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一、选择题
1. 如图，在$□ ABCD$中，F是边BC延长线上一点，AF交BD于点O，交DC于点E，则图中相似三角形（全等除外）共有().
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
1. 如图，在$□ ABCD$中，F是边BC延长线上一点，AF交BD于点O，交DC于点E，则图中相似三角形（全等除外）共有().
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形对边平行的性质，结合相似三角形的AA（两角分别相等的两个三角形相似）判定定理，按“由平行线找相等角→证相似→排除全等三角形”的思路逐一排查，注意不要漏找由相似传递性得到的相似三角形。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AD//BC，∠ABC=∠ADC
① 由AB//DC得：∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE
∴△AOB∽△EOD（AA），为第1对；
② 由AD//BC得：∠OAD=∠OFB，∠ODA=∠OBF
∴△AOD∽△FOB（AA），为第2对；
③ 由AB//DC（即AB//CF）得：∠FAB=∠FEC，∠FBA=∠FCE
∴△FAB∽△FEC（AA），为第3对；
④ 由AD//BC（即AD//CF）得：∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE
∴△ADE∽△FCE（AA），为第4对；
⑤ 由△FAB∽△FEC、△ADE∽△FCE，根据相似的传递性可得△FAB∽△ADE，也可直接证：∠F=∠DAE，∠ABF=∠ADE，得△ABF∽△EDA（AA），为第5对。
其中△ABD≌△CDB为全等三角形，题目要求全等除外，因此符合要求的相似三角形共5对。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础综合题，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到相等角，按顺序排查相似三角形，同时注意题干中全等除外的要求，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平行四边形对边平行的性质，结合相似三角形的AA（两角分别相等的两个三角形相似）判定定理，按“由平行线找相等角→证相似→排除全等三角形”的思路逐一排查，注意不要漏找由相似传递性得到的相似三角形。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AD//BC，∠ABC=∠ADC
① 由AB//DC得：∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE
∴△AOB∽△EOD（AA），为第1对；
② 由AD//BC得：∠OAD=∠OFB，∠ODA=∠OBF
∴△AOD∽△FOB（AA），为第2对；
③ 由AB//DC（即AB//CF）得：∠FAB=∠FEC，∠FBA=∠FCE
∴△FAB∽△FEC（AA），为第3对；
④ 由AD//BC（即AD//CF）得：∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE
∴△ADE∽△FCE（AA），为第4对；
⑤ 由△FAB∽△FEC、△ADE∽△FCE，根据相似的传递性可得△FAB∽△ADE，也可直接证：∠F=∠DAE，∠ABF=∠ADE，得△ABF∽△EDA（AA），为第5对。
其中△ABD≌△CDB为全等三角形，题目要求全等除外，因此符合要求的相似三角形共5对。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础综合题，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质得到相等角，按顺序排查相似三角形，同时注意题干中全等除外的要求，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.6
2. 如图，已知$AB// CD// EF$，那么下列结论中错误的是（）。
A.$\frac{BH}{HC}=\frac{AH}{HD}$
B.$\frac{CE}{HC}=\frac{FD}{HD}$
C.$\frac{CD}{EF}=\frac{HC}{CE}$
D.$\frac{CD}{AB}=\frac{DH}{HA}$
A.$\frac{BH}{HC}=\frac{AH}{HD}$
B.$\frac{CE}{HC}=\frac{FD}{HD}$
C.$\frac{CD}{EF}=\frac{HC}{CE}$
D.$\frac{CD}{AB}=\frac{DH}{HA}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，解题思路如下：第一步，根据已知的平行关系，找出对应的相似三角形；第二步，结合相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例定理，逐一验证四个选项的比例关系是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
1. 验证选项A：
∵$AB// CD$，
∴$∠ A=∠ HDC$，$∠ ABH=∠ DCH$（两直线平行，内错角相等）
∴$△ ABH ∽ △ DCH$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{BH}{HC}=\frac{AH}{HD}$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵$CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，可得$\frac{CE}{HC}=\frac{FD}{HD}$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
∵$CD// EF$，
∴$△ HCD ∽ △ HEF$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{EF}=\frac{HC}{HE}$，其中$HE=HC+CE≠ CE$，因此$\frac{CD}{EF}≠\frac{HC}{CE}$，C结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：
由$△ ABH ∽ △ DCH$的性质，对应边成比例可得：$\frac{CD}{AB}=\frac{DH}{HA}$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是相似三角形章节的基础常考题，解题核心是根据平行关系准确识别相似三角形，注意相似三角形的对应边不要混淆，代入比例关系时要对应准确。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，解题思路如下：第一步，根据已知的平行关系，找出对应的相似三角形；第二步，结合相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例定理，逐一验证四个选项的比例关系是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
