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1.一张长为20 cm、宽为10 cm的矩形卡纸，四个角上分别剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为$y\ \mathrm{cm}^2$的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数解析式为(
A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
C
).A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确折叠后无盖长方体盒子底面的长和宽与原矩形边长、剪去的小正方形边长的关系，再结合矩形面积公式写出底面积的表达式，最后根据实际意义确定自变量x的取值范围即可。首先，原矩形长20cm、宽10cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，折起来的盒子底面的长需要减去左右两个小正方形的边长，宽需要减去上下两个小正方形的边长；再根据底面积=长×宽写出y的表达式；最后x是边长要大于0，且底面的宽必须为正，就能求出x的取值范围。
【解析】
步骤1：求折叠后长方体底面的长和宽
原矩形卡纸的长为20cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折成的无盖盒子底面的长为：$20 - 2x$（cm）
原矩形卡纸的宽为10cm，同理，盒子底面的宽为：$10 - 2x$（cm）
步骤2：根据矩形面积公式列函数解析式
长方体底面积=底面长×底面宽，因此：
$y = (20 - 2x)(10 - 2x)$
步骤3：确定自变量x的取值范围
① 小正方形边长x必须大于0，即$x ＞ 0$；
② 底面的宽必须为正数，否则无法构成盒子，即$10 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
因此x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 5$。
综上，y与x的函数解析式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实际问题列二次函数，自变量取值范围确定，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确梳理出折叠后几何图形的边长与原图形边长的关系，同时要注意结合实际问题的意义，保证所求的边长等几何量具有实际意义，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确折叠后无盖长方体盒子底面的长和宽与原矩形边长、剪去的小正方形边长的关系，再结合矩形面积公式写出底面积的表达式，最后根据实际意义确定自变量x的取值范围即可。首先，原矩形长20cm、宽10cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，折起来的盒子底面的长需要减去左右两个小正方形的边长，宽需要减去上下两个小正方形的边长；再根据底面积=长×宽写出y的表达式；最后x是边长要大于0，且底面的宽必须为正，就能求出x的取值范围。
【解析】
步骤1：求折叠后长方体底面的长和宽
原矩形卡纸的长为20cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，折成的无盖盒子底面的长为：$20 - 2x$（cm）
原矩形卡纸的宽为10cm，同理，盒子底面的宽为：$10 - 2x$（cm）
步骤2：根据矩形面积公式列函数解析式
长方体底面积=底面长×底面宽，因此：
$y = (20 - 2x)(10 - 2x)$
步骤3：确定自变量x的取值范围
① 小正方形边长x必须大于0，即$x ＞ 0$；
② 底面的宽必须为正数，否则无法构成盒子，即$10 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
因此x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 5$。
综上，y与x的函数解析式为$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实际问题列二次函数，自变量取值范围确定，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确梳理出折叠后几何图形的边长与原图形边长的关系，同时要注意结合实际问题的意义，保证所求的边长等几何量具有实际意义，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
2.用 12 m 长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,设垂直于墙面的边长为 x m,矩形的面积为 y m²,根据题意,可列式为(
A.$y=12-2x$
B.$y=(12-x)x$
C.$y=(12-2x)x$
D.$y=(6-x)x$
C
).A.$y=12-2x$
B.$y=(12-x)x$
C.$y=(12-2x)x$
