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一、选择题(每题2分,共12分)
1 在下列各式中,是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
C.$\sqrt{a^2 + 4a^4}$
D.$\sqrt{4a^2 - b^2}$
1 在下列各式中,是最简二次根式的是(
D
)。A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
C.$\sqrt{a^2 + 4a^4}$
D.$\sqrt{4a^2 - b^2}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先明确最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个对照两个条件排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：$\sqrt{12}$，被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不符合最简二次根式要求，排除。
选项B：$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$，排除。
选项C：$\sqrt{a^2 + 4a^4}$，先对被开方数因式分解得$\sqrt{a^2(1+4a^2)}$，其中$a^2$是能开得尽方的因式，化简后为$|a|\sqrt{1+4a^2}$，不符合最简二次根式要求，排除。
选项D：$\sqrt{4a^2 - b^2}$，先因式分解被开方数得$\sqrt{(2a+b)(2a-b)}$，两个因式均不含能开得尽方的因式，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的两个条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，因式分解
【点评】
本题核心是对最简二次根式概念的考察，解题时要严格按照两个判定条件逐一核对选项，遇到被开方数为多项式时优先考虑因式分解，确认是否含有完全平方类的因式，避免因未分解直接判断出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先明确最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个对照两个条件排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：$\sqrt{12}$，被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不符合最简二次根式要求，排除。
选项B：$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2a}}{2}$，排除。
选项C：$\sqrt{a^2 + 4a^4}$，先对被开方数因式分解得$\sqrt{a^2(1+4a^2)}$，其中$a^2$是能开得尽方的因式，化简后为$|a|\sqrt{1+4a^2}$，不符合最简二次根式要求，排除。
选项D：$\sqrt{4a^2 - b^2}$，先因式分解被开方数得$\sqrt{(2a+b)(2a-b)}$，两个因式均不含能开得尽方的因式，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的两个条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，因式分解
【点评】
本题核心是对最简二次根式概念的考察，解题时要严格按照两个判定条件逐一核对选项，遇到被开方数为多项式时优先考虑因式分解，确认是否含有完全平方类的因式，避免因未分解直接判断出错。
【难度系数】
0.8
② 下列各式：$\sqrt{\frac{1}{27}}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{\frac{1}{10}}$中，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的有（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）个。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.A
解析
【分析】
要判断哪些是与$\sqrt{2}$的同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。解题步骤为：先将题干中给出的所有二次根式逐一化为最简二次根式，再对比它们的被开方数是否为2，统计符合条件的数量即可。
【解析】
先逐个化简题干中的二次根式：
1. 化简$\sqrt{\frac{1}{27}}$：
$\sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{\frac{3}{27×3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，最简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
2. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，最简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式。
3. $\sqrt{3}$已是最简二次根式，被开方数为3，与2不同，不是同类二次根式。
4. 化简$\sqrt{\frac{1}{10}}$：
$\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{10}{10×10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，最简后被开方数为10，与2不同，不是同类二次根式。
综上，只有$\sqrt{18}$是$\sqrt{2}$的同类二次根式，共1个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同类二次根式的判定
2. 二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心要求是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数，切不可直接观察原式的被开方数就下结论，避免判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是与$\sqrt{2}$的同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。解题步骤为：先将题干中给出的所有二次根式逐一化为最简二次根式，再对比它们的被开方数是否为2，统计符合条件的数量即可。
【解析】
先逐个化简题干中的二次根式：
1. 化简$\sqrt{\frac{1}{27}}$：
$\sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{\frac{3}{27×3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，最简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
2. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，最简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式。