1. 验证选项A：
∵$AB// CD$，
∴$∠ A=∠ HDC$，$∠ ABH=∠ DCH$（两直线平行，内错角相等）
∴$△ ABH ∽ △ DCH$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{BH}{HC}=\frac{AH}{HD}$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵$CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，可得$\frac{CE}{HC}=\frac{FD}{HD}$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
∵$CD// EF$，
∴$△ HCD ∽ △ HEF$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{EF}=\frac{HC}{HE}$，其中$HE=HC+CE≠ CE$，因此$\frac{CD}{EF}≠\frac{HC}{CE}$，C结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：
由$△ ABH ∽ △ DCH$的性质，对应边成比例可得：$\frac{CD}{AB}=\frac{DH}{HA}$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是相似三角形章节的基础常考题，解题核心是根据平行关系准确识别相似三角形，注意相似三角形的对应边不要混淆，代入比例关系时要对应准确。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$DE$是$△ ABC$的中位线，点$F$在$DB$上，$DF=2BF$，连接$EF$并延长交$CB$的延长线于点$M$.若$BC=6$，则线段$CM$的长为（）.
A.$\dfrac{13}{2}$
B.$7$
C.$\dfrac{15}{2}$
D.$8$
A.$\dfrac{13}{2}$
B.$7$
C.$\dfrac{15}{2}$
D.$8$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中位线的性质，先求出DE的长度并得到DE与BC的平行关系；再由平行关系结合对顶角相等，判定△EDF和△MBF相似；接着根据DF=2BF得到相似比，求出BM的长度；最后结合CM=BC+BM即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×6=3$。
∵DE//BC，
∴∠EDF=∠MBF，
又
∵∠DFE=∠BFM（对顶角相等），
∴△EDF∽△MBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{BM}=\frac{DF}{BF}$，
已知DF=2BF，即$\frac{DF}{BF}=2$，
代入得$\frac{3}{BM}=2$，解得BM=$\frac{3}{2}$。
∵点M在CB的延长线上，
∴CM=BC+BM=6+$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是利用平行线构造相似三角形，结合中位线性质和线段比例关系求解线段长度，解题的关键是准确找到相似的两个三角形，理清线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中位线的性质，先求出DE的长度并得到DE与BC的平行关系；再由平行关系结合对顶角相等，判定△EDF和△MBF相似；接着根据DF=2BF得到相似比，求出BM的长度；最后结合CM=BC+BM即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×6=3$。
∵DE//BC，
∴∠EDF=∠MBF，
又
∵∠DFE=∠BFM（对顶角相等），
∴△EDF∽△MBF（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{BM}=\frac{DF}{BF}$，
已知DF=2BF，即$\frac{DF}{BF}=2$，
代入得$\frac{3}{BM}=2$，解得BM=$\frac{3}{2}$。
∵点M在CB的延长线上，
∴CM=BC+BM=6+$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是利用平行线构造相似三角形，结合中位线性质和线段比例关系求解线段长度，解题的关键是准确找到相似的两个三角形，理清线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB ⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，点$P$在边$BC$上，$PD ⊥ AC$于点$D$，$PE ⊥ AB$于点$E$，若$BP=2$，则$PD+PE$的长为。
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB ⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，点$P$在边$BC$上，$PD ⊥ AC$于点$D$，$PE ⊥ AB$于点$E$，若$BP=2$，则$PD+PE$的长为。
答案
$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用勾股定理计算$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$BC$的长度，再结合$BP=2$求出$PC$的长度；②根据$PE⊥AB$、$AC⊥AB$可推出$PE// AC$，进而判定$△ BPE$与$△ BCA$相似，同理根据$PD⊥AC$、$AB⊥AC$推出$PD// AB$，判定$△ CPD$与$△ CBA$相似；③利用相似三角形对应边成比例分别求出$PE$、$PD$的长度，相加即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB ⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
已知$BP=2$，则$PC=BC-BP=5-2=3$
∵$PE⊥AB$，$AC⊥AB$
∴$PE// AC$，则$∠ BEP=∠ BAC=90°$，$∠ BPE=∠ BCA$
∴$△ BPE ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$
