5. 利用等式的性质解下列方程：
(1)$x+1=\frac{1}{2}$；
(2)$3x=2x+12$。

解：
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时减去1，得
$x+1-1=\frac{1}{2}-1$
化简，得
$x=-\frac{1}{2}$
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时减去$2x$，得
$3x-2x=2x+12-2x$
化简，得
$x=12$

【分析】
这两道题均考查利用等式的性质1解一元一次方程，核心目标是将未知数x单独整理到等式的一侧。求解（1）时，观察到等式左边有常数项+1，根据等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的性质，两边同时减1即可消去左侧的常数项，直接得到x的值；求解（2）时，观察到等式两边都含有含x的项，右侧为2x，在等式两边同时减去2x，可将所有含x的项移到等式左侧，化简后即可得到x的值。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边同时减去1，得
$x+1-1=\frac{1}{2}-1$
化简，得
$x=-\frac{1}{2}$
(2) 根据等式的性质1，方程两边同时减去$2x$，得
$3x-2x=2x+12-2x$
化简，得
$x=12$
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)$x=12$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，解题关键是明确需要消去的项，对等式两边同时做相同的加减运算实现化简，这类题型是后续学习复杂方程求解的重要基础。
【难度系数】
0.85

6.(易错题)下列是等式$\frac{2x+1}{3}-1=x$的变形，其中根据等式的性质2变形的是().

A.$\frac{2x+1}{3}=x+1$
B.$\frac{2x+1}{3}-x=1$
C.$\frac{2x}{3}+\frac{1}{3}-1=x$
D.$2x+1-3=3x$

D

【分析】
解题前首先要明确等式两个性质的区别：等式性质1是对等式两边做加减同一个数（或式子）的变形，等式性质2是对等式两边做乘同一个数（或除以同一个不为0的数）的变形。我们只需要逐一分析每个选项的变形操作，判断其对应的等式性质即可选出正确答案。
【解析】
首先明确等式性质2的内容：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对各选项逐一分析：
选项A：原等式$\frac{2x+1}{3}-1=x$两边同时加1，得到$\frac{2x+1}{3}=x+1$，是根据等式性质1变形，不符合要求；
选项B：原等式两边同时加1、减x，得到$\frac{2x+1}{3}-x=1$，是根据等式性质1变形，不符合要求；
选项C：将左边的$\frac{2x+1}{3}$拆分为$\frac{2x}{3}+\frac{1}{3}$，属于分数的拆分运算，未用到等式的性质，不符合要求；
选项D：原等式两边同时乘3，左边变为$2x+1-3$，右边变为$3x$，即$2x+1-3=3x$，是根据等式性质2变形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质2，一元一次方程变形
【点评】
本题是易错题，易错点为混淆等式的两个性质，解题时要注意区分：涉及加减操作的变形用等式性质1，涉及乘除操作的变形用等式性质2，判断时紧扣变形的操作类型即可。
【难度系数】
0.6

7.已知等式 $3a=2b+5$，则下列等式中不一定成立的是().

A.$3a - 5 = 2b$
B.$3a + 1 = 2b + 6$
C.$3ac = 2bc + 5$
D.$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$

C

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来逐一将选项和原等式$3a=2b+5$对比，判断变形是否符合等式性质即可，尤其注意等式两边同乘一个数时，每一项都要乘这个数，避免漏乘。
【解析】
我们根据等式的性质逐一分析选项：
选项A：将原等式两边同时减5，左边得$3a-5$，右边得$2b+5-5=2b$，即$3a-5=2b$，该等式一定成立。
选项B：将原等式两边同时加1，左边得$3a+1$，右边得$2b+5+1=2b+6$，即$3a+1=2b+6$，该等式一定成立。
选项C：将原等式两边同时乘$c$，左边得$3ac$，右边得$(2b+5)c=2bc+5c$，只有当$c=1$时$3ac=2bc+5$才成立，$c≠1$时等式不成立，因此该等式不一定成立。
选项D：将原等式两边同时除以3（3≠0，符合除法要求），左边得$a$，右边得$\frac{2b+5}{3}=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，该等式一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1、等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，解题的关键是牢记等式变形的规则，尤其注意等式两边同时乘同一个数时，不要漏乘等式中的常数项，否则容易判断错误。
【难度系数】
0.8

