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1.若一个多边形的对角线条数为20，则这个多边形的边数为.
答案
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形对角线条数公式列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数为正整数，$n=-5$不符合实际意义，舍去，
∴这个多边形的边数为8。
答：这个多边形的边数为8。
根据多边形对角线条数公式列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数为正整数，$n=-5$不符合实际意义，舍去，
∴这个多边形的边数为8。
答：这个多边形的边数为8。
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形对角线条数的计算公式：n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$（n为多边形的边数，且n是大于等于3的正整数）。已知对角线条数为20，我们可以设多边形的边数为n，将已知条件代入公式列出一元二次方程，求解方程后，根据多边形边数为正整数的要求舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形对角线条数公式列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数为正整数，$n=-5$不符合实际意义，舍去，
∴这个多边形的边数为8。
【答案】
8
【知识点】
多边形对角线公式、一元二次方程解法、实际问题验根
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查多边形对角线条数公式的应用，解题时需注意求解一元二次方程得到的根要符合多边形边数为正整数的实际要求，牢记对应公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆多边形对角线条数的计算公式：n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$（n为多边形的边数，且n是大于等于3的正整数）。已知对角线条数为20，我们可以设多边形的边数为n，将已知条件代入公式列出一元二次方程，求解方程后，根据多边形边数为正整数的要求舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形对角线条数公式列方程得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得：$n^2 - 3n - 40 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数为正整数，$n=-5$不符合实际意义，舍去，
∴这个多边形的边数为8。
【答案】
8
【知识点】
多边形对角线公式、一元二次方程解法、实际问题验根
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查多边形对角线条数公式的应用，解题时需注意求解一元二次方程得到的根要符合多边形边数为正整数的实际要求，牢记对应公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2.《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”译为：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有个人.
答案
解：设诸侯共有x个人。
根据题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
检验：人数不能为负数，故$x=-5$不符合题意，舍去。
答：诸侯有6个人。
根据题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
检验：人数不能为负数，故$x=-5$不符合题意，舍去。
答：诸侯有6个人。
解析
【分析】
这是一道结合传统文化的一元二次方程实际应用题，属于单循环计数题型。解题思路如下：首先明确计数规则：每两人之间仅行礼1次，若设诸侯有x人，每个诸侯需要和除自己外的(x-1)个诸侯各行礼1次，此时计算的总次数会把每一次行礼重复统计1次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。再根据总行礼次数为15次列方程，求解后结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设诸侯共有x个人。
根据题意，每两人相互行礼1次，总行礼次数为15次，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
检验：人数不能为负数，因此$x=-5$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题以《九章算术》的传统数学问题为背景，趣味性较强，解题核心是准确理解两两行礼的计数规则建立正确的方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
这是一道结合传统文化的一元二次方程实际应用题，属于单循环计数题型。解题思路如下：首先明确计数规则：每两人之间仅行礼1次，若设诸侯有x人，每个诸侯需要和除自己外的(x-1)个诸侯各行礼1次，此时计算的总次数会把每一次行礼重复统计1次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。再根据总行礼次数为15次列方程，求解后结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设诸侯共有x个人。
根据题意，每两人相互行礼1次，总行礼次数为15次，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
检验：人数不能为负数，因此$x=-5$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题以《九章算术》的传统数学问题为背景，趣味性较强，解题核心是准确理解两两行礼的计数规则建立正确的方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
3.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票(往返车票不同).若设这条线路共有x个站点，则可列方程为
.
.