代入数值：$\frac{PE}{4}=\frac{2}{5}$，解得$PE=\frac{8}{5}$
∵$PD⊥AC$，$AB⊥AC$
∴$PD// AB$，则$∠ CDP=∠ CAB=90°$，$∠ CPD=∠ CBA$
∴$△ CPD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PD}{AB}=\frac{PC}{BC}$
代入数值：$\frac{PD}{3}=\frac{3}{5}$，解得$PD=\frac{9}{5}$
因此$PD+PE=\frac{8}{5}+\frac{9}{5}=\frac{17}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题关键是通过垂直关系推出平行线，进而得到相似三角形，利用相似比求解线段长度，也可结合矩形性质或面积法进行求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先利用勾股定理计算$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$BC$的长度，再结合$BP=2$求出$PC$的长度；②根据$PE⊥AB$、$AC⊥AB$可推出$PE// AC$，进而判定$△ BPE$与$△ BCA$相似，同理根据$PD⊥AC$、$AB⊥AC$推出$PD// AB$，判定$△ CPD$与$△ CBA$相似；③利用相似三角形对应边成比例分别求出$PE$、$PD$的长度，相加即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB ⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
已知$BP=2$，则$PC=BC-BP=5-2=3$
∵$PE⊥AB$，$AC⊥AB$
∴$PE// AC$，则$∠ BEP=∠ BAC=90°$，$∠ BPE=∠ BCA$
∴$△ BPE ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$
代入数值：$\frac{PE}{4}=\frac{2}{5}$，解得$PE=\frac{8}{5}$
∵$PD⊥AC$，$AB⊥AC$
∴$PD// AB$，则$∠ CDP=∠ CAB=90°$，$∠ CPD=∠ CBA$
∴$△ CPD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{PD}{AB}=\frac{PC}{BC}$
代入数值：$\frac{PD}{3}=\frac{3}{5}$，解得$PD=\frac{9}{5}$
因此$PD+PE=\frac{8}{5}+\frac{9}{5}=\frac{17}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{17}{5}}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题关键是通过垂直关系推出平行线，进而得到相似三角形，利用相似比求解线段长度，也可结合矩形性质或面积法进行求解。
【难度系数】
0.7
5.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的$∠ ABC$).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点$A$,$B$,$Q$在同一水平线上,$∠ ABC$和$∠ AQP$均为直角,$AP$与$BC$相交于点$D$.测得$AB = 40\ \mathrm{cm}$,$BD = 20\ \mathrm{cm}$,$AQ = 12\ \mathrm{m}$,则树高$PQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知∠ABC和∠AQP均为直角，可得BC⊥AB、PQ⊥AQ，结合点A、B、Q共线，可推出两个三角形有两组角对应相等，能证明△ABD与△AQP相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据计算，即可求出PQ的长度，计算时可利用同单位比值无量纲的特点简化运算，无需额外转换单位。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠AQP=90°，∠A是△ABD和△AQP的公共角
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$
将$AB = 40\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$，$AQ = 12\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{40\ \mathrm{cm}}{12\ \mathrm{m}}=\frac{20\ \mathrm{cm}}{PQ}$
约去分子分母的相同单位后解得：
$PQ=\frac{20 × 12}{40}=6\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的测量方法，考查相似三角形在实际高度测量中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边列比例式计算，体现了数学的实践应用价值。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，已知∠ABC和∠AQP均为直角，可得BC⊥AB、PQ⊥AQ，结合点A、B、Q共线，可推出两个三角形有两组角对应相等，能证明△ABD与△AQP相似。再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据计算，即可求出PQ的长度，计算时可利用同单位比值无量纲的特点简化运算，无需额外转换单位。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠AQP=90°，∠A是△ABD和△AQP的公共角
∴△ABD∽△AQP（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{AQ}=\frac{BD}{PQ}$
将$AB = 40\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$，$AQ = 12\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{40\ \mathrm{cm}}{12\ \mathrm{m}}=\frac{20\ \mathrm{cm}}{PQ}$
约去分子分母的相同单位后解得：
$PQ=\frac{20 × 12}{40}=6\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的测量方法，考查相似三角形在实际高度测量中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边列比例式计算，体现了数学的实践应用价值。
【难度系数】
0.8