D.$y=(6-x)x$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先明确围栏的围法：因为一边靠墙，所以12m围栏仅围成矩形的2条垂直于墙面的边和1条平行于墙面的边。首先根据垂直于墙面的边长为x m，算出2条垂直边的总长度，再求出平行于墙面的边长，最后结合矩形面积公式即可列出面积y的表达式，对应选项得出答案。
【解析】
已知垂直于墙面的边长为x m，则2条垂直于墙面的边总长度为2x m。
围栏总长为12m，因此平行于墙面的边长为：$12 - 2x$ m。
根据矩形面积=长×宽，可得面积$y = x × (12 - 2x) = (12 - 2x)x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是列函数关系式的基础题，易错点是忽略靠墙一侧不需要围栏，误将平行于墙面的边长算为$12-x$。解题时先厘清各边长和总围栏长度的关系，再结合面积公式列式即可。
【难度系数】
0.8
解题时先明确围栏的围法：因为一边靠墙，所以12m围栏仅围成矩形的2条垂直于墙面的边和1条平行于墙面的边。首先根据垂直于墙面的边长为x m，算出2条垂直边的总长度，再求出平行于墙面的边长，最后结合矩形面积公式即可列出面积y的表达式，对应选项得出答案。
【解析】
已知垂直于墙面的边长为x m，则2条垂直于墙面的边总长度为2x m。
围栏总长为12m，因此平行于墙面的边长为：$12 - 2x$ m。
根据矩形面积=长×宽，可得面积$y = x × (12 - 2x) = (12 - 2x)x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是列函数关系式的基础题，易错点是忽略靠墙一侧不需要围栏，误将平行于墙面的边长算为$12-x$。解题时先厘清各边长和总围栏长度的关系，再结合面积公式列式即可。
【难度系数】
0.8
3.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长18 m),墙对面有一个2 m宽的门,另外三边用木栏围成,木栏长30 m.若养鸡场垂直于墙的边长为x m,养鸡场的面积为S m²,则S与x之间的函数解析式为
S=x(32−2x)
.答案
3.$S=x(32-2x)$
解析
【分析】
要推导S与x的函数解析式，首先需明确养鸡场各边和木栏总长的关系：第一步先表示出平行于墙的边长，已知垂直于墙的边长为x m，两条垂直边的木栏总长度为2x m；由于墙对面的2m门不需要围木栏，因此平行于墙的实际边长等于木栏总长减去两条垂直边的长度，再加上门的宽度。第二步结合长方形面积公式，将两个边长代入即可得到面积表达式。
【解析】
解：已知养鸡场垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
两条垂直于墙的木栏总长度为$ 2x \, \mathrm{m} $，
因为平行于墙的一侧有2m宽的门无需围木栏，因此平行于墙的边长为：
$ 30 - 2x + 2 = (32 - 2x) \, \mathrm{m} $
根据长方形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入边长得：
$ S = x(32 - 2x) $
【答案】
$ S=x(32-2x) $
【知识点】
列二次函数解析式，长方形面积计算，实际问题列代数式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类题目，解题核心是正确理解门的宽度对平行边长的影响，易错点是忽略门宽，错误计算平行于墙的边长。
【难度系数】
0.7
要推导S与x的函数解析式，首先需明确养鸡场各边和木栏总长的关系：第一步先表示出平行于墙的边长，已知垂直于墙的边长为x m，两条垂直边的木栏总长度为2x m；由于墙对面的2m门不需要围木栏，因此平行于墙的实际边长等于木栏总长减去两条垂直边的长度，再加上门的宽度。第二步结合长方形面积公式，将两个边长代入即可得到面积表达式。
【解析】
解：已知养鸡场垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
两条垂直于墙的木栏总长度为$ 2x \, \mathrm{m} $，
因为平行于墙的一侧有2m宽的门无需围木栏，因此平行于墙的边长为：
$ 30 - 2x + 2 = (32 - 2x) \, \mathrm{m} $
根据长方形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入边长得：
$ S = x(32 - 2x) $
【答案】
$ S=x(32-2x) $
【知识点】
列二次函数解析式，长方形面积计算，实际问题列代数式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类题目，解题核心是正确理解门的宽度对平行边长的影响，易错点是忽略门宽，错误计算平行于墙的边长。
【难度系数】
0.7
4.某农户用一段长 20 m 的旧围墙和总长 40 m 的篱笆围一个矩形菜园(一边为旧围墙，另外三边为篱笆).设矩形菜园垂直于旧围墙的一边长为 x m，矩形菜园的面积为 y m²，求 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围.
