登录
例1 在一次篮球邀请赛中,参赛的每两队之间都要进行一场比赛,共比赛36场,则参赛的球队有()
A.6支
B.8支
C.9支
D.12支
【思路导析】设有$x$支球队参赛,根据单循环赛制规则列出方程,即可求出答案.
【请你解答】.
知识点二 双循环赛制问题
A.6支
B.8支
C.9支
D.12支
【思路导析】设有$x$支球队参赛,根据单循环赛制规则列出方程,即可求出答案.
【请你解答】.
知识点二 双循环赛制问题
答案
C
解析
【分析】
本题属于单循环赛制的实际应用问题，解题思路如下：首先明确单循环赛的规则：每两个队伍之间仅比赛1场，无重复场次。若设有x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场，此时计算的总场次中每场比赛被两个队伍各统计了1次，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。再结合题干给出的总比赛场次36场，列一元二次方程求解，最后根据球队数量为正整数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设参赛的球队有$x$支。
根据单循环赛制总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理方程得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$。
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-8$，即参赛球队有9支。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际比赛问题中的典型应用，解题核心是准确理解单循环赛制的总场次计算逻辑，求解方程后要注意结合实际情境舍去不符合要求的根，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环赛制的实际应用问题，解题思路如下：首先明确单循环赛的规则：每两个队伍之间仅比赛1场，无重复场次。若设有x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场，此时计算的总场次中每场比赛被两个队伍各统计了1次，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。再结合题干给出的总比赛场次36场，列一元二次方程求解，最后根据球队数量为正整数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设参赛的球队有$x$支。
根据单循环赛制总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理方程得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$。
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-8$，即参赛球队有9支。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际比赛问题中的典型应用，解题核心是准确理解单循环赛制的总场次计算逻辑，求解方程后要注意结合实际情境舍去不符合要求的根，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
例2 在某体育赛事中，主办方经过层层筛选最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制(即每两队之间进行两场比赛)，已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有多少支？
【思路导析】设参加比赛的球队数量为x，根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，即可求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 循环赛制问题
【思路导析】设参加比赛的球队数量为x，根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，即可求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 循环赛制问题
答案
解：设参加比赛的球队有x支。
根据双循环赛制的比赛场次规则，可列方程：
$x(x-1) = 30$
整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数量为正整数，$x=-5$不符合实际意义，舍去。
答：参加比赛的球队有6支。
根据双循环赛制的比赛场次规则，可列方程：
$x(x-1) = 30$
整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数量为正整数，$x=-5$不符合实际意义，舍去。
答：参加比赛的球队有6支。
解析
【分析】解决本题首先要明确双循环赛制的比赛规则：每两支队伍之间要进行2场比赛，因此若设参赛球队有x支，每支球队都需要与其余(x-1)支球队各赛2场，且两场比赛不重复计数，总场次可表示为x(x-1)。再结合题干给出的总比赛场次30场，即可列出一元二次方程，求解后需结合球队数量为正整数的实际要求，舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设参加比赛的球队有x支。
根据双循环赛制的比赛场次规则，可列方程：
$x(x-1) = 30$
整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数量为正整数，$x=-5$不符合实际意义，舍去。
【答案】参加比赛的球队有6支。
【知识点】一元二次方程的应用；双循环赛制计算；一元二次方程的解法
【点评】本题属于比赛场次类的基础应用题，核心是区分单循环和双循环的场次计算逻辑，避免列方程时多除或多乘系数，同时要注意实际应用类问题求解后必须验证根的合理性，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设参加比赛的球队有x支。
根据双循环赛制的比赛场次规则，可列方程：
$x(x-1) = 30$
整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5) = 0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数量为正整数，$x=-5$不符合实际意义，舍去。
【答案】参加比赛的球队有6支。
【知识点】一元二次方程的应用；双循环赛制计算；一元二次方程的解法
【点评】本题属于比赛场次类的基础应用题，核心是区分单循环和双循环的场次计算逻辑，避免列方程时多除或多乘系数，同时要注意实际应用类问题求解后必须验证根的合理性，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】0.7
例3 “中超”足球联赛采用的是主客场制的双循环比赛制度(即每两队之间进行两场比赛).显然参赛球队数对比赛总场次有直接影响,由于各种原因,到底有几支球队参加“中超”联赛一直是足协考虑的问题之一.在目前的基础上,如果减少4支球队,则比赛总场次将比现在的总场次的一半还少6场,那么,现在共有多少支球队参加“中超”联赛?
