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3. 已知扇形的圆心角为$150°$，弧长为$20π \mathrm{ cm}$，求扇形的半径.
答案
3. 24 cm
解析
【分析】
要求扇形的半径，首先回忆弧长的计算公式：弧长$l$与圆心角度数$n$、半径$R$的关系为$l=\frac{nπ R}{180}$。本题已知圆心角$n=150°$、弧长$l=20π\ \mathrm{cm}$，仅半径$R$为未知量，因此直接将已知条件代入弧长公式，解关于$R$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$l$为弧长），将$l=20π$，$n=150$代入公式得：
$20π = \frac{150π R}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$20 = \frac{150R}{180}$
化简后得：
$20 = \frac{5R}{6}$
解得：
$R = 20×\frac{6}{5}=24$
【答案】
24 cm
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题属于弧长公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握弧长公式，代入数值计算时注意约分，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85
要求扇形的半径，首先回忆弧长的计算公式：弧长$l$与圆心角度数$n$、半径$R$的关系为$l=\frac{nπ R}{180}$。本题已知圆心角$n=150°$、弧长$l=20π\ \mathrm{cm}$，仅半径$R$为未知量，因此直接将已知条件代入弧长公式，解关于$R$的一元一次方程即可求出半径。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$l$为弧长），将$l=20π$，$n=150$代入公式得：
$20π = \frac{150π R}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$20 = \frac{150R}{180}$
化简后得：
$20 = \frac{5R}{6}$
解得：
$R = 20×\frac{6}{5}=24$
【答案】
24 cm
【知识点】
弧长公式；解一元一次方程
【点评】
本题属于弧长公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握弧长公式，代入数值计算时注意约分，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85
4. 如图，PA，PB是半径为1的$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，$∠ APB=60°$，OP与弦AB交于点C，与$\odot O$交于点D. 求阴影部分的面积(结果保留$π$).
答案
4. $\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质分析：切线垂直于过切点的半径，结合切线长定理可得PA=PB，OP平分∠APB，先求出圆心角∠AOP的度数；再观察阴影为不规则图形，考虑用割补法转化，由OP垂直平分AB可得△AOC和△BOC全等，面积相等，因此阴影部分面积可转化为圆心角为60°的扇形的面积，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$
在Rt△OAP中，$∠ AOP=90°-∠ APO=60°$，同理可得$∠ BOP=60°$
∵OA=OB，$∠ AOC=∠ BOC$，OC=OC
∴△AOC≌△BOC（SAS），即$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$
通过割补可得，阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形OAD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的核心是利用切线相关性质得到对应圆心角的度数，再通过全等转化将不规则阴影转化为规则扇形面积，灵活运用转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质分析：切线垂直于过切点的半径，结合切线长定理可得PA=PB，OP平分∠APB，先求出圆心角∠AOP的度数；再观察阴影为不规则图形，考虑用割补法转化，由OP垂直平分AB可得△AOC和△BOC全等，面积相等，因此阴影部分面积可转化为圆心角为60°的扇形的面积，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴OA⊥PA，PA=PB，OP平分∠APB
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$
在Rt△OAP中，$∠ AOP=90°-∠ APO=60°$，同理可得$∠ BOP=60°$
∵OA=OB，$∠ AOC=∠ BOC$，OC=OC
∴△AOC≌△BOC（SAS），即$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$
通过割补可得，阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形OAD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的核心是利用切线相关性质得到对应圆心角的度数，再通过全等转化将不规则阴影转化为规则扇形面积，灵活运用转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，一把折扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AD长为5 cm,AB长为15 cm. 求折扇单面贴纸部分的面积(结果保留π).
