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1.墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是()
A.圆
B.正方形
C.菱形
D.三角形
A.圆
B.正方形
C.菱形
D.三角形
答案
A
解析
【分析】
首先拆解题干中“一中同长”的含义，“一中”指图形有且只有一个中心点，“同长”指该中心点到图形上任意一点的距离都相等。接下来只需逐一验证四个选项的几何图形是否同时满足这两个特征，即可选出正确答案。
【解析】
先明确“一中同长”的内涵：“一中”即1个中心点，“同长”即该中心点到图形上所有点的距离均相等。
逐个分析选项：
A. 圆：根据圆的定义，同一平面内到定点（圆心，即“一中”）的距离等于定长（半径，所有半径长度相等，即“同长”）的点的集合就是圆，完全符合描述。
B. 正方形：正方形的中心到四个顶点的距离，和中心到四条边的距离不相等，不满足“同长”，排除。
C. 菱形：菱形的中心到相邻两个顶点的距离不一定相等，不满足“同长”，排除。
D. 三角形：普通三角形不存在到所有点距离都相等的中心，即便是等边三角形，中心到顶点和到边的距离也不相等，不符合描述，排除。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的定义
2.平面图形的特征
【点评】
本题结合古代数学记载考查基础几何概念，侧重对基础定义的理解和区分，掌握常见平面图形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先拆解题干中“一中同长”的含义，“一中”指图形有且只有一个中心点，“同长”指该中心点到图形上任意一点的距离都相等。接下来只需逐一验证四个选项的几何图形是否同时满足这两个特征，即可选出正确答案。
【解析】
先明确“一中同长”的内涵：“一中”即1个中心点，“同长”即该中心点到图形上所有点的距离均相等。
逐个分析选项：
A. 圆：根据圆的定义，同一平面内到定点（圆心，即“一中”）的距离等于定长（半径，所有半径长度相等，即“同长”）的点的集合就是圆，完全符合描述。
B. 正方形：正方形的中心到四个顶点的距离，和中心到四条边的距离不相等，不满足“同长”，排除。
C. 菱形：菱形的中心到相邻两个顶点的距离不一定相等，不满足“同长”，排除。
D. 三角形：普通三角形不存在到所有点距离都相等的中心，即便是等边三角形，中心到顶点和到边的距离也不相等，不符合描述，排除。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的定义
2.平面图形的特征
【点评】
本题结合古代数学记载考查基础几何概念，侧重对基础定义的理解和区分，掌握常见平面图形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.有下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中正确的说法有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基本概念辨析，解题思路是先明确弦、直径、弧、等弧的定义，再逐一验证每个说法是否符合定义即可得出正确结论。首先回忆各概念：弦是连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦；弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类；等弧是能够完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧。
【解析】
我们逐个分析5种说法：
1. 说法①：直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，符合弦的定义，是最长的弦，因此①正确；
2. 说法②：弦只要求是连接圆上任意两点的线段，不一定经过圆心，只有过圆心的弦才是直径，因此②错误；
3. 说法③：半径相等的两个圆是等圆，等圆中的两个半圆能够完全重合，符合等弧的定义，因此③正确；
4. 说法④：等弧的判定要求两条弧能够完全重合，不仅需要长度相等，还需要弧度相等，若在半径不同的圆中，长度相等的弧无法重合，不是等弧，因此④错误；
5. 说法⑤：半圆是直径两个端点间的弧，属于弧的一种；而弧还包括小于半圆的劣弧和大于半圆的优弧，因此弧不一定是半圆，⑤正确。
综上，正确的说法是①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 弦与直径的概念
2. 等弧的概念
3. 弧的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握圆相关概念的本质，易错点是误将长度相等的弧判定为等弧，忽略等弧需要完全重合的前提要求。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基本概念辨析，解题思路是先明确弦、直径、弧、等弧的定义，再逐一验证每个说法是否符合定义即可得出正确结论。首先回忆各概念：弦是连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦；弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类；等弧是能够完全重合的弧，仅长度相等不能判定为等弧。
【解析】
我们逐个分析5种说法：
1. 说法①：直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，符合弦的定义，是最长的弦，因此①正确；
2. 说法②：弦只要求是连接圆上任意两点的线段，不一定经过圆心，只有过圆心的弦才是直径，因此②错误；
3. 说法③：半径相等的两个圆是等圆，等圆中的两个半圆能够完全重合，符合等弧的定义，因此③正确；
4. 说法④：等弧的判定要求两条弧能够完全重合，不仅需要长度相等，还需要弧度相等，若在半径不同的圆中，长度相等的弧无法重合，不是等弧，因此④错误；
5. 说法⑤：半圆是直径两个端点间的弧，属于弧的一种；而弧还包括小于半圆的劣弧和大于半圆的优弧，因此弧不一定是半圆，⑤正确。
综上，正确的说法是①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 弦与直径的概念
2. 等弧的概念
3. 弧的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握圆相关概念的本质，易错点是误将长度相等的弧判定为等弧，忽略等弧需要完全重合的前提要求。
