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1.将一副直角三角尺如图放置，使含$30°$角的三角尺的斜边和含$45°$角的三角尺的一条直角边在一条直线上，则$∠ α$的度数是(
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
D
).A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确两种直角三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，另一个含30°角的三角尺的两个锐角分别为30°、60°。观察图形可知∠α是某个三角形的外角，可结合三角形外角的性质求解，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，只需找到对应的两个不相邻内角求和即可得到∠α的度数。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可知：
等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的较大锐角为60°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
观察图形可得∠α是对应三角形的外角，两个不相邻的内角分别为45°和60°，
因此$∠α=45°+60°=105°$。
【答案】D
【知识点】三角形外角性质；三角尺角度特征
【点评】本题是角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握两种直角三角尺的固定角度，能准确识别图形中角的位置关系，结合三角形外角性质即可快速得出结果，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】0.8
解题时首先要明确两种直角三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，另一个含30°角的三角尺的两个锐角分别为30°、60°。观察图形可知∠α是某个三角形的外角，可结合三角形外角的性质求解，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，只需找到对应的两个不相邻内角求和即可得到∠α的度数。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可知：
等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的较大锐角为60°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
观察图形可得∠α是对应三角形的外角，两个不相邻的内角分别为45°和60°，
因此$∠α=45°+60°=105°$。
【答案】D
【知识点】三角形外角性质；三角尺角度特征
【点评】本题是角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握两种直角三角尺的固定角度，能准确识别图形中角的位置关系，结合三角形外角性质即可快速得出结果，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$.若$∠ BAE=50°$，$∠ DAC=45°$，则$∠ B$的度数是(
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
).A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据角平分线的性质，由已知的∠BAE度数求出∠BAC的总度数；其次，根据AD⊥BC得到直角△ADC，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；最后，结合三角形内角和为180°，代入已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
1. 因为AE平分∠BAC，且∠BAE=50°，根据角平分线的定义可得：
$∠ BAC=2∠ BAE=2×50°=100°$
2. 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ C=90°-∠ DAC=90°-45°=45°$
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，三个内角和为$180°$，因此：
$∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=180°-100°-45°=35°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础计算题，核心是结合角平分线、三角形高的性质，利用内角和定理求解角度，只要熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，根据角平分线的性质，由已知的∠BAE度数求出∠BAC的总度数；其次，根据AD⊥BC得到直角△ADC，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；最后，结合三角形内角和为180°，代入已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
1. 因为AE平分∠BAC，且∠BAE=50°，根据角平分线的定义可得：
$∠ BAC=2∠ BAE=2×50°=100°$
2. 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ C=90°-∠ DAC=90°-45°=45°$
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，三个内角和为$180°$，因此：
$∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=180°-100°-45°=35°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础计算题，核心是结合角平分线、三角形高的性质，利用内角和定理求解角度，只要熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$∠ BCD=36°$,$∠ CEA=70°$,则$∠ EAB$的度数是
16°
。答案
3.16°
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合CD⊥AB、∠ACB=90°的条件，可推出∠BAC与∠BCD相等，得到∠BAC的度数；其次，在Rt△ACE中，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAE的度数；最后，根据角的和差关系，用∠BAC减去∠CAE即可求出∠EAB的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B + ∠BAC = 90°，
∴∠BAC = ∠BCD = 36°（同角的余角相等）。
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠CEA=70°，
∴∠CAE = 90° - ∠CEA = 90° - 70° = 20°，
∴∠EAB = ∠BAC - ∠CAE = 36° - 20° = 16°。
【答案】
16°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题侧重考查直角三角形内角性质的应用，解题的核心是找准直角三角形中互余的角，理清不同角之间的数量关系，计算难度较低，只要细心梳理角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合CD⊥AB、∠ACB=90°的条件，可推出∠BAC与∠BCD相等，得到∠BAC的度数；其次，在Rt△ACE中，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAE的度数；最后，根据角的和差关系，用∠BAC减去∠CAE即可求出∠EAB的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B + ∠BAC = 90°，
∴∠BAC = ∠BCD = 36°（同角的余角相等）。
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠CEA=70°，
∴∠CAE = 90° - ∠CEA = 90° - 70° = 20°，
∴∠EAB = ∠BAC - ∠CAE = 36° - 20° = 16°。
【答案】
16°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题侧重考查直角三角形内角性质的应用，解题的核心是找准直角三角形中互余的角，理清不同角之间的数量关系，计算难度较低，只要细心梳理角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.已知在$△ ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，$∠ B = 50°$，$∠ CAD = 15°$，则$∠ BAC$的度数为
55°或25°
。答案
4.55°或25°
解析
【分析】
解题时需先明确AD为BC边上的高，可得∠ADB=90°，但三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。首先可在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合两种情况中∠BAD与∠CAD的位置关系，计算得到∠BAC的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=50°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°。
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°；
2. 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），∠BAC是∠BAD与∠CAD的差：
∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°-15°=25°。
综上，∠BAC的度数为55°或25°。
【答案】
55°或25°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形高的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。解题时要充分考虑三角形高的位置的多种可能性，结合几何图形分类计算，考查对三角形相关性质的掌握和思维的全面性。
【难度系数】
0.6
解题时需先明确AD为BC边上的高，可得∠ADB=90°，但三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论，避免漏解。首先可在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合两种情况中∠BAD与∠CAD的位置关系，计算得到∠BAC的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=50°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°。
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°；
2. 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），∠BAC是∠BAD与∠CAD的差：
∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°-15°=25°。
综上，∠BAC的度数为55°或25°。
【答案】
55°或25°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形高的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。解题时要充分考虑三角形高的位置的多种可能性，结合几何图形分类计算，考查对三角形相关性质的掌握和思维的全面性。
【难度系数】
0.6
5.在$△ ABC$中，$AE$是$△ ABC$的角平分线.