答案
5. $\frac{200}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要求折扇单面贴纸部分的面积，首先观察图形可知贴纸部分是扇环，为大扇形ABC减去小扇形ADE的面积差。解题时先明确两个扇形的圆心角均为120°，大扇形半径AB=15cm，小扇形半径AD=5cm，再结合扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：贴纸部分的面积 = 大扇形ABC的面积 - 小扇形ADE的面积。
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。
已知圆心角$n=120°$，大半径$R=AB=15\ \mathrm{cm}$，小半径$r=AD=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{贴纸}}&=\frac{120π × 15^2}{360}-\frac{120π × 5^2}{360}\\&=\frac{1}{3}π×(225-25)\\&=\frac{200}{3}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{200}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于扇形面积的基础应用类题目，解题核心是识别出所求面积为两个同圆心角扇形的面积差，计算时可以先提取公因式简化运算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
要求折扇单面贴纸部分的面积，首先观察图形可知贴纸部分是扇环，为大扇形ABC减去小扇形ADE的面积差。解题时先明确两个扇形的圆心角均为120°，大扇形半径AB=15cm，小扇形半径AD=5cm，再结合扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：贴纸部分的面积 = 大扇形ABC的面积 - 小扇形ADE的面积。
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。
已知圆心角$n=120°$，大半径$R=AB=15\ \mathrm{cm}$，小半径$r=AD=5\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{贴纸}}&=\frac{120π × 15^2}{360}-\frac{120π × 5^2}{360}\\&=\frac{1}{3}π×(225-25)\\&=\frac{200}{3}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{200}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于扇形面积的基础应用类题目，解题核心是识别出所求面积为两个同圆心角扇形的面积差，计算时可以先提取公因式简化运算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
6. 图①是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图标注)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形. 图②是车棚顶部横截面的示意图，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O. 车棚顶部是用帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π). 
答案
6. $160π\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要计算覆盖棚顶的帆布面积，已知棚顶展开为矩形，矩形的一边长为车棚长度60m，另一边长为横截面弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，因此只需先求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长即可。求解弧长需要先确定弧所在圆的半径和对应圆心角：先通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求出半径，再利用三角函数求出圆心角，最后代入弧长公式计算弧长，进而求出帆布面积。
【解析】
连接$OA$、$OB$，过$O$作$OD⊥ AB$于$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于$E$。
1. 由垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$ED=2\ \mathrm{m}$为拱高。
2. 设$\odot O$半径为$R\ \mathrm{m}$，则$OD=OE-ED=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理：
$OA^2=OD^2+AD^2$，即$R^2=(R-2)^2+(2\sqrt{3})^2$
展开得：$R^2=R^2-4R+4+12$
解得：$R=4\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$\cos∠ AOD=\frac{OD}{OA}=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$，故$∠ AOD=60°$，因此$∠ AOB=2∠ AOD=120°$。
4. 由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×4}{180}=\frac{8π}{3}\ \mathrm{m}$。
5. 帆布面积为弧长乘车棚长度：$S=\frac{8π}{3}×60=160π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$160π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
垂径定理，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题将实际生活中的车棚问题转化为圆的几何计算问题，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形求解半径和圆心角，再结合弧长公式完成计算，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要计算覆盖棚顶的帆布面积，已知棚顶展开为矩形，矩形的一边长为车棚长度60m，另一边长为横截面弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，因此只需先求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长即可。求解弧长需要先确定弧所在圆的半径和对应圆心角：先通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求出半径，再利用三角函数求出圆心角，最后代入弧长公式计算弧长，进而求出帆布面积。
【解析】
连接$OA$、$OB$，过$O$作$OD⊥ AB$于$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于$E$。
1. 由垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$ED=2\ \mathrm{m}$为拱高。
2. 设$\odot O$半径为$R\ \mathrm{m}$，则$OD=OE-ED=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理：
$OA^2=OD^2+AD^2$，即$R^2=(R-2)^2+(2\sqrt{3})^2$
展开得：$R^2=R^2-4R+4+12$
解得：$R=4\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$\cos∠ AOD=\frac{OD}{OA}=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$，故$∠ AOD=60°$，因此$∠ AOB=2∠ AOD=120°$。
4. 由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×4}{180}=\frac{8π}{3}\ \mathrm{m}$。
5. 帆布面积为弧长乘车棚长度：$S=\frac{8π}{3}×60=160π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$160π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
垂径定理，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题将实际生活中的车棚问题转化为圆的几何计算问题，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形求解半径和圆心角，再结合弧长公式完成计算，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