3. $\sqrt{3}$已是最简二次根式，被开方数为3，与2不同，不是同类二次根式。
4. 化简$\sqrt{\frac{1}{10}}$：
$\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{10}{10×10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，最简后被开方数为10，与2不同，不是同类二次根式。
综上，只有$\sqrt{18}$是$\sqrt{2}$的同类二次根式，共1个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同类二次根式的判定
2. 二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心要求是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数，切不可直接观察原式的被开方数就下结论，避免判断错误。
【难度系数】
0.8
3 下列关于x的方程中一定有实数解的是(
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - mx - 1 = 0$
C.$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 - x - m = 0$
B
)。A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - mx - 1 = 0$
C.$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 - x - m = 0$
答案
3.B
解析
【分析】
判断一元二次方程是否有实数解的核心依据是根的判别式：对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数解。解题时我们只需逐个计算四个选项对应方程的判别式，判断判别式是否恒大于等于0即可，对于含参数的方程，要分析参数取任意实数时判别式的取值情况。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程无实数解，排除A；
B. 方程$x^2 - mx - 1 = 0$中，$a=1,b=-m,c=-1$，$\Delta=(-m)^2-4×1×(-1)=m^2+4$，由平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$\Delta=m^2+4≥4＞0$，无论m取何值，方程都有两个不相等的实数解，符合要求；
C. 方程$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\sqrt{2},b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×\sqrt{2}×1=4-4\sqrt{2}＜0$，方程无实数解，排除C；
D. 方程$x^2 - x - m = 0$中，$a=1,b=-1,c=-m$，$\Delta=(-1)^2-4×1×(-m)=1+4m$，当$m＜-\frac{1}{4}$时，$\Delta＜0$，方程无实数解，因此不是一定有实数解，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程实数根存在性的判断，解题关键是熟练掌握根的判别式与方程根的情况的对应关系，分析含参数的方程时要结合代数式的性质判断判别式的取值范围，是一元二次方程部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程是否有实数解的核心依据是根的判别式：对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数解。解题时我们只需逐个计算四个选项对应方程的判别式，判断判别式是否恒大于等于0即可，对于含参数的方程，要分析参数取任意实数时判别式的取值情况。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程无实数解，排除A；
B. 方程$x^2 - mx - 1 = 0$中，$a=1,b=-m,c=-1$，$\Delta=(-m)^2-4×1×(-1)=m^2+4$，由平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$\Delta=m^2+4≥4＞0$，无论m取何值，方程都有两个不相等的实数解，符合要求；
C. 方程$\sqrt{2}x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=\sqrt{2},b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×\sqrt{2}×1=4-4\sqrt{2}＜0$，方程无实数解，排除C；
D. 方程$x^2 - x - m = 0$中，$a=1,b=-1,c=-m$，$\Delta=(-1)^2-4×1×(-m)=1+4m$，当$m＜-\frac{1}{4}$时，$\Delta＜0$，方程无实数解，因此不是一定有实数解，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程实数根存在性的判断，解题关键是熟练掌握根的判别式与方程根的情况的对应关系，分析含参数的方程时要结合代数式的性质判断判别式的取值范围，是一元二次方程部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4 下列从左到右的变形不一定正确的是(
A.$\sqrt{-a} · \sqrt{-b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
C.$\sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
D.$\sqrt{\frac{b}{a^2}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$
B
)。A.$\sqrt{-a} · \sqrt{-b} = \sqrt{ab}$
B.$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
C.$\sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
D.$\sqrt{\frac{b}{a^2}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断二次根式的变形是否正确，首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，且分母不能为0；同时二次根式的乘、除运算性质都有对应的适用前提，我们需要逐个分析每个选项变形的前提条件是否满足，判断变形是否一定成立。
【解析】
根据二次根式的性质逐一分析选项：
1. 选项A：左边$\sqrt{-a} · \sqrt{-b}$有意义，说明$-a≥0$且$-b≥0$，即$a≤0$、$b≤0$，此时$ab≥0$，右边$\sqrt{ab}$有意义，符合二次根式乘法法则，变形一定正确。
2. 选项B：$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，若$a＜0$、$b＜0$，则$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$无意义，变形不成立，所以该变形不一定正确。
3. 选项C：左边$\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，说明$\frac{1}{a}≥0$且$a≠0$，即$a＞0$，此时右边$\frac{1}{\sqrt{a}}$有意义，符合二次根式除法法则，变形一定正确。