【探究点拨】如果有$n$支球队参加双循环比赛,那么比赛总场次为$n(n-1)$,据此依题意列方程解答.
【规范解答】设现在共有$x$支球队参加“中超”联赛,则
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6,$
即 $x^2 -17x +52=0$,
解得 $x_1=4,x_2=13$,
$x_1=4$不合题意,所以 $x_2=13$.
答:现在共有13支球队参加“中超”联赛.
【探究点拨】如果有$n$支球队参加双循环比赛,那么比赛总场次为$n(n-1)$,据此依题意列方程解答.
【规范解答】设现在共有$x$支球队参加“中超”联赛,则
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6,$
即 $x^2 -17x +52=0$,
解得 $x_1=4,x_2=13$,
$x_1=4$不合题意,所以 $x_2=13$.
答:现在共有13支球队参加“中超”联赛.
答案
解：设现在共有$x$支球队参加“中超”联赛。
根据题意列方程得：
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6$
整理得：
$x^2-17x+52=0$
解得：
$x_1=4,\ x_2=13$
当$x=4$时，减少4支球队后参赛球队数为0，不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=13$。
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛。
根据题意列方程得：
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6$
整理得：
$x^2-17x+52=0$
解得：
$x_1=4,\ x_2=13$
当$x=4$时，减少4支球队后参赛球队数为0，不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=13$。
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛。
解析
【分析】
解题首先要明确双循环比赛的总场次计算规则：若有n支球队参赛，每两队之间进行2场比赛，总场次为$n(n-1)$。接着梳理题目等量关系：减少4支球队后的比赛总场次 = 现有球队总场次的$\frac{1}{2}$ - 6。我们设现有球队数为x，减少4支后球队数为$x-4$，分别用公式表示两种情况的总场次，代入等量关系即可列出一元二次方程，解方程后结合球队数为正整数、减少后球队数不能为0的实际要求检验根，舍去不符合题意的解就能得到答案。
【解析】
设现在共有$x$支球队参加“中超”联赛。
根据题意列方程得：
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6$
展开并整理得：
$x^2 -9x +20 = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x -6$
两边同乘2消去分母：$2x^2 -18x +40 = x^2 -x -12$
移项合并同类项得：$x^2-17x+52=0$
因式分解得：$(x-4)(x-13)=0$
解得：$x_1=4,\ x_2=13$
当$x=4$时，减少4支球队后参赛球队数为0，不符合实际比赛的意义，故舍去。
$\therefore x=13$。
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛。
【答案】
现在共有13支球队参加“中超”联赛。
【知识点】
双循环场次计算、一元二次方程的应用、一元二次方程求解
【点评】
本题是结合体育赛事的实际应用题，解题关键是牢记双循环比赛的总场次计算公式，准确提取题目中的等量关系列方程，求解后一定要注意结合实际场景检验方程的根，排除不符合逻辑的增根。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确双循环比赛的总场次计算规则：若有n支球队参赛，每两队之间进行2场比赛，总场次为$n(n-1)$。接着梳理题目等量关系：减少4支球队后的比赛总场次 = 现有球队总场次的$\frac{1}{2}$ - 6。我们设现有球队数为x，减少4支后球队数为$x-4$，分别用公式表示两种情况的总场次，代入等量关系即可列出一元二次方程，解方程后结合球队数为正整数、减少后球队数不能为0的实际要求检验根，舍去不符合题意的解就能得到答案。
【解析】
设现在共有$x$支球队参加“中超”联赛。
根据题意列方程得：
$(x-4)(x-5)=\frac{1}{2}x(x-1)-6$
展开并整理得：
$x^2 -9x +20 = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x -6$
两边同乘2消去分母：$2x^2 -18x +40 = x^2 -x -12$
移项合并同类项得：$x^2-17x+52=0$
因式分解得：$(x-4)(x-13)=0$
解得：$x_1=4,\ x_2=13$
当$x=4$时，减少4支球队后参赛球队数为0，不符合实际比赛的意义，故舍去。
$\therefore x=13$。
答：现在共有13支球队参加“中超”联赛。
【答案】
现在共有13支球队参加“中超”联赛。
【知识点】
双循环场次计算、一元二次方程的应用、一元二次方程求解
【点评】
本题是结合体育赛事的实际应用题，解题关键是牢记双循环比赛的总场次计算公式，准确提取题目中的等量关系列方程，求解后一定要注意结合实际场景检验方程的根，排除不符合逻辑的增根。
【难度系数】
0.7
1.济青高铁北线共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票()
A.20种
B.42种
C.10种
D.84种
A.20种
B.42种
C.10种
D.84种
