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9.某农场去年种植南瓜 10 亩,总产量为20 000 kg,今年该农场扩大了种植面积,并引进新品种,使产量增长到 60 000 kg.已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍,求今年平均亩产量的增长率.
答案
解：
设今年平均亩产量的增长率为$ x $，则今年种植面积的增长率为$ 2x $。
去年南瓜的平均亩产量为：$ 20000÷10 = 2000\ \mathrm{kg} $
根据题意列方程：
$10(1+2x) · 2000(1+x) = 60000$
整理得：
$(1+2x)(1+x) = 3$
展开并化简：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x+2)=0$
解得：
$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2 $
因为增长率不能为负，$ x=-2 $不符合题意，舍去。
答：今年平均亩产量的增长率为50%。
设今年平均亩产量的增长率为$ x $，则今年种植面积的增长率为$ 2x $。
去年南瓜的平均亩产量为：$ 20000÷10 = 2000\ \mathrm{kg} $
根据题意列方程：
$10(1+2x) · 2000(1+x) = 60000$
整理得：
$(1+2x)(1+x) = 3$
展开并化简：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x+2)=0$
解得：
$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2 $
因为增长率不能为负，$ x=-2 $不符合题意，舍去。
答：今年平均亩产量的增长率为50%。
解析
【分析】
这是一道一元二次方程实际应用中的增长率问题，解题核心依据等量关系：总产量=种植面积×平均亩产量。首先设所求的今年平均亩产量的增长率为x，由题意可得种植面积的增长率为2x；先计算出去年的平均亩产量，再分别表示出今年的种植面积和今年的平均亩产量，结合今年的总产量列方程求解，最后注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设今年平均亩产量的增长率为$ x $，则今年种植面积的增长率为$ 2x $。
去年南瓜的平均亩产量为：$ 20000÷10 = 2000\ \mathrm{kg} $
根据题意列方程：
$10(1+2x) · 2000(1+x) = 60000$
整理得：
$(1+2x)(1+x) = 3$
展开并化简：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x+2)=0$
解得：
$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2 $
因为增长率不能为负，$ x=-2 $不符合题意，舍去。
【答案】
今年平均亩产量的增长率为50%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准题目中的等量关系，正确设未知数列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程实际应用中的增长率问题，解题核心依据等量关系：总产量=种植面积×平均亩产量。首先设所求的今年平均亩产量的增长率为x，由题意可得种植面积的增长率为2x；先计算出去年的平均亩产量，再分别表示出今年的种植面积和今年的平均亩产量，结合今年的总产量列方程求解，最后注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设今年平均亩产量的增长率为$ x $，则今年种植面积的增长率为$ 2x $。
去年南瓜的平均亩产量为：$ 20000÷10 = 2000\ \mathrm{kg} $
根据题意列方程：
$10(1+2x) · 2000(1+x) = 60000$
整理得：
$(1+2x)(1+x) = 3$
展开并化简：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
因式分解得：
$(2x-1)(x+2)=0$
解得：
$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2 $
因为增长率不能为负，$ x=-2 $不符合题意，舍去。
【答案】
今年平均亩产量的增长率为50%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准题目中的等量关系，正确设未知数列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
10.某商店在国庆节期间进行促销活动,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店国庆节七天的总营业额；
(2)该商店7月份的营业额为350万元,8、9月份营业额的月均增长率相同,国庆节七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店8、9月份营业额的月均增长率.
(1)求该商店国庆节七天的总营业额；
(2)该商店7月份的营业额为350万元,8、9月份营业额的月均增长率相同,国庆节七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店8、9月份营业额的月均增长率.