8.将一些数字填在正方形格子中,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,就得到一个幻方.如图是一个幻方的一部分,则$a-b=$.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
解决本题的核心是利用三阶幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”的性质，结合等式的性质逐步求解：首先找到都含有第三行第三列未知数字的两组相等的和，消去这个共同未知数先求出b的值；再通过右上到左下的对角线算出幻和；最后根据第一行的和等于幻和求出a的值，代入计算a-b即可。
【解析】
设幻和为S（即每行、每列、每条对角线的三个数之和为S），第三行第三列的数为x。
1. 由左上到右下对角线的和等于第三行的和，可得：
$-6 + (-5) + x = b + (-9) + x$
根据等式的性质，两边同时减去x，得：
$-11 = b - 9$
解得$b = -2$
2. 由右上到左下对角线的和为幻和S，代入$b=-2$得：
$S = -8 + (-5) + (-2) = -15$
3. 由第一行的和等于幻和S，得：
$-6 + a + (-8) = -15$
整理得$a - 14 = -15$，解得$a = -1$
4. 计算$a-b$：
$a - b = (-1) - (-2) = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
三阶幻方性质、等式的性质、有理数加减运算
【点评】
本题结合幻方情境考查等式性质的应用，解题的关键是找到含共同未知量的等式进行消元，降低计算难度，计算时要注意有理数加减的符号规则，避免出错。
【难度系数】
0.7

9.如图，有三架平衡的天平，请问第三架天平中“？”处应放个▲.

解：设圆形物体质量为$x$，三角形物体质量为$y$，正方形物体质量为$z$。
由第一架天平平衡，得：
$x + y = z$ ①
由第二架天平平衡，得：
$2x = y + z$ ②
将①代入②，得：
$2x = y + x + y$
化简得 $2x = x + 2y$
等式两边同时减去$x$，得：
$x = 2y$
将$x=2y$代入①，得：
$2y + y = z$
即 $z = 3y$
因此 $x + z = 2y + 3y = 5y$
即“?”处应放$\boldsymbol{5}$个▲。

【分析】
天平平衡说明左右两侧物体总质量相等，我们可以先给三种图形的质量分别设未知数，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等量式，再利用等式的性质和等量代换，把圆形、正方形的质量都用三角形的质量表示，最后计算第三架天平左侧的总质量对应多少个三角形的质量，就能得到“？”处的答案。
【解析】
设圆形物体质量为$x$，三角形物体质量为$y$，正方形物体质量为$z$。
由第一架天平平衡，得：
$x + y = z$ ①
由第二架天平平衡，得：
$2x = y + z$ ②
将①代入②，得：
$2x = y + x + y$
化简得 $2x = x + 2y$
等式两边同时减去$x$，得：
$x = 2y$，即1个圆形的质量等于2个三角形的质量。
将$x=2y$代入①，得：
$2y + y = z$
即 $z = 3y$，即1个正方形的质量等于3个三角形的质量。
因此第三架天平左侧总质量$x + z = 2y + 3y = 5y$，所以右侧需要放5个▲才能平衡。
【答案】
5
【知识点】
等式的性质、等量代换、代数式求值
【点评】
本题以天平平衡为载体，将抽象的等量关系融入直观图形中，既考查了对等式性质的理解和应用，也锻炼了从实际情境中提取等量关系、通过代换推理解决问题的能力，是培养代数思维的典型题型。
【难度系数】
0.7

10. 用等式的性质解下列方程：
(1) $1=4x-11$；
(2) $\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

解：
(1) 根据等式的性质1，两边同时加11，得
$1 + 11 = 4x - 11 + 11$
化简得 $12 = 4x$
根据等式的性质2，两边同时除以4，得
$12 ÷ 4 = 4x ÷ 4$
化简得 $x = 3$
(2) 根据等式的性质1，两边同时加$\frac{1}{3}$，得
$\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$
化简得 $\frac{1}{4}x = 1$
根据等式的性质2，两边同时乘4，得
$x = 4$

【分析】
用等式的性质解一元一次方程，核心是通过等式的两个性质逐步将方程变形为“x=a”的形式。第一步先利用等式的性质1，在方程两边同时加上或减去同一个数，消去含未知数一侧的常数项，将方程化为“mx=n（m≠0）”的形式；第二步再利用等式的性质2，在方程两边同时乘或除以同一个不为0的数，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，两边同时加11，得
$1 + 11 = 4x - 11 + 11$
化简得 $12 = 4x$
根据等式的性质2，两边同时除以4，得
$12 ÷ 4 = 4x ÷ 4$
化简得 $x = 3$
(2) 根据等式的性质1，两边同时加$\frac{1}{3}$，得
$\frac{1}{4}x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$
化简得 $\frac{1}{4}x = 1$
根据等式的性质2，两边同时乘4，得
$x = 4$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=4$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时需严格遵循等式性质做等价变形，熟练掌握该类题型可为后续复杂方程的求解打好基础。
【难度系数】
0.8