(1)如图①，$AD$是$△ ABC$的高，$∠ B=58°$，$∠ C=32°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图②，点$F$在$EA$的延长线上，$FM⊥ BC$于点$M$，$∠ B=α$，$∠ C=β$，$(α＞β)$，请用含有$α$，$β$的代数式表示$∠ EFM$.
(1)如图①，$AD$是$△ ABC$的高，$∠ B=58°$，$∠ C=32°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图②，点$F$在$EA$的延长线上，$FM⊥ BC$于点$M$，$∠ B=α$，$∠ C=β$，$(α＞β)$，请用含有$α$，$β$的代数式表示$∠ EFM$.
答案
5.解:(1)
∵∠B=58°,∠C=32°,
∴∠BAC=180°−(58°+32°)=90°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°−∠B=90°−58°=32°
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−32°=13°.
(2)
∵∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°−(α+β).
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=90°−$\frac{1}{2}(α+β)$.
∴∠AEB=180°−∠B−∠BAE=90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$.
∵FM⊥BC，
∴∠FME=90°.
∴∠EFM=90°−∠AEB=$\frac{α}{2}−\frac{β}{2}$.
∵∠B=58°,∠C=32°,
∴∠BAC=180°−(58°+32°)=90°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=45°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°−∠B=90°−58°=32°
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−32°=13°.
(2)
∵∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°−(α+β).
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=90°−$\frac{1}{2}(α+β)$.
∴∠AEB=180°−∠B−∠BAE=90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$.
∵FM⊥BC，
∴∠FME=90°.
∴∠EFM=90°−∠AEB=$\frac{α}{2}−\frac{β}{2}$.
解析
【分析】
（1）要求∠DAE的度数，首先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAE的度数；接着根据高线的性质，在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
（2）要求用α、β表示∠EFM，先仿照（1）的思路用α、β表示出∠BAC，再结合角平分线性质得到∠BAE，然后在△ABE中利用内角和定理求出∠AEB的度数；最后根据FM⊥BC，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可推导出∠EFM的表达式。
【解析】
(1)
∵∠B=58°，∠C=32°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(58°+32°)=90°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=90°−58°=32°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−32°=13°。
(2)
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(α+β)。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{1}{2}(α+β)$。
在△ABE中，∠AEB=180°−∠B−∠BAE=180°−α−[90°−$\frac{1}{2}(α+β)$]=90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$。
∵FM⊥BC，
∴∠FME=90°，
∴在Rt△FME中，∠EFM=90°−∠AEB=90°−(90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$)=$\frac{α−β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13°}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{α-β}{2}}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要灵活运用三角形内角和、角平分线、高线的相关性质，解题时要理清各角之间的和差关系，第二问的代数化简要注意符号准确性，是巩固三角形角度计算的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要求∠DAE的度数，首先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAE的度数；接着根据高线的性质，在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
（2）要求用α、β表示∠EFM，先仿照（1）的思路用α、β表示出∠BAC，再结合角平分线性质得到∠BAE，然后在△ABE中利用内角和定理求出∠AEB的度数；最后根据FM⊥BC，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可推导出∠EFM的表达式。
【解析】
(1)
∵∠B=58°，∠C=32°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(58°+32°)=90°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=90°−58°=32°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−32°=13°。
(2)
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(α+β)。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{1}{2}(α+β)$。
在△ABE中，∠AEB=180°−∠B−∠BAE=180°−α−[90°−$\frac{1}{2}(α+β)$]=90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$。
∵FM⊥BC，
∴∠FME=90°，
∴在Rt△FME中，∠EFM=90°−∠AEB=90°−(90°−$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}$)=$\frac{α−β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13°}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{α-β}{2}}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，需要灵活运用三角形内角和、角平分线、高线的相关性质，解题时要理清各角之间的和差关系，第二问的代数化简要注意符号准确性，是巩固三角形角度计算的典型习题。
【难度系数】
0.7
