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6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，$CD // AB$，$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$E$，则$DE=$。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$，
$\therefore CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$，
$\therefore \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$。
$\because AE+CE=AC=8$，
$\therefore CE=8×\dfrac{3}{5+3}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
由$△ ABE ∽ △ CDE$得$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{5}{3}$，
$\therefore DE=\dfrac{3}{5}BE=\dfrac{3}{5}×3\sqrt{5}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$。
$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$，
$\therefore CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$，
$\therefore \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$。
$\because AE+CE=AC=8$，
$\therefore CE=8×\dfrac{3}{5+3}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
由$△ ABE ∽ △ CDE$得$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{5}{3}$，
$\therefore DE=\dfrac{3}{5}BE=\dfrac{3}{5}×3\sqrt{5}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$。
$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，先用勾股定理计算出未知直角边AC的长度；再结合角平分线和平行线的性质，推出△BCD是等腰三角形，得到CD的长度；接着利用平行线判定△ABE与△CDE相似，得到对应边的比例关系，先求出CE的长度，再用勾股定理算出BE的长度，最后借助相似三角形的比例关系就能求出DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$，
$\therefore CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$，
$\therefore \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$。
$\because AE+CE=AC=8$，
$\therefore CE=8×\dfrac{3}{5+3}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
由$△ ABE ∽ △ CDE$得$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{5}{3}$，
$\therefore DE=\dfrac{3}{5}BE=\dfrac{3}{5}×3\sqrt{5}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类题型，将多个基础几何知识点结合考查，解题的突破口是利用“角平分线+平行线”的组合推出等腰三角形得到CD的长度，再结合相似三角形的比例关系逐步推导求解，能够很好地考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的直角三角形入手，先用勾股定理计算出未知直角边AC的长度；再结合角平分线和平行线的性质，推出△BCD是等腰三角形，得到CD的长度；接着利用平行线判定△ABE与△CDE相似，得到对应边的比例关系，先求出CE的长度，再用勾股定理算出BE的长度，最后借助相似三角形的比例关系就能求出DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$，
$\therefore CD=BC=6$。
$\because CD// AB$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$，
$\therefore \dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$。
$\because AE+CE=AC=8$，
$\therefore CE=8×\dfrac{3}{5+3}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
由$△ ABE ∽ △ CDE$得$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{5}{3}$，
$\therefore DE=\dfrac{3}{5}BE=\dfrac{3}{5}×3\sqrt{5}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何综合类题型，将多个基础几何知识点结合考查，解题的突破口是利用“角平分线+平行线”的组合推出等腰三角形得到CD的长度，再结合相似三角形的比例关系逐步推导求解，能够很好地考查学生对几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连接AE交BC于点F，作FG // BE交AB于点G.求证：FG=FC.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连接AE交BC于点F，作FG // BE交AB于点G.求证：FG=FC.
