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12.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成下列作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB₁C₁;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB₂C₂.
(1)在图1中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB₁C₁;
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB₂C₂.
答案
解：
(1) 如图1，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_1$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_1$，顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$，所得$△ AB_1C_1$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) 如图2，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_2$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_2$，顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$，所得$△ AB_2C_2$即为所求，保留对应作图痕迹。
(1) 如图1，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_1$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_1$，顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$，所得$△ AB_1C_1$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) 如图2，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_2$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_2$，顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$，所得$△ AB_2C_2$即为所求，保留对应作图痕迹。
解析
【分析】
要完成旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为顺时针，接下来需要选择合适的旋转角，使得旋转后B、C的对应点均落在格点上。观察网格特点，选择旋转角为90°最为合适，因为在网格中构造90°的等长线段更容易得到格点。根据旋转的性质，旋转前后对应边长度相等、对应边的夹角等于旋转角，因此只需要分别作出AB、AC绕点A顺时针旋转90°后的对应线段，再顺次连接对应顶点即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 在图1中：
先确定线段AB的横向、纵向格数差，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$B_1$，满足$AB_1=AB$且$∠ B_1AB=90°$；同理将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$C_1$，满足$AC_1=AC$且$∠ C_1AC=90°$；最后顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$即可，保留作图痕迹。
(2) 在图2中：
先确定线段AB的横向、纵向格数差，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$B_2$，满足$AB_2=AB$且$∠ B_2AB=90°$；同理将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$C_2$，满足$AC_2=AC$且$∠ C_2AC=90°$；最后顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$即可，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 如图1，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_1$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_1$，顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$，所得$△ AB_1C_1$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) 如图2，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_2$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_2$，顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$，所得$△ AB_2C_2$即为所求，保留对应作图痕迹。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；格点作图
【点评】
本题结合网格考查旋转作图，需要熟练掌握旋转的性质，利用网格的特征快速确定对应点的位置，作图时要注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要完成旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为顺时针，接下来需要选择合适的旋转角，使得旋转后B、C的对应点均落在格点上。观察网格特点，选择旋转角为90°最为合适，因为在网格中构造90°的等长线段更容易得到格点。根据旋转的性质，旋转前后对应边长度相等、对应边的夹角等于旋转角，因此只需要分别作出AB、AC绕点A顺时针旋转90°后的对应线段，再顺次连接对应顶点即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 在图1中：
先确定线段AB的横向、纵向格数差，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$B_1$，满足$AB_1=AB$且$∠ B_1AB=90°$；同理将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$C_1$，满足$AC_1=AC$且$∠ C_1AC=90°$；最后顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$即可，保留作图痕迹。
(2) 在图2中：
先确定线段AB的横向、纵向格数差，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$B_2$，满足$AB_2=AB$且$∠ B_2AB=90°$；同理将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到落在格点上的对应点$C_2$，满足$AC_2=AC$且$∠ C_2AC=90°$；最后顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$即可，保留作图痕迹。
【答案】
(1) 如图1，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_1$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_1$，顺次连接$A$、$B_1$、$C_1$，所得$△ AB_1C_1$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) 如图2，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到格点$B_2$，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到格点$C_2$，顺次连接$A$、$B_2$、$C_2$，所得$△ AB_2C_2$即为所求，保留对应作图痕迹。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；格点作图
【点评】
本题结合网格考查旋转作图，需要熟练掌握旋转的性质，利用网格的特征快速确定对应点的位置，作图时要注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
13.如图所示是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，已知点$P_2(-1,0)$和点$P_3(0,1)$.
(1)根据$P_2,P_3$两点的坐标，
①补画出$x$轴、$y$轴，并标出原点$O$的位置；
②点$P$的坐标为，点$P_4$关于原点对称的点的坐标为.
(2)若台阶有$k$级(每个台阶凸出的角的顶点记作$P_k$，$k$为正整数).
①直接用含$k$的代数式表示点$P_k$的坐标；
②判断点$(2027,2026)$是否在台阶上？说明理由.