【难度系数】
0.7
3.已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能是 （）
A.2
B.4
C.8
D.10
A.2
B.4
C.8
D.10
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确圆中弦的核心性质：直径是圆内最长的弦。我们可以先根据已知的半径算出直径长度，确定圆内所有弦的长度取值范围，再对比选项找出超出范围的数值即可。
【解析】
解：已知圆的半径$r=4$，
则圆的直径$d=2r=2×4=8$。
因为直径是圆中最长的弦，所以圆内任意弦的长度$l$满足$0＜l≤8$。
逐一分析选项：
A. 2在$0＜l≤8$范围内，可能是弦长；
B. 4在$0＜l≤8$范围内，可能是弦长；
C. 8是直径长度，属于最长的弦，可能是弦长；
D. 10＞8，超出弦长的最大取值，不可能是该圆的弦长。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.弦的概念
2.直径的性质
3.圆的有关概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内弦长的取值范围，解题的关键是牢记直径是圆内最长的弦，掌握该性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确圆中弦的核心性质：直径是圆内最长的弦。我们可以先根据已知的半径算出直径长度，确定圆内所有弦的长度取值范围，再对比选项找出超出范围的数值即可。
【解析】
解：已知圆的半径$r=4$，
则圆的直径$d=2r=2×4=8$。
因为直径是圆中最长的弦，所以圆内任意弦的长度$l$满足$0＜l≤8$。
逐一分析选项：
A. 2在$0＜l≤8$范围内，可能是弦长；
B. 4在$0＜l≤8$范围内，可能是弦长；
C. 8是直径长度，属于最长的弦，可能是弦长；
D. 10＞8，超出弦长的最大取值，不可能是该圆的弦长。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.弦的概念
2.直径的性质
3.圆的有关概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内弦长的取值范围，解题的关键是牢记直径是圆内最长的弦，掌握该性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.9
4. 下列条件中，能确定唯一圆的是 （）
A.以点O为圆心的圆
B.以点O为圆心，1 cm为半径的圆
C.半径为1 cm的圆
D.经过已知点A，且半径为1 cm的圆
A.以点O为圆心的圆
B.以点O为圆心，1 cm为半径的圆
C.半径为1 cm的圆
D.经过已知点A，且半径为1 cm的圆
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个条件能确定唯一圆，首先要明确确定圆的两个核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，只有同时确定圆心和半径，才能得到唯一的圆，我们可以依据这个标准逐一分析各选项。
【解析】
确定唯一圆需要同时明确圆心（位置）和半径（大小），二者缺一不可：
A. 仅给出圆心O，未指定半径大小，可画出无数个大小不同的同心圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
B. 同时给出圆心O和半径1cm，圆的位置和大小均已确定，能得到唯一的圆，符合要求；
C. 仅给出半径1cm，未指定圆心位置，可画出无数个位置不同、半径均为1cm的圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
D. 经过点A且半径为1cm的圆，其圆心为所有到点A距离为1cm的点（即圆心在以A为圆心、1cm为半径的圆上），共有无数个圆心，对应无数个圆，无法确定唯一圆，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆的基本要素
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对确定圆的条件的掌握，牢记圆心和半径是确定圆的两个缺一不可的要素即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件能确定唯一圆，首先要明确确定圆的两个核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，只有同时确定圆心和半径，才能得到唯一的圆，我们可以依据这个标准逐一分析各选项。
【解析】
确定唯一圆需要同时明确圆心（位置）和半径（大小），二者缺一不可：
A. 仅给出圆心O，未指定半径大小，可画出无数个大小不同的同心圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
B. 同时给出圆心O和半径1cm，圆的位置和大小均已确定，能得到唯一的圆，符合要求；
C. 仅给出半径1cm，未指定圆心位置，可画出无数个位置不同、半径均为1cm的圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
D. 经过点A且半径为1cm的圆，其圆心为所有到点A距离为1cm的点（即圆心在以A为圆心、1cm为半径的圆上），共有无数个圆心，对应无数个圆，无法确定唯一圆，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆的基本要素
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对确定圆的条件的掌握，牢记圆心和半径是确定圆的两个缺一不可的要素即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，OA是$\odot O$的半径，B为$\odot O$内一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD.若$BD=10$，$BC=8$，则AB的长为 ()
A.8
B.6
C.4
D.1
A.8
B.6
C.4
D.1
