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1. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为M，下列结论不成立的是（）
A.$CM=DM$
B.$OM=MB$
C.$∠ ACD=∠ ADC$
D.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
A.$CM=DM$
B.$OM=MB$
C.$∠ ACD=∠ ADC$
D.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
答案
B
解析
【分析】
本题可结合已知条件，根据垂径定理、圆的基本性质及等腰三角形性质逐一分析选项：首先由AB是直径且垂直于弦CD，利用垂径定理可直接判断弦、弧相关的结论；再由等弧对等弦得到AC=AD，进而判断角的关系；最后注意OM和MB的等量关系没有已知条件支撑，无法推出。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，且$CD⊥AB$，垂足为M，
∴根据垂径定理可得：$CM=DM$，$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，因此A、D选项的结论成立；
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形，
∴$∠ ACD=∠ ADC$，因此C选项的结论成立；
题目未给出M是OB中点的相关条件，无法推导得到$OM=MB$，故B选项的结论不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，结合圆中弧、弦、角的对应关系推导结论，注意不能仅凭图形直观臆断线段的等量关系，要严格依托已知条件分析。
【难度系数】
0.85
本题可结合已知条件，根据垂径定理、圆的基本性质及等腰三角形性质逐一分析选项：首先由AB是直径且垂直于弦CD，利用垂径定理可直接判断弦、弧相关的结论；再由等弧对等弦得到AC=AD，进而判断角的关系；最后注意OM和MB的等量关系没有已知条件支撑，无法推出。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，且$CD⊥AB$，垂足为M，
∴根据垂径定理可得：$CM=DM$，$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，因此A、D选项的结论成立；
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形，
∴$∠ ACD=∠ ADC$，因此C选项的结论成立；
题目未给出M是OB中点的相关条件，无法推导得到$OM=MB$，故B选项的结论不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，结合圆中弧、弦、角的对应关系推导结论，注意不能仅凭图形直观臆断线段的等量关系，要严格依托已知条件分析。
【难度系数】
0.85
2.如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D.若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长是（）
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
遇到圆中半径垂直于弦的问题，首先想到运用垂径定理，利用垂径定理可以得到弦被半径平分，从而求出弦长的一半；再将所求线段OD放在直角三角形OAD中，结合已知的半径长度，用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：
∵半径$OC⊥AB$于点D，$AB=8$，
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$OC$是$\odot O$的半径，$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+AD^2=OA^2$，
∴$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，结合垂径定理和勾股定理进行考查，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，构造直角三角形完成求解。
【难度系数】
0.8
遇到圆中半径垂直于弦的问题，首先想到运用垂径定理，利用垂径定理可以得到弦被半径平分，从而求出弦长的一半；再将所求线段OD放在直角三角形OAD中，结合已知的半径长度，用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：
∵半径$OC⊥AB$于点D，$AB=8$，
根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$OC$是$\odot O$的半径，$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+AD^2=OA^2$，
∴$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，结合垂径定理和勾股定理进行考查，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，构造直角三角形完成求解。
【难度系数】
0.8
3.一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若$\odot O$的直径为52 cm，水面宽$AB=48$ cm，则水的最大深度为（）
A.22 cm
B.21 cm
C.16 cm
D.10 cm
A.22 cm
B.21 cm
C.16 cm
D.10 cm
答案
C
解析
【分析】
解决本题可结合垂径定理与勾股定理求解，思路如下：1. 首先根据圆的直径求出半径长度；2. 过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB一半的长度；3. 连接圆心与A点，构造直角三角形，用勾股定理算出圆心到AB的垂直距离；4. 水的最大深度为半径减去圆心到AB的距离，即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的直径为52cm，因此⊙O的半径$OA = 52÷2 = 26\mathrm{cm}$。
过圆心$O$作$OC⊥ AB$，垂足为$C$，根据垂径定理，$C$是$AB$的中点，因此$AC = AB÷2 = 48÷2 = 24\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{676 - 576}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
水的最大深度为弦$AB$到圆最低点的距离，即半径减去$OC$的长度：$26 - 10 = 16\mathrm{cm}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形三边的关系求解，需注意所求深度对应的是哪条线段的长度。
【难度系数】
0.7
解决本题可结合垂径定理与勾股定理求解，思路如下：1. 首先根据圆的直径求出半径长度；2. 过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB一半的长度；3. 连接圆心与A点，构造直角三角形，用勾股定理算出圆心到AB的垂直距离；4. 水的最大深度为半径减去圆心到AB的距离，即可得到结果。
【解析】
已知⊙O的直径为52cm，因此⊙O的半径$OA = 52÷2 = 26\mathrm{cm}$。
过圆心$O$作$OC⊥ AB$，垂足为$C$，根据垂径定理，$C$是$AB$的中点，因此$AC = AB÷2 = 48÷2 = 24\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{676 - 576}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
水的最大深度为弦$AB$到圆最低点的距离，即半径减去$OC$的长度：$26 - 10 = 16\mathrm{cm}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形三边的关系求解，需注意所求深度对应的是哪条线段的长度。