答案
根据题意,可知矩形平行于旧围墙的一边长为$(40-2x)$ m,则$y=(40-2x)x$,
由条件可知$10≤ x＜20,\therefore y=-2x^2+40x(10≤ x＜20).$
由条件可知$10≤ x＜20,\therefore y=-2x^2+40x(10≤ x＜20).$
解析
【分析】
解题时首先明确矩形的边长关系：已知垂直于旧围墙的边长为x m，篱笆仅需围除旧墙外的三边，因此先表示出平行于旧围墙的边长；再根据矩形面积=长×宽列出面积的函数表达式；最后结合实际意义确定自变量x的取值范围：一是平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的总长度20 m，二是矩形的各边长必须为正数，通过解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵矩形菜园垂直于旧围墙的一边长为x m，
∴平行于旧围墙的一边所用篱笆长度为$(40 - 2x)$ m，即平行于旧围墙的边长为$(40 - 2x)$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$
接下来确定x的取值范围：
① 平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度，即：
$40 - 2x ≤ 20$
解得$x ≥ 10$
② 矩形的边长必须为正数，即平行于旧围墙的边长大于0：
$40 - 2x ＞ 0$
解得$x ＜ 20$
综上可得x的取值范围为$10 ≤ x ＜ 20$。
【答案】
$y=-2x^2+40x(10≤x＜20)$
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见基础题型，核心是结合几何图形的边长关系列出函数表达式，易错点是容易忽略旧围墙的长度限制，仅根据边长为正确定自变量范围，解题时要注意结合实际场景全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确矩形的边长关系：已知垂直于旧围墙的边长为x m，篱笆仅需围除旧墙外的三边，因此先表示出平行于旧围墙的边长；再根据矩形面积=长×宽列出面积的函数表达式；最后结合实际意义确定自变量x的取值范围：一是平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的总长度20 m，二是矩形的各边长必须为正数，通过解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵矩形菜园垂直于旧围墙的一边长为x m，
∴平行于旧围墙的一边所用篱笆长度为$(40 - 2x)$ m，即平行于旧围墙的边长为$(40 - 2x)$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$
接下来确定x的取值范围：
① 平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度，即：
$40 - 2x ≤ 20$
解得$x ≥ 10$
② 矩形的边长必须为正数，即平行于旧围墙的边长大于0：
$40 - 2x ＞ 0$
解得$x ＜ 20$
综上可得x的取值范围为$10 ≤ x ＜ 20$。
【答案】
$y=-2x^2+40x(10≤x＜20)$
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见基础题型，核心是结合几何图形的边长关系列出函数表达式，易错点是容易忽略旧围墙的长度限制，仅根据边长为正确定自变量范围，解题时要注意结合实际场景全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.7
5.用12 m长的木条围成一个“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积(木条宽度和损耗忽略不计)为(
A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
A
)。A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
答案
5.A
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先结合“日”字形窗框的结构，明确木条总长度对应3条横向边加2条竖向边的长度和；其次合理设未知数，将矩形面积表示为关于未知数的二次函数；最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，结合自变量的实际取值范围计算最大面积。
【解析】
设窗框的横向边长为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ “日”字形窗框共包含3条横向边、2条竖向边，总木条长为12 m，
∴ 每条竖向边的长度为$ \frac{12 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $（需满足$ x＞0 $且$ 12-3x＞0 $，即$ 0＜x＜4 $）。
窗户的透光面积为矩形面积，即：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{12 - 3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 + 6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，图像开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{3}{2} $、$ b=6 $得：
$ x=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2 $，符合$ 0＜x＜4 $的取值范围。
将$ x=2 $代入面积公式得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值；列二次函数解析式；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确结合图形的边长数量关系列出面积的函数表达式，计算最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现边长为负的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先结合“日”字形窗框的结构，明确木条总长度对应3条横向边加2条竖向边的长度和；其次合理设未知数，将矩形面积表示为关于未知数的二次函数；最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，结合自变量的实际取值范围计算最大面积。
【解析】
设窗框的横向边长为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ “日”字形窗框共包含3条横向边、2条竖向边，总木条长为12 m，
∴ 每条竖向边的长度为$ \frac{12 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $（需满足$ x＞0 $且$ 12-3x＞0 $，即$ 0＜x＜4 $）。
窗户的透光面积为矩形面积，即：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{12 - 3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 + 6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，图像开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{3}{2} $、$ b=6 $得：
$ x=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2 $，符合$ 0＜x＜4 $的取值范围。
将$ x=2 $代入面积公式得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值；列二次函数解析式；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确结合图形的边长数量关系列出面积的函数表达式，计算最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现边长为负的错误。
【难度系数】
0.7
