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7.在同一平面内，$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，点$P$到圆心$O$的距离$OP=6\ \mathrm{cm}$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是 （）
A.点$P$在圆内
B.点$P$在圆上
C.点$P$在圆外
D.无法确定
A.点$P$在圆内
B.点$P$在圆上
C.点$P$在圆外
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需用到点和圆位置关系的判定规则：核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小。我们先明确三种位置关系对应的大小关系，再代入题中给出的半径$r$和$OP$的长度比较，即可得出结论。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d ＜ r$，点在圆内；
2. 若$d = r$，点在圆上；
3. 若$d ＞ r$，点在圆外。
本题中，$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，点$P$到圆心$O$的距离$d=OP=6\ \mathrm{cm}$，因为$6\ \mathrm{cm} ＞ 5\ \mathrm{cm}$，即$d ＞ r$，所以点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，直接考查点和圆位置关系的判定方法，只要牢记判定规则，通过简单的数值对比即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需用到点和圆位置关系的判定规则：核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小。我们先明确三种位置关系对应的大小关系，再代入题中给出的半径$r$和$OP$的长度比较，即可得出结论。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d ＜ r$，点在圆内；
2. 若$d = r$，点在圆上；
3. 若$d ＞ r$，点在圆外。
本题中，$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，点$P$到圆心$O$的距离$d=OP=6\ \mathrm{cm}$，因为$6\ \mathrm{cm} ＞ 5\ \mathrm{cm}$，即$d ＞ r$，所以点$P$在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，直接考查点和圆位置关系的判定方法，只要牢记判定规则，通过简单的数值对比即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.某圆形桌面，圆心为O，半径为50 cm，桌面上有一点P，则线段OP的长度可能是（）
A.40 cm
B.60 cm
C.80 cm
D.90 cm
A.40 cm
B.60 cm
C.80 cm
D.90 cm
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要结合圆的相关概念判断点P的位置范围：圆形桌面对应的是圆心为O、半径50cm的圆及其内部，因此点P只能在圆内或圆上。再根据点和圆的位置关系对应的数量特征，得出OP长度的取值范围，最后比对选项选出符合条件的结果即可。
【解析】
已知圆形桌面的圆心为O，半径r=50cm，点P在桌面上，说明点P在⊙O上或⊙O内部。
根据点与圆的位置关系的性质：
①若点在圆上，则点到圆心的距离等于半径，即OP=50cm；
②若点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，即OP＜50cm。
综上可得OP≤50cm。
观察选项：A选项40cm＜50cm，符合要求；B、C、D选项的长度均大于50cm，对应点在圆外，不在桌面上，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1.点与圆的位置关系 2.圆的有关概念
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是结合实际场景明确点的取值范围，牢记点在圆内、圆上、圆外时，点到圆心的距离与半径的大小对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要结合圆的相关概念判断点P的位置范围：圆形桌面对应的是圆心为O、半径50cm的圆及其内部，因此点P只能在圆内或圆上。再根据点和圆的位置关系对应的数量特征，得出OP长度的取值范围，最后比对选项选出符合条件的结果即可。
【解析】
已知圆形桌面的圆心为O，半径r=50cm，点P在桌面上，说明点P在⊙O上或⊙O内部。
根据点与圆的位置关系的性质：
①若点在圆上，则点到圆心的距离等于半径，即OP=50cm；