答案
解：
设这条线路共有x个站点，每个站点均可前往其余$(x-1)$个站点，由于往返车票不相同，总车票种类数为$x(x-1)$。
根据题意列方程得：
$x(x-1)=56$
设这条线路共有x个站点，每个站点均可前往其余$(x-1)$个站点，由于往返车票不相同，总车票种类数为$x(x-1)$。
根据题意列方程得：
$x(x-1)=56$
解析
【分析】
解题时首先明确往返车票属于不同类型的车票，即从甲站到乙站和乙站到甲站是两种不同的车票，无需除以2。若共有x个站点，每个站点都可前往剩余的(x-1)个站点，即每个站点对应(x-1)种出发车票，总车票数为站点数乘单个站点的车票种类，再结合题干给出的总车票数为56种，即可找到等量关系列出方程。
【解析】
设这条线路共有x个站点，每个站点均可前往其余(x-1)个站点，由于往返车票不相同，因此总车票种类数为$x(x-1)$。
根据题意总共有56种往返车票，列方程得：
$x(x-1)=56$
【答案】
$x(x-1)=56$
【知识点】
一元二次方程的应用；计数类实际问题
【点评】
本题主要考查实际问题转化为数学方程的能力，解题时要注意区分往返车票类有顺序的计数问题和握手类无顺序的计数问题的差异，避免错误添加除以2的运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确往返车票属于不同类型的车票，即从甲站到乙站和乙站到甲站是两种不同的车票，无需除以2。若共有x个站点，每个站点都可前往剩余的(x-1)个站点，即每个站点对应(x-1)种出发车票，总车票数为站点数乘单个站点的车票种类，再结合题干给出的总车票数为56种，即可找到等量关系列出方程。
【解析】
设这条线路共有x个站点，每个站点均可前往其余(x-1)个站点，由于往返车票不相同，因此总车票种类数为$x(x-1)$。
根据题意总共有56种往返车票，列方程得：
$x(x-1)=56$
【答案】
$x(x-1)=56$
【知识点】
一元二次方程的应用；计数类实际问题
【点评】
本题主要考查实际问题转化为数学方程的能力，解题时要注意区分往返车票类有顺序的计数问题和握手类无顺序的计数问题的差异，避免错误添加除以2的运算。
【难度系数】
0.8
4.若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，则边数n的值为()
A.8
B.9
C.10
D.11
A.8
B.9
C.10
D.11
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆n边形对角线总数的计算公式，分别表示出边数为n和边数为n+1时的多边形对角线总条数，再根据“边数增加1后对角线总数增加9”这一等量关系列方程，最后解方程求出n的值即可，注意多边形的边数n为不小于3的正整数。
【解析】
首先，n边形的对角线总数公式为：$\displaystyle S_n=\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$且n为正整数）。
当边数增加1变为$(n+1)$边形时，对角线总数为：
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{(n+1)(n+1-3)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$
根据题意，对角线总数增加9，可得：
$\displaystyle S_{n+1}-S_n=9$
将两个表达式代入方程：
$\displaystyle \frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=9$
方程两边同乘2消去分母：
$\displaystyle (n+1)(n-2)-n(n-3)=18$
展开并化简左边：
$\displaystyle n^2 -2n +n -2 -n^2 +3n=2n-2$
因此方程变为：
$\displaystyle 2n-2=18$
解得：$\displaystyle n=10$
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是熟练掌握多边形对角线总数的计算公式，能根据题干给出的等量关系准确列方程求解，计算过程中二次项会自动抵消，整体计算量较小。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆n边形对角线总数的计算公式，分别表示出边数为n和边数为n+1时的多边形对角线总条数，再根据“边数增加1后对角线总数增加9”这一等量关系列方程，最后解方程求出n的值即可，注意多边形的边数n为不小于3的正整数。
【解析】
首先，n边形的对角线总数公式为：$\displaystyle S_n=\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$且n为正整数）。
当边数增加1变为$(n+1)$边形时，对角线总数为：
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{(n+1)(n+1-3)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$
根据题意，对角线总数增加9，可得：
$\displaystyle S_{n+1}-S_n=9$
将两个表达式代入方程：
$\displaystyle \frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=9$
方程两边同乘2消去分母：
$\displaystyle (n+1)(n-2)-n(n-3)=18$
展开并化简左边：
$\displaystyle n^2 -2n +n -2 -n^2 +3n=2n-2$
因此方程变为：
$\displaystyle 2n-2=18$
解得：$\displaystyle n=10$
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是熟练掌握多边形对角线总数的计算公式，能根据题干给出的等量关系准确列方程求解，计算过程中二次项会自动抵消，整体计算量较小。
【难度系数】
0.75
5.永龙城际公交K803国道线路自2020年1月开通以来，凭借惠民票价、优质服务，深受广大乘客的好评，加快了区域一体化进程，进一步拉近了市、区两地的经济文化交流，促进同城化发展.已知永定车站到龙岩中心站原有20个站点，为方便群众出行，计划新增几个站点，为此公交公司需增加220种不同的车票，
则计划新增站点个数为()
A.3
B.5
C.7
D.9
则计划新增站点个数为()
A.3
B.5
C.7
D.9
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确车票的计数规则：两个不同站点之间，往返对应两种不同的车票，属于双循环计数问题。若共有m个站点，总的车票种类为m(m-1)（每个站点到其余m-1个站点各有一种车票）。我们可以设计划新增x个站点，用新增后总车票数减去原有车票数等于新增的220种车票这一等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
设计划新增站点的个数为$ x $。
已知原有20个站点，新增后总站点数为$ 20+x $。
根据车票计数规则：
原有车票种类：$ 20×(20-1) $
新增后总车票种类：$ (20+x)(20+x-1) $
由题意得新增车票数为220，列方程：
$(20+x)(19+x) - 20×19 = 220$
展开并化简方程：
$x^2 + 39x + 380 - 380 = 220$
$x^2 + 39x - 220 = 0$
因式分解得：
$(x+44)(x-5) = 0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-44 $（站点个数不能为负，舍去）。