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确火车票的属性：两个站点之间，出发站和到达站不同则属于不同的车票（比如A站到B站和B站到A站是两种不同的票），属于有顺序的计数问题。可以通过两种思路求解：思路1：先计算任意两个站点之间的单向车票数量，再乘以2得到往返总票数；思路2：直接从每个站点的出发车票数入手，累加得到总票数。
【解析】
方法一：把5个站点看作直线上的5个点，任意2个点之间的1条线段对应1种单向车票。
n个点的线段总条数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=5，得单向车票种类为$\frac{5×4}{2}=10$种。
因为往返车票不同，所以总车票种类为$10×2=20$种。
方法二：每个站点作为出发站时，可到达其余$5-1=4$个站点，即每个站点对应4种不同的出发车票。
共有5个站点，因此总车票种类为$5×4=20$种。
【答案】
A
【知识点】
计数问题、有序排列
【点评】
这是一道结合生活实际的计数类题目，解题的核心是区分“有序”和“无序”，如果忽略火车票往返有区别，很容易误选10种的错误选项，能有效考查学生结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确火车票的属性：两个站点之间，出发站和到达站不同则属于不同的车票（比如A站到B站和B站到A站是两种不同的票），属于有顺序的计数问题。可以通过两种思路求解：思路1：先计算任意两个站点之间的单向车票数量，再乘以2得到往返总票数；思路2：直接从每个站点的出发车票数入手，累加得到总票数。
【解析】
方法一：把5个站点看作直线上的5个点，任意2个点之间的1条线段对应1种单向车票。
n个点的线段总条数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=5，得单向车票种类为$\frac{5×4}{2}=10$种。
因为往返车票不同，所以总车票种类为$10×2=20$种。
方法二：每个站点作为出发站时，可到达其余$5-1=4$个站点，即每个站点对应4种不同的出发车票。
共有5个站点，因此总车票种类为$5×4=20$种。
【答案】
A
【知识点】
计数问题、有序排列
【点评】
这是一道结合生活实际的计数类题目，解题的核心是区分“有序”和“无序”，如果忽略火车票往返有区别，很容易误选10种的错误选项，能有效考查学生结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的2倍,求这个多边形的边数.
答案
解：设这个多边形的边数为$n$（$n≥3$，且$n$为正整数）。
根据多边形对角线条数公式，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=2n$
整理得：
$n^2 -7n=0$
$n(n-7)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=0$。
多边形边数不能为0，故舍去$n_2=0$。
答：这个多边形的边数为7。
根据多边形对角线条数公式，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=2n$
整理得：
$n^2 -7n=0$
$n(n-7)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=0$。
多边形边数不能为0，故舍去$n_2=0$。
答：这个多边形的边数为7。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确题目中的等量关系：多边形的对角线条数=2×多边形的边数。首先回忆多边形对角线条数的计算公式，设多边形的边数为n，将对角线条数用含n的代数式表示，再根据等量关系列出一元二次方程，求解方程后，结合多边形边数为不小于3的正整数这一隐含条件舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为$n$（$n≥3$，且$n$为正整数）。
根据多边形对角线条数公式，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=2n$
整理得：
$n^2 -7n=0$
因式分解得：
$n(n-7)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=0$。
因为多边形边数不能为0，不符合实际意义，故舍去$n_2=0$。
答：这个多边形的边数为7。
【答案】
7
【知识点】
多边形对角线条数计算；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是熟练掌握多边形对角线条数的计算公式，列方程求解后切记要结合实际问题的取值要求对解进行检验，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确题目中的等量关系：多边形的对角线条数=2×多边形的边数。首先回忆多边形对角线条数的计算公式，设多边形的边数为n，将对角线条数用含n的代数式表示，再根据等量关系列出一元二次方程，求解方程后，结合多边形边数为不小于3的正整数这一隐含条件舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为$n$（$n≥3$，且$n$为正整数）。
根据多边形对角线条数公式，列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=2n$
整理得：
$n^2 -7n=0$
因式分解得：
$n(n-7)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=0$。
因为多边形边数不能为0，不符合实际意义，故舍去$n_2=0$。
答：这个多边形的边数为7。
【答案】
7
【知识点】
多边形对角线条数计算；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是熟练掌握多边形对角线条数的计算公式，列方程求解后切记要结合实际问题的取值要求对解进行检验，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