②若点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，即OP＜50cm。
综上可得OP≤50cm。
观察选项：A选项40cm＜50cm，符合要求；B、C、D选项的长度均大于50cm，对应点在圆外，不在桌面上，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1.点与圆的位置关系 2.圆的有关概念
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是结合实际场景明确点的取值范围，牢记点在圆内、圆上、圆外时，点到圆心的距离与半径的大小对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
9. 如图，在菱形ABCD中，过A，B，D三点的圆O交对角线AC的延长线于点E，若OC=CE=1，则菱形的边长为（）
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合菱形性质和圆的相关性质梳理关系：首先菱形对角线互相垂直平分，其次圆内相交弦满足相交弦定理，同圆的半径相等。我们可以设菱形对角线的一半为未知数，先通过相交弦定理得到对角线另一部分的平方与未知数的关系，再结合半径相等和勾股定理列方程求解未知数，最后用勾股定理计算菱形边长即可。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点P，由菱形性质得：AC⊥BD，$AP=PC$，$BP=PD$。
设$AP=PC=x$，
根据相交弦定理，圆内两条相交弦AE、BD交于点P，可得$AP·PE = BP·PD$，
已知$CE=1$，则$PE=PC+CE=x+1$，又$BP=PD$，因此$x(x+1)=BP^2$ ①。
∵OA、OB都是圆O的半径，
∴$OA=OB$，
由线段关系得：$OA=AC-OC=2x-1$，$PO=PC-OC=x-1$，
在$Rt△ OBP$中，由勾股定理得$OB^2=BP^2+PO^2$，即$OA^2=BP^2+PO^2$ ②。
将①和$OA=2x-1$、$PO=x-1$代入②：
$(2x-1)^2 = x(x+1)+(x-1)^2$
展开整理得：$2x^2-3x=0$，解得$x=\frac{3}{2}$（$x=0$不符合实际，舍去）。
在$Rt△ ABP$中，菱形边长$AB$满足：
$AB^2=AP^2+BP^2=x^2+x(x+1)=2x^2+x$
代入$x=\frac{3}{2}$得$AB^2=2×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=6$，因此$AB=\sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，相交弦定理，勾股定理
【点评】
本题是菱形与圆的综合计算题，核心是利用几何性质建立方程求解，需要熟练掌握特殊四边形和圆的基础性质，体会方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合菱形性质和圆的相关性质梳理关系：首先菱形对角线互相垂直平分，其次圆内相交弦满足相交弦定理，同圆的半径相等。我们可以设菱形对角线的一半为未知数，先通过相交弦定理得到对角线另一部分的平方与未知数的关系，再结合半径相等和勾股定理列方程求解未知数，最后用勾股定理计算菱形边长即可。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点P，由菱形性质得：AC⊥BD，$AP=PC$，$BP=PD$。
设$AP=PC=x$，
根据相交弦定理，圆内两条相交弦AE、BD交于点P，可得$AP·PE = BP·PD$，
已知$CE=1$，则$PE=PC+CE=x+1$，又$BP=PD$，因此$x(x+1)=BP^2$ ①。
∵OA、OB都是圆O的半径，
∴$OA=OB$，
由线段关系得：$OA=AC-OC=2x-1$，$PO=PC-OC=x-1$，
在$Rt△ OBP$中，由勾股定理得$OB^2=BP^2+PO^2$，即$OA^2=BP^2+PO^2$ ②。
将①和$OA=2x-1$、$PO=x-1$代入②：
$(2x-1)^2 = x(x+1)+(x-1)^2$
展开整理得：$2x^2-3x=0$，解得$x=\frac{3}{2}$（$x=0$不符合实际，舍去）。
在$Rt△ ABP$中，菱形边长$AB$满足：
$AB^2=AP^2+BP^2=x^2+x(x+1)=2x^2+x$
代入$x=\frac{3}{2}$得$AB^2=2×(\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}=6$，因此$AB=\sqrt{6}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，相交弦定理，勾股定理
【点评】
本题是菱形与圆的综合计算题，核心是利用几何性质建立方程求解，需要熟练掌握特殊四边形和圆的基础性质，体会方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
10.如图，$\odot O$的半径是1，点$A,B$在$\odot O$上，弦$AB=1$，则$∠ AOB=$$°$.