【难度系数】
0.7
4.如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于点$E$，$ED=4$，$AB=16$，则$OE$的长是（）
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
A
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的题型，首先回忆垂径定理，可得垂直于弦的直径平分弦，先求出弦长的一半；再连接圆心与弦的端点构造直角三角形，设圆的半径为未知数，将直角三角形三边用含未知数的式子表示，结合勾股定理列方程求出半径，最后计算OE的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=16$，
由垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，
∵$ED=4$，
∴$OE=OD-ED=r-4$。
在$Rt△ OAE$中，根据勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-8r+16+64$，
解得：$r=10$，
∴$OE=r-4=10-4=6$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的题型，首先回忆垂径定理，可得垂直于弦的直径平分弦，先求出弦长的一半；再连接圆心与弦的端点构造直角三角形，设圆的半径为未知数，将直角三角形三边用含未知数的式子表示，结合勾股定理列方程求出半径，最后计算OE的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=16$，
由垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，
∵$ED=4$，
∴$OE=OD-ED=r-4$。
在$Rt△ OAE$中，根据勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-8r+16+64$，
解得：$r=10$，
∴$OE=r-4=10-4=6$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法正确的是 （）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线必过圆心
C.垂直于弦的直径平分弦
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线必过圆心
C.垂直于弦的直径平分弦
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
答案
C
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需逐一核对每个选项与定理内容的匹配度，尤其要注意定理中容易忽略的限制条件：涉及“平分弦”的推论时，被平分的弦不能是直径，同时要区分直线和直径的差异，避免概念混淆。首先回忆垂径定理核心内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；再回忆其推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
结合垂径定理及推论逐一分析选项：
选项A：平分弦的直径垂直于弦。若被平分的弦本身是直径，两条互相平分的直径不一定垂直，该说法缺少“弦不是直径”的前提，因此A错误。
选项B：垂直于弦的直线必过圆心。任意一条直线都可以垂直于给定的弦，无需经过圆心，只有同时垂直且平分弦的直线才经过圆心，因此B错误。
选项C：垂直于弦的直径平分弦。这是垂径定理的核心内容之一，符合定理要求，因此C正确。
选项D：平分弦的直径平分弦所对的弧。和选项A同理，若被平分的弦是直径，直径平分另一条直径，但不一定平分其对应的弧，缺少“弦不是直径”的前提，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略“平分弦的相关推论中，被平分的弦不能为直径”这一限制条件，从而误选A或D，学习时要准确记忆定理的完整内容，不要遗漏前提。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的辨析，解题时需逐一核对每个选项与定理内容的匹配度，尤其要注意定理中容易忽略的限制条件：涉及“平分弦”的推论时，被平分的弦不能是直径，同时要区分直线和直径的差异，避免概念混淆。首先回忆垂径定理核心内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；再回忆其推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
结合垂径定理及推论逐一分析选项：
选项A：平分弦的直径垂直于弦。若被平分的弦本身是直径，两条互相平分的直径不一定垂直，该说法缺少“弦不是直径”的前提，因此A错误。
选项B：垂直于弦的直线必过圆心。任意一条直线都可以垂直于给定的弦，无需经过圆心，只有同时垂直且平分弦的直线才经过圆心，因此B错误。
选项C：垂直于弦的直径平分弦。这是垂径定理的核心内容之一，符合定理要求，因此C正确。
选项D：平分弦的直径平分弦所对的弧。和选项A同理，若被平分的弦是直径，直径平分另一条直径，但不一定平分其对应的弧，缺少“弦不是直径”的前提，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略“平分弦的相关推论中，被平分的弦不能为直径”这一限制条件，从而误选A或D，学习时要准确记忆定理的完整内容，不要遗漏前提。
【难度系数】
0.7
6.如图，A,B,C在$\odot O$上，AC,OB交于点D.若$AD=CD=8$，$OD=6$，则$\odot O$半径的长为（）
A.$2\sqrt{13}$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
A.$2\sqrt{13}$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
D
解析
【分析】
首先观察已知条件，AD=CD说明点D是弦AC的中点，OB是过圆心的线段，结合垂径定理的推论可推出OB与AC互相垂直，得到直角三角形ODA；接下来在直角三角形中利用勾股定理即可计算出圆的半径长度。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
又
∵AD=CD=8，
∴△OAC是等腰三角形，OD是底边AC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OD⊥AC，即∠ODA=90°。
在Rt△ODA中，AD=8，OD=6，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
即⊙O的半径长为10。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆相关计算的基础题，解题核心是通过弦中点的条件推导得到垂直关系，将问题转化为直角三角形边长计算即可求解。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，AD=CD说明点D是弦AC的中点，OB是过圆心的线段，结合垂径定理的推论可推出OB与AC互相垂直，得到直角三角形ODA；接下来在直角三角形中利用勾股定理即可计算出圆的半径长度。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
又
∵AD=CD=8，
∴△OAC是等腰三角形，OD是底边AC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OD⊥AC，即∠ODA=90°。
在Rt△ODA中，AD=8，OD=6，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
即⊙O的半径长为10。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆相关计算的基础题，解题核心是通过弦中点的条件推导得到垂直关系，将问题转化为直角三角形边长计算即可求解。
【难度系数】
0.8