答案
证明：
∵ 四边形BEDC是正方形，
∴ $BE = DE$，$BE // DC$，$BC ⊥ DC$。
又∵ $∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BC$，点$D,C,A$共线，
∴ $FC // DE$。
∵ $FG // BE$，
∴ $△ AFG ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{AF}{AE}$。
∵ $FC // DE$，
∴ $△ AFC ∽ △ AED$，
∴ $\frac{FC}{DE} = \frac{AF}{AE}$。
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{FC}{DE}$，
又∵ $BE = DE$，
∴ $FG = FC$。
∵ 四边形BEDC是正方形，
∴ $BE = DE$，$BE // DC$，$BC ⊥ DC$。
又∵ $∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BC$，点$D,C,A$共线，
∴ $FC // DE$。
∵ $FG // BE$，
∴ $△ AFG ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{AF}{AE}$。
∵ $FC // DE$，
∴ $△ AFC ∽ △ AED$，
∴ $\frac{FC}{DE} = \frac{AF}{AE}$。
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{FC}{DE}$，
又∵ $BE = DE$，
∴ $FG = FC$。
解析
【分析】
要证明FG=FC，直接通过全等三角形证明条件不足，可借助相似三角形的比例关系推导：首先利用平行线判定两组相似三角形，得到FG、FC分别与正方形边长的比例关系，再结合正方形边长相等的性质，即可推出两条线段相等。
【解析】
证明：
∵ 四边形BEDC是正方形，
∴ $BE = DE$，$BE // DC$，$BC ⊥ DC$。
又
∵ $∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BC$，点$D,C,A$共线，
∴ $FC // DE$。
∵ $FG // BE$，
∴ $△ AFG ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{AF}{AE}$。
∵ $FC // DE$，
∴ $△ AFC ∽ △ AED$，
∴ $\frac{FC}{DE} = \frac{AF}{AE}$。
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{FC}{DE}$，
又
∵ $BE = DE$，
∴ $FG = FC$。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得$FG=FC$。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线构造共公共边的相似三角形，利用中间比例式过渡结合正方形的性质完成证明，能锻炼学生用比例关系证明线段相等的思维。
【难度系数】
0.7
要证明FG=FC，直接通过全等三角形证明条件不足，可借助相似三角形的比例关系推导：首先利用平行线判定两组相似三角形，得到FG、FC分别与正方形边长的比例关系，再结合正方形边长相等的性质，即可推出两条线段相等。
【解析】
证明：
∵ 四边形BEDC是正方形，
∴ $BE = DE$，$BE // DC$，$BC ⊥ DC$。
又
∵ $∠ ACB = 90°$，即$AC ⊥ BC$，点$D,C,A$共线，
∴ $FC // DE$。
∵ $FG // BE$，
∴ $△ AFG ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{AF}{AE}$。
∵ $FC // DE$，
∴ $△ AFC ∽ △ AED$，
∴ $\frac{FC}{DE} = \frac{AF}{AE}$。
∴ $\frac{FG}{BE} = \frac{FC}{DE}$，
又
∵ $BE = DE$，
∴ $FG = FC$。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得$FG=FC$。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是通过平行线构造共公共边的相似三角形，利用中间比例式过渡结合正方形的性质完成证明，能锻炼学生用比例关系证明线段相等的思维。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E，F分别是边AB和BC的中点，EF与BD相交于点M，求证：DM=2BM.
答案
证明：
连接DE。
∵ E是AB的中点，
∴ AB = 2EB。
又∵ AB = 2CD，
∴ CD = EB。
∵ AB // CD，即CD // EB，
∴ 四边形DEBC是平行四边形。
∴ DE // BC，且DE = BC。
∵ F是BC的中点，
∴ BC = 2BF，
∴ DE = 2BF。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDM = ∠FBM，∠DEM = ∠BFM，
∴ △DEM ∽ △BFM。
∴ $\frac{DM}{BM}=\frac{DE}{BF}=\frac{2BF}{BF}=2$，
即 $DM=2BM$。
连接DE。
∵ E是AB的中点，
∴ AB = 2EB。
又∵ AB = 2CD，
∴ CD = EB。
∵ AB // CD，即CD // EB，
∴ 四边形DEBC是平行四边形。
∴ DE // BC，且DE = BC。
∵ F是BC的中点，
∴ BC = 2BF，
∴ DE = 2BF。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDM = ∠FBM，∠DEM = ∠BFM，