答案
$\boldsymbol{60}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据圆的性质，同圆的所有半径长度相等，可得出OA、OB的长度均等于圆的半径1；再结合已知条件AB=1，可判断△OAB的三条边长度相等，即△OAB为等边三角形；最后根据等边三角形的内角均为60°，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ OA、OB是⊙O的半径，⊙O的半径为1，
∴ OA = OB = 1，
又
∵ AB = 1，
∴ OA = OB = AB = 1，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°。
【答案】
60
【知识点】
圆的半径相等；等边三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和等边三角形的知识结合考察，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先根据圆的性质，同圆的所有半径长度相等，可得出OA、OB的长度均等于圆的半径1；再结合已知条件AB=1，可判断△OAB的三条边长度相等，即△OAB为等边三角形；最后根据等边三角形的内角均为60°，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ OA、OB是⊙O的半径，⊙O的半径为1，
∴ OA = OB = 1，
又
∵ AB = 1，
∴ OA = OB = AB = 1，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°。
【答案】
60
【知识点】
圆的半径相等；等边三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质和等边三角形的知识结合考察，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10$,若以点$C$为圆心,$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$,则$AC$的长是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
解：连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=10，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=5$。
∵ 以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过点D，
∴ $CB=CD=5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
$\boxed{5\sqrt{3}}$
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=10，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=5$。
∵ 以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过点D，
∴ $CB=CD=5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
$\boxed{5\sqrt{3}}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件梳理思路：题目给出直角三角形及斜边中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可求出CD的长度；再结合“圆上任意一点到圆心的距离等于半径”，可得CB=CD，从而得到BC的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=10，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB=5$。
∵ 点D在以C为圆心、CB为半径的圆上，
∴ CB和CD均为圆C的半径，即$CB=CD=5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
$\boxed{5\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆的半径相等
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形性质与圆的基本性质结合考查，解题突破口是利用直角三角形斜边中线性质和圆半径相等求出BC的长度，整体解题逻辑清晰，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件梳理思路：题目给出直角三角形及斜边中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可求出CD的长度；再结合“圆上任意一点到圆心的距离等于半径”，可得CB=CD，从而得到BC的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=10，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB=5$。
∵ 点D在以C为圆心、CB为半径的圆上，
∴ CB和CD均为圆C的半径，即$CB=CD=5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
$\boxed{5\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆的半径相等
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形性质与圆的基本性质结合考查，解题突破口是利用直角三角形斜边中线性质和圆半径相等求出BC的长度，整体解题逻辑清晰，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
12.《周髀算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现.
图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”.图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长AB =$7\sqrt{2}$ mm，P是圆上的动点，若PB的最小值为6 mm，则$\odot O$的面积为 mm².
图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”.图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长AB =$7\sqrt{2}$ mm，P是圆上的动点，若PB的最小值为6 mm，则$\odot O$的面积为 mm².
答案
$\boldsymbol{169π}$
解析
【分析】
解题时首先明确规律：圆内一点到圆上动点的最短距离等于圆的半径减去该点到圆心的距离。我们可以分三步求解：第一步利用正方形的性质计算圆心O到点B的距离OB；第二步结合PB的最小值列等式求出⊙O的半径；第三步代入圆的面积公式计算结果。
