=y-3$：根据等式性质1，等式两边同时减去同一个数3，等式仍然成立，故①正确；
2. 对于②$3x=3y$：根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数3，等式仍然成立，故②正确；
3. 对于③$-2x=-2y$：根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数-2，等式仍然成立，故③正确；
4. 对于④$\frac{y}{x}=1$：若$x=y=0$，此时分母$x$为0，分数无意义，该式不成立，故④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题重点考查对等式性质的理解，尤其要注意等式两边同时除以一个数时，这个数必须不为0，这是此类题目的易错点。
【难度系数】
0.7

3.在下列各题的横线上填上适当的整式,使所得结果仍是等式,并说明根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)如果$-\frac{x}{10}=\frac{y}{5}$,那么$x=$,根据,等式两边乘;
(2)如果$-2x=2y$,那么$x=$,根据,等式两边乘;
(3)如果$\frac{2}{3}x=4$,那么$x=$,根据,等式两边乘;
(4)如果$x=3x+2$,那么$x-$$=2$,根据,等式两边减.

解：
(1) 如果$-\frac{x}{10}=\frac{y}{5}$，那么$x=\boldsymbol{-2y}$，根据等式的性质2，等式两边乘$\boldsymbol{-10}$；
(2) 如果$-2x=2y$，那么$x=\boldsymbol{-y}$，根据等式的性质2，等式两边乘$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$；
(3) 如果$\frac{2}{3}x=4$，那么$x=\boldsymbol{6}$，根据等式的性质2，等式两边乘$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
(4) 如果$x=3x+2$，那么$x-\boldsymbol{3x}=2$，根据等式的性质1，等式两边减$\boldsymbol{3x}$。

【分析】
解题时首先要牢记等式的两条基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来针对每小题的变形目标分析：前3小题目标是将x的系数化为1，需要根据x的系数确定两边同乘的数，用到等式性质2；第4小题目标是将含x的项移到等号同侧，需要两边同时减去同一个整式，用到等式性质1，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 已知$-\frac{x}{10}=\frac{y}{5}$，要得到x，需将左边x的系数$-\frac{1}{10}$化为1，根据等式的性质2，等式两边同时乘-10：
左边：$-\frac{x}{10}×(-10)=x$，右边：$\frac{y}{5}×(-10)=-2y$，因此$x=-2y$，乘的数是-10。
(2) 已知$-2x=2y$，要得到x，需将左边x的系数-2化为1，根据等式的性质2，等式两边同时乘$-\frac{1}{2}$：
左边：$-2x×(-\frac{1}{2})=x$，右边：$2y×(-\frac{1}{2})=-y$，因此$x=-y$，乘的数是$-\frac{1}{2}$。
(3) 已知$\frac{2}{3}x=4$，要得到x，需将左边x的系数$\frac{2}{3}$化为1，根据等式的性质2，等式两边同时乘$\frac{3}{2}$：
左边：$\frac{2}{3}x×\frac{3}{2}=x$，右边：$4×\frac{3}{2}=6$，因此$x=6$，乘的数是$\frac{3}{2}$。
(4) 已知$x=3x+2$，要让等号右侧不含x项，根据等式的性质1，等式两边同时减3x：
左边：$x-3x$，右边：$3x+2-3x=2$，因此横线填3x，减的整式是3x。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2y}$，等式的性质2，$\boldsymbol{-10}$；
(2) $\boldsymbol{-y}$，等式的性质2，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{6}$，等式的性质2，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
(4) $\boldsymbol{3x}$，等式的性质1，$\boldsymbol{3x}$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是明确变形目标，保证等式两边做完全相同的运算，要注意乘除运算时的符号问题，熟练掌握等式的两条性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. 由$2x - 1 = 0$得到$x = \frac{1}{2}$，可分两步，按步骤完成下列填空. 第一步：根据等式的性质，等式两边同时，得到$2x = 1$. 第二步：根据等式的性质，等式两边同时，得到$x =$.

解：
第一步：根据等式的性质$\boldsymbol{1}$，等式两边同时$\boldsymbol{加1}$，得到$2x=1$。
第二步：根据等式的性质$\boldsymbol{2}$，等式两边同时$\boldsymbol{除以2（或乘\frac{1}{2}）}$，得到$x=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。

【分析】
解题时首先回忆等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。第一步需要将原方程左边的常数项-1消去，因此选择等式性质1，两边同时加1得到2x=1；第二步需要将x的系数化为1，因此选择等式性质2，两边同时除以2（或乘$\frac{1}{2}$）即可得到x的值。
【解析】
第一步：原等式为$2x-1=0$，根据等式的性质1，等式两边同时加1，左边化简为$2x$，右边化简为$1$，得到$2x=1$。
第二步：根据等式的性质2，等式两边同时除以2（或乘$\frac{1}{2}$），左边化简为$x$，右边化简为$\frac{1}{2}$，得到$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
1；加1；2；除以2（或乘$\frac{1}{2}$）；$\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心考查对等式两个性质的区分和运用能力，是后续解各类方程的重要基础，需熟练掌握两种性质的适用场景。
【难度系数】
0.9