∴ △DEM ∽ △BFM。
∴ $\frac{DM}{BM}=\frac{DE}{BF}=\frac{2BF}{BF}=2$，
即 $DM=2BM$。
解析
【分析】
要证明DM=2BM这类线段倍分关系，通常可借助相似三角形对应边成比例推导。首先结合已知AB//CD、AB=2CD，且E为AB中点，可先连接DE，先推导CD与EB平行且相等，证明四边形DEBC是平行四边形，得到DE与BC平行且相等的关系；再结合F是BC中点，得出DE与BF的倍数关系；最后利用DE//BC的平行关系证明△DEM与△BFM相似，通过相似三角形对应边的比例关系即可得证结论。
【解析】
证明：
连接DE。
∵ E是AB的中点，
∴ AB = 2EB。
又
∵ AB = 2CD，
∴ CD = EB。
∵ AB // CD，即CD // EB，
∴ 四边形DEBC是平行四边形。
∴ DE // BC，且DE = BC。
∵ F是BC的中点，
∴ BC = 2BF，
∴ DE = 2BF。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDM = ∠FBM，∠DEM = ∠BFM，
∴ △DEM ∽ △BFM。
∴ $\frac{DM}{BM}=\frac{DE}{BF}=\frac{2BF}{BF}=2$，
即 $DM=2BM$。
【答案】
$DM=2BM$
【知识点】
平行四边形判定与性质，相似三角形判定与性质，线段中点定义
【点评】
本题是几何中典型的线段倍分证明题，解题核心是合理添加辅助线构造平行四边形，进而得到相似三角形，结合相似的性质完成证明，能够考查学生对几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明DM=2BM这类线段倍分关系，通常可借助相似三角形对应边成比例推导。首先结合已知AB//CD、AB=2CD，且E为AB中点，可先连接DE，先推导CD与EB平行且相等，证明四边形DEBC是平行四边形，得到DE与BC平行且相等的关系；再结合F是BC中点，得出DE与BF的倍数关系；最后利用DE//BC的平行关系证明△DEM与△BFM相似，通过相似三角形对应边的比例关系即可得证结论。
【解析】
证明：
连接DE。
∵ E是AB的中点，
∴ AB = 2EB。
又
∵ AB = 2CD，
∴ CD = EB。
∵ AB // CD，即CD // EB，
∴ 四边形DEBC是平行四边形。
∴ DE // BC，且DE = BC。
∵ F是BC的中点，
∴ BC = 2BF，
∴ DE = 2BF。
∵ DE // BC，
∴ ∠EDM = ∠FBM，∠DEM = ∠BFM，
∴ △DEM ∽ △BFM。
∴ $\frac{DM}{BM}=\frac{DE}{BF}=\frac{2BF}{BF}=2$，
即 $DM=2BM$。
【答案】
$DM=2BM$
【知识点】
平行四边形判定与性质，相似三角形判定与性质，线段中点定义
【点评】
本题是几何中典型的线段倍分证明题，解题核心是合理添加辅助线构造平行四边形，进而得到相似三角形，结合相似的性质完成证明，能够考查学生对几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$□ ABCD$中，E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1) 求证：$AF=AB$；
(2) G是线段AF上一点，满足$∠ FCG=∠ FCD$，GC交AD于点H.若$AG=2$，$FG=6$，求GH的长.
(1) 求证：$AF=AB$；
(2) G是线段AF上一点，满足$∠ FCG=∠ FCD$，GC交AD于点H.若$AG=2$，$FG=6$，求GH的长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ D=∠ EAF$，$∠ DCE=∠ F$，
∵ $E$是$AD$的中点，∴ $DE=AE$。
在$△ CDE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ EAF \\∠ DCE=∠ F \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ CDE ≌ △ FAE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $CD=AF$，
又∵ $CD=AB$，
∴ $AF=AB$。
---
(2) 解：
∵ $AG=2$，$FG=6$，
∴ $AF=FG+AG=8$，
由(1)得 $AB=AF=8$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD=AB=8$，$CD// AB$，
∴ $∠ FCD=∠ F$，
又∵ $∠ FCG=∠ FCD$，
∴ $∠ FCG=∠ F$，
∴ $CG=FG=6$。
∵ $CD// AG$，
∴ $∠ D=∠ HAG$，$∠ DCH=∠ AGH$，
∴ $△ CDH ∽ △ GAH$，
∴ $\dfrac{CH}{GH}=\dfrac{CD}{AG}=\dfrac{8}{2}=4$，即 $CH=4GH$。
∵ $CH+GH=CG=6$，
代入得 $4GH+GH=6$，
解得 $GH=\dfrac{6}{5}$。
答：$GH$的长为$\dfrac{6}{5}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ D=∠ EAF$，$∠ DCE=∠ F$，
∵ $E$是$AD$的中点，∴ $DE=AE$。
在$△ CDE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ EAF \\∠ DCE=∠ F \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ CDE ≌ △ FAE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $CD=AF$，
又∵ $CD=AB$，
∴ $AF=AB$。
---
(2) 解：
∵ $AG=2$，$FG=6$，
∴ $AF=FG+AG=8$，
由(1)得 $AB=AF=8$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD=AB=8$，$CD// AB$，
