如图3-34，把$\mathrm{Rt}△ ABC$沿着直角边$AC$旋转1周，得到什么样的几何体？在这个几何体中，$AC$，$BC$，$AB$分别叫什么？

图3-34

得到的几何体是圆锥，其中AC,BC,AB分别为圆锥的高、底面半径和母线。

【分析】
首先结合“面动成体”的几何规律思考：直角三角形绕一条直角边旋转一周会形成圆锥。首先明确本题的旋转轴是直角边AC，再逐一分析各边的对应角色：与旋转轴垂直的直角边BC旋转后会形成圆锥的底面圆，其长度就是底面半径；斜边AB旋转时扫出圆锥的侧面，作为侧面的边缘线段即为母线，旋转轴AC就是圆锥的高，按这个思路就能确定几何体和各边的名称。
【解析】
根据面动成体的原理，将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿直角边$AC$旋转1周，得到的几何体是圆锥。
其中$AC$是旋转的中心轴，对应圆锥的高；$BC$与旋转轴$AC$垂直，旋转后对应圆锥底面圆的半径；$AB$是旋转形成圆锥侧面的斜边，对应圆锥的母线。
【答案】
得到的几何体是圆锥，其中AC,BC,AB分别为圆锥的高、底面半径和母线。
【知识点】
面动成体，圆锥的形成，圆锥的相关概念
【点评】
本题属于基础题，考查旋转体的形成规律和圆锥的基础概念，只要掌握直角三角形绕直角边旋转得到圆锥的规律，熟记圆锥各部分对应的线段名称即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

例1 如图3-35，圆锥的底面半径是6，母线的长是13.求圆锥的侧面积. 图3-35

圆锥的侧面积$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π × 6 × 13=78π$

【分析】
解题时首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π、底面半径r、母线长l三者的乘积，即$S_{侧}=πrl$。随后从题干中提取已知条件：底面半径r=6，母线长l=13，将对应数值代入公式计算即可得出结果。
【解析】
解：已知圆锥底面半径$r=6$，母线长$l=13$。
根据圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=πrl$
代入数值计算得：$S_{\mathrm{侧}}=π×6×13=78π$
【答案】
$78π$
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题，主要考查圆锥侧面积公式的直接应用，只要牢记公式，准确对应公式中的参数值即可正确求解，是圆锥章节需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9

例2 如图3-36，一个圆锥的底面半径是10 cm，母线长是40 cm.
（1）求它的侧面展开图的圆心角和侧面积；
（2）有一只小虫从点A出发沿着圆锥侧面绕一圈爬行到母线SA的中点B，它爬行的最短路程是多少.

图3-36

如图，将圆锥沿着母线SA剪开，展放在平面上，得到扇形SAA'。
（1）设该圆锥的平面展开图的圆心角$∠ ASA'=n°$。$\because$ 圆锥底面圆的周长等于$\overset{\frown}{AA'}$的长，$\therefore \frac{nπ × 40}{180}=2π × 10$，解得$n=90$。$\therefore ∠ ASA'=90°$。$\because$ 圆锥的侧面积就是扇形SAA'的面积，$\therefore$ 圆锥的侧面积为：$π × 10 × 40=400π(\mathrm{cm}^2)$。
（2）连接AB，线段AB的长为小虫爬行的最短路程。在$\mathrm{Rt}△ ASB$中，$∠ ASB=90°$，$SA=40$，$SB=20$，$\therefore AB=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。$\therefore$ 小虫从点A爬行到点B的最短路程是$20\sqrt{5}\mathrm{cm}$。

【分析】
（1）求解圆锥侧面展开图的圆心角和侧面积时，首先明确核心等量关系：圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥侧面积等于展开扇形的面积。因此可以借助弧长公式列方程求出圆心角，再代入圆锥侧面积公式计算侧面积即可。
（2）圆锥侧面是曲面，求曲面的最短路径需用“化曲为直”的思想：将圆锥侧面沿母线SA展开为平面扇形，根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB的长度就是最短爬行路径，再结合第一问求出的圆心角，用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
将圆锥沿着母线SA剪开，展放在平面上，得到扇形SAA'。
（1）设侧面展开图的圆心角$∠ASA'=n°$，
因为圆锥底面圆的周长等于扇形弧$\overset{\frown}{AA'}$的长度，代入弧长公式得：
$\frac{nπ × 40}{180}=2π × 10$
解得$n=90$，即侧面展开图的圆心角为90°。
圆锥侧面积等于扇形SAA'的面积，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），代入数据得：
$S_{侧}=π × 10 × 40=400π(\mathrm{cm}^2)$。
（2）小虫沿圆锥侧面爬行的最短路径对应展开图中线段AB的长度（两点之间线段最短）。
由（1）知$∠ASB=90°$，已知$SA=40\mathrm{cm}$，B是母线SA的中点，故$SB=\frac{1}{2}×40=20\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ASB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
【答案】
如图，将圆锥沿着母线SA剪开，展放在平面上，得到扇形SAA'。
（1）侧面展开图的圆心角为90°，侧面积为$400π\mathrm{cm}^2$；
（2）小虫爬行的最短路程是$20\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【知识点】
圆锥侧面积计算，弧长公式应用，最短路径求解
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的相关性质，将曲面上的最短路径问题转化为平面线段长度问题是解题的核心，需要熟练掌握弧长、扇形面积公式以及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7

1. 填空题：
（1）用半径为 30 cm、圆心角为 $120°$ 的扇形纸片围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是 cm；
（2）已知圆锥的底面半径是 1，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 $120°$，该圆锥的侧面积是；
（3）如果两个扇形的圆心角相等，大扇形的半径是小扇形的半径的 3 倍，那么大扇形的面积是小扇形的面积的倍。

1.（1）10 （2）3π （3）9

【分析】
这三道题均围绕扇形弧长、面积公式，以及圆锥侧面展开图和圆锥的对应关系展开：
（1）解题核心是明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先计算扇形弧长，再结合圆周长公式即可求出底面半径；
（2）解题思路是先通过圆锥底面半径求出底面周长（即侧面展开扇形的弧长），再结合弧长公式求出扇形母线长，最后用扇形面积公式计算侧面积；
（3）根据扇形面积公式，圆心角相等时，扇形面积和半径的平方成正比，代入半径倍数关系即可得面积倍数。
【解析】
（1）扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），代入$n=120°$，$R=30\mathrm{cm}$得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π\mathrm{cm}$
设圆锥底面半径为$r$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=20π$，解得$r=10\mathrm{cm}$。
（2）圆锥底面周长即为侧面展开扇形的弧长，底面半径为1，所以弧长$l=2π×1=2π$。
设圆锥母线长（扇形半径）为$L$，代入弧长公式$l=\frac{nπ L}{180}$得：
$2π=\frac{120π L}{180}$，解得$L=3$。
圆锥侧面积等于扇形面积，代入公式$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}lL$得：$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×3=3π$。
（3）扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$，设小扇形半径为$r$，圆心角为$n$，则大扇形半径为$3r$、圆心角也为$n$。
小扇形面积$S_小=\frac{nπ r^2}{360}$，大扇形面积$S_大=\frac{nπ (3r)^2}{360}=9×\frac{nπ r^2}{360}=9S_小$，即大扇形面积是小扇形的9倍。
【答案】
（1）10；（2）$3π$；（3）9
【知识点】
扇形弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面展开对应关系
【点评】
本组题属于基础常规题型，核心考查扇形相关公式的应用以及圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练掌握公式和对应量的转换即可快速解题。
【难度系数】
0.8