11. 王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说$x=5$；小刚说不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立。你认为他们俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由。

解：小刚的说法正确，小明的说法错误，理由如下：
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。
1. 当$m-3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$时，等式两边同时除以$(m-3)$，可得$x=5$；
2. 当$m-3 = 0$，即$m = 3$时，原等式变为$0 · x = 0$，此时无论$x$取任意值，等式左右两边都等于0，等式恒成立，此时$x ≠ 5$时等式也可以成立。
因此小明认为$x$一定等于5的说法错误，小刚的说法正确。

【分析】
这道题需结合等式的性质判断两人说法的正误，核心要注意：等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0。因此我们需要对x的系数(m-3)分两种情况讨论：第一种是m-3不等于0的情况，第二种是m-3等于0的情况，分别分析两种情形下x的取值，即可判断两人说法是否正确。
【解析】
小刚的说法正确，小明的说法错误，理由如下：
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。
1. 当$m-3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$时，等式两边同时除以$(m-3)$，可得$x=5$；
2. 当$m-3 = 0$，即$m = 3$时，原等式变为$0 · x = 0$，此时无论$x$取任意值，等式左右两边都等于0，等式恒成立，此时$x ≠ 5$时等式也可以成立。
因此小明认为$x$一定等于5的说法错误，小刚的说法正确。
【答案】
小刚的说法正确，小明的说法错误。当$m≠3$时，$x=5$；当$m=3$时，$x$可取任意值，$x≠5$时等式也可成立。
【知识点】
等式的性质2；分类讨论思想；含参方程求解
【点评】
本题主要考查对等式性质2的理解，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的限制条件，直接除以(m-3)得到x=5的错误结论，解题时遇到含参数的系数，要注意分情况讨论。
【难度系数】
0.6

12.(应用意识、运算能力)阅读下列材料:
问题:怎样将$0.\dot{8}$表示成分数?
小明的探究过程如下:
设 $x=0.\dot{8}$①, $10x=10×0.\dot{8}$②, $10x=8.\dot{8}$③, $10x=8+0.\dot{8}$④, $10x=8+x$⑤, $9x=8$⑥, $x=\frac{8}{9}$⑦,于是 $0.\dot{8}=\frac{8}{9}$.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是
;
从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是
;
(2)仿照上述探究过程,请你将$0.\dot{6}$表示成分数的形式.

解：
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（等式的性质2）；
等式两边减同一个数（或式子），结果仍相等（等式的性质1）。
(2) 设$x=0.\dot{6}$，
两边同时乘10，得$10x=10×0.\dot{6}$，
即$10x=6.\dot{6}$，
所以$10x=6+0.\dot{6}$，
因为$x=0.\dot{6}$，
所以$10x=6+x$，
两边同时减去$x$，得$9x=6$，
两边同时除以9，得$x=\frac{2}{3}$，
于是$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$。

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 首先回忆等式的两个基本性质，步骤①到步骤②是给等式左右两边同时乘10，对应等式两边乘同一个数仍相等的性质；步骤⑤到步骤⑥是给等式左右两边同时减x，对应等式两边减同一个数（或式子）仍相等的性质。(2) 仿照材料中给出的纯循环小数化分数的方法，先设待转化的循环小数为x，再根据循环节是1位，给等式两边同时乘10，将右侧变形为整数加原循环小数的形式，再把原循环小数替换为x，最后通过解一元一次方程得到对应的分数。
【解析】
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（等式的性质2）；
等式两边减同一个数（或式子），结果仍相等（等式的性质1）。
(2) 设$x=0.\dot{6}$，
两边同时乘10，得$10x=10×0.\dot{6}$，
即$10x=6.\dot{6}$，
所以$10x=6+0.\dot{6}$，
因为$x=0.\dot{6}$，
所以$10x=6+x$，
两边同时减去$x$，得$9x=6$，
两边同时除以9，得$x=\frac{2}{3}$，
于是$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（等式的性质2）；等式两边减同一个数（或式子），结果仍相等（等式的性质1）
(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，循环小数化分数
【点评】
本题通过材料探究的形式出题，既考查了对等式基本性质的识别和应用能力，也考查了知识迁移的模仿能力，能让学生在解题过程中掌握纯循环小数转化为分数的方法，贴合对应用意识、运算能力的考查要求。
【难度系数】
0.8