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用矩形对角线相等的性质，得到BD与圆的半径OC相等，从而求出圆的半径长度，也就是OA的长度；再由BC垂直OA可知△OBC是直角三角形，结合已知的BC长度和已求出的OC长度，用勾股定理计算出OB的长度；最后用OA减去OB即可得到AB的长度。
【解析】
∵四边形OBCD是矩形，矩形的对角线相等
∴OC=BD
∵BD=10，
∴OC=10
∵OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC=10
∵BC⊥OA，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$为直角三角形
在$Rt△ OBC$中，BC=8，OC=10，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴$AB=OA-OB=10-6=4$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用矩形对角线相等的性质建立已知线段BD与圆半径的关联，再结合勾股定理求解线段长度，解题思路清晰，没有复杂的转化过程。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用矩形对角线相等的性质，得到BD与圆的半径OC相等，从而求出圆的半径长度，也就是OA的长度；再由BC垂直OA可知△OBC是直角三角形，结合已知的BC长度和已求出的OC长度，用勾股定理计算出OB的长度；最后用OA减去OB即可得到AB的长度。
【解析】
∵四边形OBCD是矩形，矩形的对角线相等
∴OC=BD
∵BD=10，
∴OC=10
∵OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC=10
∵BC⊥OA，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$为直角三角形
在$Rt△ OBC$中，BC=8，OC=10，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴$AB=OA-OB=10-6=4$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是利用矩形对角线相等的性质建立已知线段BD与圆半径的关联，再结合勾股定理求解线段长度，解题思路清晰，没有复杂的转化过程。
【难度系数】
0.7
6. 如图，以$△ ABC$的边$BC$为直径的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，连接$OD$，$OE$，若$∠ A＝65°$，则$∠ DOE＝$。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，再结合圆的半径相等得到△OBD、△OEC均为等腰三角形，用等腰三角形内角和表示出∠BOD和∠COE的和，最后根据平角的定义求出∠DOE的度数。思考时要注意挖掘隐含条件：圆的所有半径长度相等，BC为直径则B、O、C三点共线，对应角为平角。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=65°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵ OB、OD、OE、OC都是$\odot O$的半径
∴ $OB=OD$，$OE=OC$
∴ △OBD和△OEC均为等腰三角形，即$∠ ODB=∠ ABC$，$∠ OEC=∠ ACB$
由等腰三角形内角和性质：
$∠ BOD = 180° - 2∠ ABC$
$∠ COE = 180° - 2∠ ACB$
∴ $∠ BOD + ∠ COE = (180° - 2∠ ABC) + (180° - 2∠ ACB) = 360° - 2(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC + ∠ ACB=115°$，得：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2×115° = 130°$
∵ BC为$\odot O$的直径，B、O、C三点共线，$∠ BOC$为平角等于$180°$
∴ $∠ DOE = 180° - (∠ BOD + ∠ COE) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的突破口是结合圆的半径相等得到等腰三角形，将已知角和待求角通过三角形内角和、平角的性质建立关联，掌握基础几何性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，再结合圆的半径相等得到△OBD、△OEC均为等腰三角形，用等腰三角形内角和表示出∠BOD和∠COE的和，最后根据平角的定义求出∠DOE的度数。思考时要注意挖掘隐含条件：圆的所有半径长度相等，BC为直径则B、O、C三点共线，对应角为平角。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=65°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵ OB、OD、OE、OC都是$\odot O$的半径
∴ $OB=OD$，$OE=OC$
∴ △OBD和△OEC均为等腰三角形，即$∠ ODB=∠ ABC$，$∠ OEC=∠ ACB$
由等腰三角形内角和性质：
$∠ BOD = 180° - 2∠ ABC$
$∠ COE = 180° - 2∠ ACB$
∴ $∠ BOD + ∠ COE = (180° - 2∠ ABC) + (180° - 2∠ ACB) = 360° - 2(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC + ∠ ACB=115°$，得：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2×115° = 130°$
∵ BC为$\odot O$的直径，B、O、C三点共线，$∠ BOC$为平角等于$180°$
∴ $∠ DOE = 180° - (∠ BOD + ∠ COE) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的突破口是结合圆的半径相等得到等腰三角形，将已知角和待求角通过三角形内角和、平角的性质建立关联，掌握基础几何性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