答案
解：
(1) 第七天的营业额为：$450×12\% = 54$（万元）
国庆节七天的总营业额为：$450 + 54 = 504$（万元）
(2) 设该商店8、9月份营业额的月均增长率为$x$，
根据题意列方程得：
$350(1+x)^2 = 504$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不符合题意，舍去）
答：(1) 该商店国庆节七天的总营业额为504万元；(2) 该商店8、9月份营业额的月均增长率为20%。
(1) 第七天的营业额为：$450×12\% = 54$（万元）
国庆节七天的总营业额为：$450 + 54 = 504$（万元）
(2) 设该商店8、9月份营业额的月均增长率为$x$，
根据题意列方程得：
$350(1+x)^2 = 504$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不符合题意，舍去）
答：(1) 该商店国庆节七天的总营业额为504万元；(2) 该商店8、9月份营业额的月均增长率为20%。
解析
【分析】
(1) 要求七天总营业额，需先算出第七天的营业额：已知第七天营业额是前六天总营业额的12%，用前六天总营业额乘12%即可得到第七天营业额，再将前六天总营业额与第七天营业额相加，就能得到七天总营业额。
(2) 本题属于连续增长类问题，设月均增长率为x，以7月份营业额为基数，连续增长2个月后9月份的营业额可表示为$350(1+x)^2$，结合“国庆节七天总营业额与9月份营业额相等”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到所求增长率。
【解析】
(1) 计算第七天的营业额：
$450×12\% = 54$（万元）
国庆节七天的总营业额为：
$450 + 54 = 504$（万元）
(2) 设该商店8、9月份营业额的月均增长率为$x$，
根据题意列方程得：
$350(1+x)^2 = 504$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
【答案】
(1) 该商店国庆节七天的总营业额为504万元；
(2) 该商店8、9月份营业额的月均增长率为20%。
【知识点】
百分数实际应用、增长率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，第一问为基础计算，难度较低；第二问是典型的增长率题型，核心是掌握连续增长的数量关系，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，侧重考察基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 要求七天总营业额，需先算出第七天的营业额：已知第七天营业额是前六天总营业额的12%，用前六天总营业额乘12%即可得到第七天营业额，再将前六天总营业额与第七天营业额相加，就能得到七天总营业额。
(2) 本题属于连续增长类问题，设月均增长率为x，以7月份营业额为基数，连续增长2个月后9月份的营业额可表示为$350(1+x)^2$，结合“国庆节七天总营业额与9月份营业额相等”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到所求增长率。
【解析】
(1) 计算第七天的营业额：
$450×12\% = 54$（万元）
国庆节七天的总营业额为：
$450 + 54 = 504$（万元）
(2) 设该商店8、9月份营业额的月均增长率为$x$，
根据题意列方程得：
$350(1+x)^2 = 504$
整理得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
【答案】
(1) 该商店国庆节七天的总营业额为504万元；
(2) 该商店8、9月份营业额的月均增长率为20%。
【知识点】
百分数实际应用、增长率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，第一问为基础计算，难度较低；第二问是典型的增长率题型，核心是掌握连续增长的数量关系，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，侧重考察基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
11.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感.
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
答案
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意，得：
$1 + x + x(1+x) = 81$
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$（不符合实际意义，舍去）
(2)经过三轮传染后患流感的总人数为：
$81 + 81×8 = 729$（人）
答：(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人；(2)经过三轮传染后共有729个人会患流感。
根据题意，得：
$1 + x + x(1+x) = 81$
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$（不符合实际意义，舍去）
(2)经过三轮传染后患流感的总人数为：
$81 + 81×8 = 729$（人）
答：(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人；(2)经过三轮传染后共有729个人会患流感。
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：1.解决第一问时，先明确传染逻辑：初始有1个患者，每轮传染中1个患者传染x人，第一轮传染后总患者数为初始1人加新增的x人，即(1+x)人；第二轮传染时，基数是第一轮结束的(1+x)个患者，每人传染x人，所以第二轮新增x(1+x)个患者，两轮总患者数相加等于81，据此列一元二次方程求解，注意传染人数不能为负数，要舍去不符合实际的负根。2.解决第二问时，第三轮传染的基数是第二轮结束的81个患者，每人传染8人，先算出第三轮新增的患者数，再加第二轮结束的总人数即可得到三轮后的总患病人数。
【解析】
(1)设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意列方程：
$1 + x + x(1+x) = 81$
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$
因为传染人数不能为负，$x_2=-10$不符合实际意义，舍去。
(2)经过三轮传染时，第二轮结束共有81人患病，第三轮新增患病人数为$81×8$，因此三轮后总患病人数为：
$81 + 81×8 = 729$（人）
【答案】
(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人；(2)经过三轮传染后共有729个人会患流感。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题，解的合理性检验
【点评】
本题属于传播类常规应用题，解题核心是理清每轮传染的患者基数，列方程后要注意结合实际情境对解进行取舍，熟练掌握传播问题的数量关系模型，可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.75
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：1.解决第一问时，先明确传染逻辑：初始有1个患者，每轮传染中1个患者传染x人，第一轮传染后总患者数为初始1人加新增的x人，即(1+x)人；第二轮传染时，基数是第一轮结束的(1+x)个患者，每人传染x人，所以第二轮新增x(1+x)个患者，两轮总患者数相加等于81，据此列一元二次方程求解，注意传染人数不能为负数，要舍去不符合实际的负根。2.解决第二问时，第三轮传染的基数是第二轮结束的81个患者，每人传染8人，先算出第三轮新增的患者数，再加第二轮结束的总人数即可得到三轮后的总患病人数。
【解析】
(1)设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意列方程：
