9.「2025内蒙古呼伦贝尔满洲里期末，★☆」如图，已知$∠ MON$，在$∠ MON$内画一条射线时，图中共有3个角；在$∠ MON$内画两条射线时，图中共有6个角；在$∠ MON$内画三条射线时，图中共有10个角；……按照此规律，在$∠ MON$内画20条射线时，图中角的个数是 ()


A.190
B.380
C.231
D.462

在$∠MON$内画一条射线时，图中共有$2+1=3$个角；在$∠MON$内画两条射线时，图中共有$3+2+1=6$个角；在$∠MON$内画三条射线时，图中共有$4+3+2+1=10$个角；……，则在$∠MON$内画$n$条射线时，图中角的个数为$(n+1)+n+…+1=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$，当$n=20$时，$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×21×22=231$.故选C.

10.「2025山东青岛莱西期中，★☆」计算：
(1)$180° - 37°42'56''$.
(2)$25°36' ×4$.

(1)$180°-37°42'56''=179°59'60''-37°42'56''=142°17'4''$.
(2)$25°36'×4=100°144'=102°24'$.

11. 核心素养运算能力【基础知识】
钟表上,时针每小时转动的角度是$30°$.
(1)时针每分钟转动的角度是$0.5°$,$0.5°$等于多少分?等于多少秒?
【问题初探】
(2)在某一天的5点到6点之间(包括5点整和6点整),假设这一时刻是5点$x$分.
①求时针和分针重合时$x$的值.
②用含有$x$的代数式表示时针与分针的夹角.
【类比分析】
(3)小明17点多开始做作业,他家墙上时钟的时针和分针的夹角是$90°$,他做完作业后还是当天17点多,且时针和分针的夹角还是$90°$,求小明做作业所用时间.

(1)因为$0.5×60'=30'$，$30×60''=1800''$，所以$0.5°=30'$，$0.5°=1800''$.
(2)①根据题意，得$6x-0.5x=5×30$.
解得$x=27\frac{3}{11}$.
所以时针与分针重合时$x$的值为$27\frac{3}{11}$.
②当分针没有超过时针，即$0≤x≤27\frac{3}{11}$时，时针与分针的夹角为$(0.5x+150-6x)°=(150-5.5x)°$；
当分针超过时针，即$27\frac{3}{11}＜x≤60$时，时针与分针的夹角为$(6x-150-0.5x)°=(5.5x-150)°$.
(3)设小明开始做作业的时间是17点$a$分，根据题意，得$150-5.5a=90$，解得$a=\frac{120}{11}$.
设小明做完作业的时间是17点$b$分，根据题意，得$5.5b-150=90$，解得$b=\frac{480}{11}$.
$\frac{480}{11}-\frac{120}{11}=\frac{360}{11}$(分).
所以小明做作业用了$\frac{360}{11}$分.

1.「2026河南平顶山期中」下午2点20分时,钟面时针与分针的夹角(小于$180°$的角)是°。

如图，$∠AOB=∠BOD=\frac{360°}{12}=30°$，$∠COD=30°×\frac{20}{60}=10°$，所以$∠AOC=30°×2-10°=50°$.
故答案为50.

2.「2026河北石家庄正定期中」如图，当时钟指向上午10:15时，时针和分针所成的角（小于180°的角）的度数为。

当时钟指向上午10:15时，时针和分针所成的角(小于180°的角)的度数为$5×30°-15×0.5°=150°-7.5°=142.5°$.

3.某天上午,一个钟表掉在地面上,如图,钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位置.根据图中时针与分针(长针)所指的位置,该钟面所显示的时刻是时分.

观察钟面，时针从整点时刻顺时针转了1个小格，由于分针速度是时针速度的12倍，所以分针从12时处顺时针转了12个小格，因此从分针所在的位置开始逆时针数12个小格便是12时的位置，进而可判断出该钟面所显示的时刻是上午9时12分.