所以计划新增站点个数为5。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环计数问题
【点评】
本题结合公交站点设置的生活场景考查方程的实际应用，解题的核心是明确车票有往返差异，正确梳理计数规则和等量关系，求解后注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确车票的计数规则：两个不同站点之间，往返对应两种不同的车票，属于双循环计数问题。若共有m个站点，总的车票种类为m(m-1)（每个站点到其余m-1个站点各有一种车票）。我们可以设计划新增x个站点，用新增后总车票数减去原有车票数等于新增的220种车票这一等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
设计划新增站点的个数为$ x $。
已知原有20个站点，新增后总站点数为$ 20+x $。
根据车票计数规则：
原有车票种类：$ 20×(20-1) $
新增后总车票种类：$ (20+x)(20+x-1) $
由题意得新增车票数为220，列方程：
$(20+x)(19+x) - 20×19 = 220$
展开并化简方程：
$x^2 + 39x + 380 - 380 = 220$
$x^2 + 39x - 220 = 0$
因式分解得：
$(x+44)(x-5) = 0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-44 $（站点个数不能为负，舍去）。
所以计划新增站点个数为5。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环计数问题
【点评】
本题结合公交站点设置的生活场景考查方程的实际应用，解题的核心是明确车票有往返差异，正确梳理计数规则和等量关系，求解后注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6.在一次足球联赛中，组委会将若干支球队平均分成8个小组，首先在小组内进行单循环赛(每两队进行一场比赛)，每组的前两名产生16强，然后在16强中进行淘汰赛(每两队淘汰一队)，最后产生冠、亚、季军(季军的产生要多进行一场比赛).组委会共需组织96场比赛(淘汰赛共16场)，你知道有多少支球队参赛了吗？
答案
解：设每组有x支球队，则参赛球队总数为8x支。
根据题意，小组赛总场数为$96-16=80$场，
每组x支球队进行单循环赛的比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场，
列方程得：
$8×\frac{1}{2}x(x-1) = 96 - 16$
整理得：
$x^2 - x - 20 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$（球队数量不能为负，舍去）
则参赛总球队数为$8x = 8×5 = 40$。
答：共有40支球队参赛。
根据题意，小组赛总场数为$96-16=80$场，
每组x支球队进行单循环赛的比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场，
列方程得：
$8×\frac{1}{2}x(x-1) = 96 - 16$
整理得：
$x^2 - x - 20 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$（球队数量不能为负，舍去）
则参赛总球队数为$8x = 8×5 = 40$。
答：共有40支球队参赛。
解析
【分析】
解题时首先明确总比赛场数由小组赛和淘汰赛两部分组成，已知总场数和淘汰赛的场数，可先算出小组赛的总场数。接下来回忆单循环赛的场次计算规则：每组有x支球队时，每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场，每场比赛会被重复计算两次，因此每组单循环赛的场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，8个小组的总场次就是8乘这个式子，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去负数解，再计算总参赛球队数即可。
【解析】
解：设每组有x支球队，则参赛球队总数为8x支。
已知总比赛共96场，淘汰赛共16场，因此小组赛总场数为$96-16=80$场。
每组x支球队进行单循环赛，每组的比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场，根据题意列方程：
$8×\frac{1}{2}x(x-1)=96-16$
整理得：
$x^2 - x - 20=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$，因为球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-4$。
则参赛总球队数为$8x=8×5=40$。
答：共有40支球队参赛。
【答案】
共有40支球队参赛。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛场次计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合足球联赛的实际场景命题，重点考查学生对计数类实际问题的建模能力，解题的关键是准确掌握单循环赛的场次计算方法，同时要注意结合问题的实际意义筛选方程的解，整体逻辑清晰，贴近生活，能较好地锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确总比赛场数由小组赛和淘汰赛两部分组成，已知总场数和淘汰赛的场数，可先算出小组赛的总场数。接下来回忆单循环赛的场次计算规则：每组有x支球队时，每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场，每场比赛会被重复计算两次，因此每组单循环赛的场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，8个小组的总场次就是8乘这个式子，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去负数解，再计算总参赛球队数即可。
【解析】
解：设每组有x支球队，则参赛球队总数为8x支。
已知总比赛共96场，淘汰赛共16场，因此小组赛总场数为$96-16=80$场。
每组x支球队进行单循环赛，每组的比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场，根据题意列方程：
$8×\frac{1}{2}x(x-1)=96-16$
整理得：
$x^2 - x - 20=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$，因为球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-4$。
则参赛总球队数为$8x=8×5=40$。
答：共有40支球队参赛。
【答案】
共有40支球队参赛。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛场次计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合足球联赛的实际场景命题，重点考查学生对计数类实际问题的建模能力，解题的关键是准确掌握单循环赛的场次计算方法，同时要注意结合问题的实际意义筛选方程的解，整体逻辑清晰，贴近生活，能较好地锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