∴ $∠ FCD=∠ F$，
又∵ $∠ FCG=∠ FCD$，
∴ $∠ FCG=∠ F$，
∴ $CG=FG=6$。
∵ $CD// AG$，
∴ $∠ D=∠ HAG$，$∠ DCH=∠ AGH$，
∴ $△ CDH ∽ △ GAH$，
∴ $\dfrac{CH}{GH}=\dfrac{CD}{AG}=\dfrac{8}{2}=4$，即 $CH=4GH$。
∵ $CH+GH=CG=6$，
代入得 $4GH+GH=6$，
解得 $GH=\dfrac{6}{5}$。
答：$GH$的长为$\dfrac{6}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证$AF=AB$，已知平行四边形中$AB=CD$，因此只需证明$AF=CD$即可。结合平行四边形对边平行的性质可得内错角相等，再结合E是AD中点的条件，可通过AAS证明$△ CDE≌△ FAE$，得到$CD=AF$，等量代换即可得证。
(2) 先根据已知的$AG$、$FG$长度求出$AF$的总长，结合(1)的结论得到$CD$的长度；再由$∠ FCG=∠ FCD$和平行线的内错角相等推出$∠ FCG=∠ F$，得到$CG=FG$；最后利用$CD// AG$证明$△ CDH∽△ GAH$，得到$CH$与$GH$的比例关系，结合$CG$的总长列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ D=∠ EAF$，$∠ DCE=∠ F$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $DE=AE$。
在$△ CDE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ EAF \\∠ DCE=∠ F \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ CDE ≌ △ FAE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $CD=AF$，
又
∵ $CD=AB$，
∴ $AF=AB$。
(2) 解：
∵ $AG=2$，$FG=6$，
∴ $AF=FG+AG=8$，
由(1)得 $AB=AF=8$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD=AB=8$，$CD// AB$，
∴ $∠ FCD=∠ F$，
又
∵ $∠ FCG=∠ FCD$，
∴ $∠ FCG=∠ F$，
∴ $CG=FG=6$。
∵ $CD// AG$，
∴ $∠ D=∠ HAG$，$∠ DCH=∠ AGH$，
∴ $△ CDH ∽ △ GAH$，
∴ $\dfrac{CH}{GH}=\dfrac{CD}{AG}=\dfrac{8}{2}=4$，即 $CH=4GH$。
∵ $CH+GH=CG=6$，
代入得 $4GH+GH=6$，
解得 $GH=\dfrac{6}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\dfrac{6}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问侧重考察平行四边形性质和全等三角形的基础应用，第二问需要结合等腰三角形判定和相似三角形的比例关系求解，能够较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$AF=AB$，已知平行四边形中$AB=CD$，因此只需证明$AF=CD$即可。结合平行四边形对边平行的性质可得内错角相等，再结合E是AD中点的条件，可通过AAS证明$△ CDE≌△ FAE$，得到$CD=AF$，等量代换即可得证。
(2) 先根据已知的$AG$、$FG$长度求出$AF$的总长，结合(1)的结论得到$CD$的长度；再由$∠ FCG=∠ FCD$和平行线的内错角相等推出$∠ FCG=∠ F$，得到$CG=FG$；最后利用$CD// AG$证明$△ CDH∽△ GAH$，得到$CH$与$GH$的比例关系，结合$CG$的总长列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ $∠ D=∠ EAF$，$∠ DCE=∠ F$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $DE=AE$。
在$△ CDE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ EAF \\∠ DCE=∠ F \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ CDE ≌ △ FAE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $CD=AF$，
又
∵ $CD=AB$，
∴ $AF=AB$。
(2) 解：
∵ $AG=2$，$FG=6$，
∴ $AF=FG+AG=8$，
由(1)得 $AB=AF=8$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD=AB=8$，$CD// AB$，
∴ $∠ FCD=∠ F$，
又
∵ $∠ FCG=∠ FCD$，
∴ $∠ FCG=∠ F$，
∴ $CG=FG=6$。
∵ $CD// AG$，
∴ $∠ D=∠ HAG$，$∠ DCH=∠ AGH$，
∴ $△ CDH ∽ △ GAH$，
∴ $\dfrac{CH}{GH}=\dfrac{CD}{AG}=\dfrac{8}{2}=4$，即 $CH=4GH$。
∵ $CH+GH=CG=6$，
代入得 $4GH+GH=6$，
解得 $GH=\dfrac{6}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\dfrac{6}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问侧重考察平行四边形性质和全等三角形的基础应用，第二问需要结合等腰三角形判定和相似三角形的比例关系求解，能够较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