(3)把台阶上点$P_k$到$x$轴的距离与点$P_k$到$y$轴的距离中的较小值称为$P_k$的“短距”，若台阶中某一点$P_k$的“短距”为1，直接写出该点的坐标.
(1)根据$P_2,P_3$两点的坐标，
①补画出$x$轴、$y$轴，并标出原点$O$的位置；
②点$P$的坐标为，点$P_4$关于原点对称的点的坐标为.
(2)若台阶有$k$级(每个台阶凸出的角的顶点记作$P_k$，$k$为正整数).
①直接用含$k$的代数式表示点$P_k$的坐标；
②判断点$(2027,2026)$是否在台阶上？说明理由.
(3)把台阶上点$P_k$到$x$轴的距离与点$P_k$到$y$轴的距离中的较小值称为$P_k$的“短距”，若台阶中某一点$P_k$的“短距”为1，直接写出该点的坐标.
答案
解：
(1)① 过点$P_2(-1,0)$作水平直线即为$x$轴，过点$P_3(0,1)$作竖直直线即为$y$轴，两直线的交点即为原点$O$。
② $(-3,-2)$；$(-1,-2)$
(2)① 点$P_k$的坐标为$(k-3, k-2)$。
② 点$(2027,2026)$不在台阶上，理由如下：
若点$(2027,2026)$在台阶上，则令$k-3=2027$，解得$k=2030$，此时对应点的纵坐标为$2030-2=2028≠2026$，因此点$(2027,2026)$不在台阶上。
(3) 该点的坐标为$(-2,-1)$和$(1,2)$。
(1)① 过点$P_2(-1,0)$作水平直线即为$x$轴，过点$P_3(0,1)$作竖直直线即为$y$轴，两直线的交点即为原点$O$。
② $(-3,-2)$；$(-1,-2)$
(2)① 点$P_k$的坐标为$(k-3, k-2)$。
② 点$(2027,2026)$不在台阶上，理由如下：
若点$(2027,2026)$在台阶上，则令$k-3=2027$，解得$k=2030$，此时对应点的纵坐标为$2030-2=2028≠2026$，因此点$(2027,2026)$不在台阶上。
(3) 该点的坐标为$(-2,-1)$和$(1,2)$。
解析
【分析】
解题首先从已知的$P_2$、$P_3$坐标入手确定平面直角坐标系：①$P_2(-1,0)$在x轴上，$P_3(0,1)$在y轴上，据此可画出x轴、y轴并确定原点；②结合每级台阶宽和高相等的特点，可推出其余点的坐标，再根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”求解对称点坐标。第二问通过列举已知点的坐标，归纳出$P_k$的坐标规律，再代入给定坐标验证是否符合规律即可。第三问先明确“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，分情况令较小值为1求解即可。
【解析】
(1)① 因为点$P_2(-1,0)$在x轴上，过$P_2$作水平直线即为x轴；点$P_3(0,1)$在y轴上，过$P_3$作竖直直线即为y轴，两条直线的交点就是原点$O$，按要求画出坐标轴即可。
② 已知每级台阶宽和高相等，即横坐标每右移1个单位，纵坐标上移1个单位：从$P_2(-1,0)$向左下推导，得$P_1(-2,-1)$，$P(-3,-2)$；向右上推导，得$P_4(1,2)$。关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此$P_4(1,2)$关于原点对称的点坐标为$(-1,-2)$。
(2)① 列举已知点坐标找规律：
$P_1(-2,-1)$：横坐标$1-3=-2$，纵坐标$1-2=-1$；
$P_2(-1,0)$：横坐标$2-3=-1$，纵坐标$2-2=0$；
$P_3(0,1)$：横坐标$3-3=0$，纵坐标$3-2=1$；
$P_4(1,2)$：横坐标$4-3=1$，纵坐标$4-2=2$；
归纳可得点$P_k$的坐标为$(k-3, k-2)$。
② 点$(2027,2026)$不在台阶上，理由如下：
假设该点在台阶上，则横坐标满足$k-3=2027$，解得$k=2030$，代入纵坐标表达式得$k-2=2030-2=2028$，与给定纵坐标$2026$不相等，因此点$(2027,2026)$不在台阶上。