【解析】
1. 计算OB的长度：
已知正方形边长$AB=7\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$，正方形的对角线长度为边长乘以$\sqrt{2}$，因此正方形对角线长为$7\sqrt{2} × \sqrt{2}=14\ \mathrm{mm}$。
因为O是正方形的中心，所以O到正方形顶点的距离为对角线长度的一半，即$OB=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{mm}$。
2. 求⊙O的半径：
点B在⊙O内部，P是圆上动点，PB的最小值为$r-OB$（$r$为⊙O半径），根据题意PB最小值为6mm，可得：
$r - OB = 6$，代入$OB=7$，解得$r=7+6=13\ \mathrm{mm}$。
3. 计算⊙O的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=13$得$S=π × 13^2=169π\ \mathrm{mm}^2$。
【答案】
$169π$
【知识点】
正方形的性质；点与圆的位置关系；圆的面积计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何基础知识的应用，解题的核心是掌握圆内一点到圆上点的最短距离的计算规律，将已知条件和几何性质结合即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确规律：圆内一点到圆上动点的最短距离等于圆的半径减去该点到圆心的距离。我们可以分三步求解：第一步利用正方形的性质计算圆心O到点B的距离OB；第二步结合PB的最小值列等式求出⊙O的半径；第三步代入圆的面积公式计算结果。
【解析】
1. 计算OB的长度：
已知正方形边长$AB=7\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$，正方形的对角线长度为边长乘以$\sqrt{2}$，因此正方形对角线长为$7\sqrt{2} × \sqrt{2}=14\ \mathrm{mm}$。
因为O是正方形的中心，所以O到正方形顶点的距离为对角线长度的一半，即$OB=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{mm}$。
2. 求⊙O的半径：
点B在⊙O内部，P是圆上动点，PB的最小值为$r-OB$（$r$为⊙O半径），根据题意PB最小值为6mm，可得：
$r - OB = 6$，代入$OB=7$，解得$r=7+6=13\ \mathrm{mm}$。
3. 计算⊙O的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=13$得$S=π × 13^2=169π\ \mathrm{mm}^2$。
【答案】
$169π$
【知识点】
正方形的性质；点与圆的位置关系；圆的面积计算
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何基础知识的应用，解题的核心是掌握圆内一点到圆上点的最短距离的计算规律，将已知条件和几何性质结合即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$□ ABCD$中,$BC=8$,E是边AB上一点,且AE=2,以A为圆心,AE长为半径作$\odot A$,P是$\odot A$上一动点,连接BP,CP,若$□ ABCD$的面积为36,则$△ BPC$面积的最小值为.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
△BPC的底BC为定值8，其面积大小由点P到BC的距离决定，距离越小则面积越小。首先我们先求出平行四边形中BC边上的高，也就是点A到BC的距离；再结合圆的性质，圆上一点到直线BC的最小距离等于圆心A到BC的距离减去圆的半径；最后代入三角形面积公式就能算出最小面积。
【解析】
第一步：求平行四边形BC边上的高
已知平行四边形ABCD的面积为36，底BC=8，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得BC边上的高$h=\frac{S}{BC}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$，即点A到BC的距离为$\frac{9}{2}$。
第二步：求点P到BC的最小距离
因为点P在以A为圆心、AE=2为半径的$\odot A$上，所以P到BC的最小距离为圆心A到BC的距离减去半径，即$d_{\mathrm{min}}=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$。
第三步：计算△BPC的最小面积
根据三角形面积公式，$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}× BC × d_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
平行四边形性质，三角形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题结合了平行四边形、三角形面积和圆的相关性质，核心是将三角形面积的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，需要学生掌握转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
△BPC的底BC为定值8，其面积大小由点P到BC的距离决定，距离越小则面积越小。首先我们先求出平行四边形中BC边上的高，也就是点A到BC的距离；再结合圆的性质，圆上一点到直线BC的最小距离等于圆心A到BC的距离减去圆的半径；最后代入三角形面积公式就能算出最小面积。
【解析】
第一步：求平行四边形BC边上的高
已知平行四边形ABCD的面积为36，底BC=8，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得BC边上的高$h=\frac{S}{BC}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$，即点A到BC的距离为$\frac{9}{2}$。
第二步：求点P到BC的最小距离
因为点P在以A为圆心、AE=2为半径的$\odot A$上，所以P到BC的最小距离为圆心A到BC的距离减去半径，即$d_{\mathrm{min}}=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$。
第三步：计算△BPC的最小面积
根据三角形面积公式，$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}× BC × d_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
平行四边形性质，三角形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题结合了平行四边形、三角形面积和圆的相关性质，核心是将三角形面积的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，需要学生掌握转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