$1 + x + x(1+x) = 81$
整理得：$(1+x)^2 = 81$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$
因为传染人数不能为负，$x_2=-10$不符合实际意义，舍去。
(2)经过三轮传染时，第二轮结束共有81人患病，第三轮新增患病人数为$81×8$，因此三轮后总患病人数为：
$81 + 81×8 = 729$（人）
【答案】
(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人；(2)经过三轮传染后共有729个人会患流感。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题，解的合理性检验
【点评】
本题属于传播类常规应用题，解题核心是理清每轮传染的患者基数，列方程后要注意结合实际情境对解进行取舍，熟练掌握传播问题的数量关系模型，可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.75
12.某公司注重经济效益的同时也注重社会效益,决定投入部分资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,第一年投入资金800万元,第二年比第一年减少$\frac{1}{3}$,第三年比第二年减少$\frac{1}{2}$,第一年当地旅游收入估计为400万元.要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平,则旅游业收入的年平均增长率为多少?(精确到1%,参考数据:$\sqrt{13}\approx3.606$)
答案
解：设旅游业收入的年平均增长率为$x$。
计算三年内的总投入：
第二年投入：$800×(1-\frac{1}{3})=\frac{1600}{3}$（万元）
第三年投入：$\frac{1600}{3}×(1-\frac{1}{2})=\frac{800}{3}$（万元）
三年总投入：$800+\frac{1600}{3}+\frac{800}{3}=1600$（万元）
根据题意列方程：
$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1600$
方程两边同除以400，整理得：
$x^2 + 3x -1 = 0$
用求根公式解得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
因为增长率为正，舍去负根：
$x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\approx\frac{-3+3.606}{2}\approx0.303\approx30\%$
答：旅游业收入的年平均增长率约为30%。
计算三年内的总投入：
第二年投入：$800×(1-\frac{1}{3})=\frac{1600}{3}$（万元）
第三年投入：$\frac{1600}{3}×(1-\frac{1}{2})=\frac{800}{3}$（万元）
三年总投入：$800+\frac{1600}{3}+\frac{800}{3}=1600$（万元）
根据题意列方程：
$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1600$
方程两边同除以400，整理得：
$x^2 + 3x -1 = 0$
用求根公式解得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
因为增长率为正，舍去负根：
$x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\approx\frac{-3+3.606}{2}\approx0.303\approx30\%$
答：旅游业收入的年平均增长率约为30%。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确核心等量关系：三年内的总投入资金 = 三年内旅游业的总收入。第一步先计算三年的总投入：根据每年投入的减少比例，依次算出第二年、第三年的投入，求和得到总投入；第二步设年平均增长率为$x$，按照增长率的计算规则，分别表示出第二年、第三年的旅游收入，将三年收入相加得到总收入；第三步根据等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，最后按要求保留近似值即可。
【解析】
解：设旅游业收入的年平均增长率为$x$。
1. 计算三年内总投入：
第二年投入：$800×(1-\frac{1}{3})=\frac{1600}{3}$（万元）
第三年投入：$\frac{1600}{3}×(1-\frac{1}{2})=\frac{800}{3}$（万元）
三年总投入：$800+\frac{1600}{3}+\frac{800}{3}=1600$（万元）
2. 根据等量关系列方程：
三年旅游总收入为各年收入之和，可得：
$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1600$
方程两边同时除以400，整理得：
$x^2 + 3x -1 = 0$
3. 解方程：
由求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
因为增长率为正数，故舍去负根$x=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，代入$\sqrt{13}\approx3.606$计算得：
$x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\approx\frac{-3+3.606}{2}\approx0.303\approx30\%$
【答案】
旅游业收入的年平均增长率约为30%。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的方程实际应用问题，解题核心是找准等量关系，准确计算总投入、用含未知数的式子表示各年旅游收入，求解后要结合实际情境舍去不符合要求的根，最后按题目精度要求计算结果即可。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确核心等量关系：三年内的总投入资金 = 三年内旅游业的总收入。第一步先计算三年的总投入：根据每年投入的减少比例，依次算出第二年、第三年的投入，求和得到总投入；第二步设年平均增长率为$x$，按照增长率的计算规则，分别表示出第二年、第三年的旅游收入，将三年收入相加得到总收入；第三步根据等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，最后按要求保留近似值即可。
【解析】
解：设旅游业收入的年平均增长率为$x$。
1. 计算三年内总投入：
第二年投入：$800×(1-\frac{1}{3})=\frac{1600}{3}$（万元）
第三年投入：$\frac{1600}{3}×(1-\frac{1}{2})=\frac{800}{3}$（万元）
三年总投入：$800+\frac{1600}{3}+\frac{800}{3}=1600$（万元）
2. 根据等量关系列方程：
三年旅游总收入为各年收入之和，可得：
$400 + 400(1+x) + 400(1+x)^2 = 1600$
方程两边同时除以400，整理得：
$x^2 + 3x -1 = 0$
3. 解方程：
由求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
因为增长率为正数，故舍去负根$x=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，代入$\sqrt{13}\approx3.606$计算得：
$x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\approx\frac{-3+3.606}{2}\approx0.303\approx30\%$
【答案】
旅游业收入的年平均增长率约为30%。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的方程实际应用问题，解题核心是找准等量关系，准确计算总投入、用含未知数的式子表示各年旅游收入，求解后要结合实际情境舍去不符合要求的根，最后按题目精度要求计算结果即可。
【难度系数】
0.6