(3) 点$P_k$的“短距”是$|k-3|$和$|k-2|$的较小值，令较小值为1：
当$|k-2|=1$且$|k-2|≤|k-3|$时，解得$k=1$，对应点坐标为$(-2,-1)$；
当$|k-3|=1$且$|k-3|≤|k-2|$时，解得$k=4$，对应点坐标为$(1,2)$。
因此符合要求的点坐标为$(-2,-1)$和$(1,2)$。
【答案】
(1)① 画图见解析；② $\boldsymbol{(-3,-2)}$；$\boldsymbol{(-1,-2)}$
(2)① $\boldsymbol{P_k(k-3,k-2)}$；② 不在，理由见解析
(3) $\boldsymbol{(-2,-1)}$和$\boldsymbol{(1,2)}$
【知识点】
平面直角坐标系；关于原点对称的点的坐标；规律探究
【点评】
本题结合台阶情境考查坐标系相关知识，需要先根据已知点确定坐标系，再通过观察归纳点的坐标规律，同时考查新定义的理解应用，解题关键是准确找到点坐标的变化规律。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知的$P_2$、$P_3$坐标入手确定平面直角坐标系：①$P_2(-1,0)$在x轴上，$P_3(0,1)$在y轴上，据此可画出x轴、y轴并确定原点；②结合每级台阶宽和高相等的特点，可推出其余点的坐标，再根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”求解对称点坐标。第二问通过列举已知点的坐标，归纳出$P_k$的坐标规律，再代入给定坐标验证是否符合规律即可。第三问先明确“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，分情况令较小值为1求解即可。
【解析】
(1)① 因为点$P_2(-1,0)$在x轴上，过$P_2$作水平直线即为x轴；点$P_3(0,1)$在y轴上，过$P_3$作竖直直线即为y轴，两条直线的交点就是原点$O$，按要求画出坐标轴即可。
② 已知每级台阶宽和高相等，即横坐标每右移1个单位，纵坐标上移1个单位：从$P_2(-1,0)$向左下推导，得$P_1(-2,-1)$，$P(-3,-2)$；向右上推导，得$P_4(1,2)$。关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此$P_4(1,2)$关于原点对称的点坐标为$(-1,-2)$。
(2)① 列举已知点坐标找规律：
$P_1(-2,-1)$：横坐标$1-3=-2$，纵坐标$1-2=-1$；
$P_2(-1,0)$：横坐标$2-3=-1$，纵坐标$2-2=0$；
$P_3(0,1)$：横坐标$3-3=0$，纵坐标$3-2=1$；
$P_4(1,2)$：横坐标$4-3=1$，纵坐标$4-2=2$；
归纳可得点$P_k$的坐标为$(k-3, k-2)$。
② 点$(2027,2026)$不在台阶上，理由如下：
假设该点在台阶上，则横坐标满足$k-3=2027$，解得$k=2030$，代入纵坐标表达式得$k-2=2030-2=2028$，与给定纵坐标$2026$不相等，因此点$(2027,2026)$不在台阶上。
(3) 点$P_k$的“短距”是$|k-3|$和$|k-2|$的较小值，令较小值为1：
当$|k-2|=1$且$|k-2|≤|k-3|$时，解得$k=1$，对应点坐标为$(-2,-1)$；
当$|k-3|=1$且$|k-3|≤|k-2|$时，解得$k=4$，对应点坐标为$(1,2)$。
因此符合要求的点坐标为$(-2,-1)$和$(1,2)$。
【答案】
(1)① 画图见解析；② $\boldsymbol{(-3,-2)}$；$\boldsymbol{(-1,-2)}$
(2)① $\boldsymbol{P_k(k-3,k-2)}$；② 不在，理由见解析
(3) $\boldsymbol{(-2,-1)}$和$\boldsymbol{(1,2)}$
【知识点】
平面直角坐标系；关于原点对称的点的坐标；规律探究
【点评】
本题结合台阶情境考查坐标系相关知识，需要先根据已知点确定坐标系，再通过观察归纳点的坐标规律，同时考查新定义的理解应用，解题关键是准确找到点坐标的变化规律。
【难度系数】
0.7