4. 选项D：左边$\sqrt{\frac{b}{a^2}}$有意义，说明$a^2≠0$即$a≠0$，且$\frac{b}{a^2}≥0$，因为$a^2＞0$，所以$b≥0$，此时右边$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$有意义，符合二次根式除法法则，变形一定正确。
综上，不一定正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则；二次根式的除法法则
【点评】
本题重点考查二次根式运算性质的适用前提，解题时容易忽略被开方数非负、分母不为0的限定条件导致错误，需先确认变形前后所有二次根式都有意义，再判断等式是否成立。
【难度系数】
0.7
要判断二次根式的变形是否正确，首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，且分母不能为0；同时二次根式的乘、除运算性质都有对应的适用前提，我们需要逐个分析每个选项变形的前提条件是否满足，判断变形是否一定成立。
【解析】
根据二次根式的性质逐一分析选项：
1. 选项A：左边$\sqrt{-a} · \sqrt{-b}$有意义，说明$-a≥0$且$-b≥0$，即$a≤0$、$b≤0$，此时$ab≥0$，右边$\sqrt{ab}$有意义，符合二次根式乘法法则，变形一定正确。
2. 选项B：$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，若$a＜0$、$b＜0$，则$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$无意义，变形不成立，所以该变形不一定正确。
3. 选项C：左边$\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义，说明$\frac{1}{a}≥0$且$a≠0$，即$a＞0$，此时右边$\frac{1}{\sqrt{a}}$有意义，符合二次根式除法法则，变形一定正确。
4. 选项D：左边$\sqrt{\frac{b}{a^2}}$有意义，说明$a^2≠0$即$a≠0$，且$\frac{b}{a^2}≥0$，因为$a^2＞0$，所以$b≥0$，此时右边$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a^2}}$有意义，符合二次根式除法法则，变形一定正确。
综上，不一定正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则；二次根式的除法法则
【点评】
本题重点考查二次根式运算性质的适用前提，解题时容易忽略被开方数非负、分母不为0的限定条件导致错误，需先确认变形前后所有二次根式都有意义，再判断等式是否成立。
【难度系数】
0.7
5 等腰$△ ABC$的一边长为4，另外两边的长是关于$x$的方程$x^2 - 10x + m = 0$的两个实数根，则$m$的值是（
A.24
B.25
C.25或26
D.24或25
D
）。A.24
B.25
C.25或26
D.24或25
答案
5.D
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形三边关系：①若已知边长4为腰长，则4是方程的根，代入方程可求m，再求解方程得到另一边长，验证三边是否可构成三角形；②若已知边长4为底边长，则方程的两个根为两条腰，即方程有两个相等的实数根，通过判别式求m，再验证三边是否符合要求。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为4的边是等腰三角形的腰时：
将$x=4$代入方程$x^2 - 10x + m = 0$，得：
$4^2 - 10×4 + m = 0$
解得$m=24$
此时方程为$x^2 -10x +24=0$，因式分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得两根为4和6。
三角形三边长为4、4、6，满足$4+4＞6$，符合三角形三边关系，该情况成立。
2. 当边长为4的边是等腰三角形的底边时：
此时方程的两个根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-10)^2 -4×1× m=0$
解得$m=25$
此时方程为$x^2 -10x +25=0$，解得两根均为5。
三角形三边长为4、5、5，满足$5+5＞4$，符合三角形三边关系，该情况成立。
综上，m的值为24或25。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易遗漏其中一种情况，或忽略验证三角形三边关系导致错误，做题时需全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
本题需结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形三边关系：①若已知边长4为腰长，则4是方程的根，代入方程可求m，再求解方程得到另一边长，验证三边是否可构成三角形；②若已知边长4为底边长，则方程的两个根为两条腰，即方程有两个相等的实数根，通过判别式求m，再验证三边是否符合要求。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为4的边是等腰三角形的腰时：
将$x=4$代入方程$x^2 - 10x + m = 0$，得：
$4^2 - 10×4 + m = 0$
解得$m=24$
此时方程为$x^2 -10x +24=0$，因式分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得两根为4和6。
三角形三边长为4、4、6，满足$4+4＞6$，符合三角形三边关系，该情况成立。
2. 当边长为4的边是等腰三角形的底边时：
此时方程的两个根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-10)^2 -4×1× m=0$
解得$m=25$
此时方程为$x^2 -10x +25=0$，解得两根均为5。
三角形三边长为4、5、5，满足$5+5＞4$，符合三角形三边关系，该情况成立。
综上，m的值为24或25。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易遗漏其中一种情况，或忽略验证三角形三边关系导致错误，做题时需全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
6 将$(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}$化为最简二次根式的结果为(
A.$\sqrt{1 - a}$
B.$\sqrt{a - 1}$
C.$-\sqrt{1 - a}$
D.$-\sqrt{a - 1}$
C
)。A.$\sqrt{1 - a}$
B.$\sqrt{a - 1}$
C.$-\sqrt{1 - a}$
D.$-\sqrt{a - 1}$
答案
6.C
解析
【分析】
要化简这个式子，首先得明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分母不能为0。第一步先根据这个条件判断出根号外的因式$(a-1)$的符号；第二步再利用二次根式的性质，把根号外的因式移到根号内，注意如果根号外的因式是负数，要把负号留在根号外，最后化简根式得到结果即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，可得：
$-\dfrac{1}{a-1}≥0$，且$a-1≠0$
由此可推出$a-1＜0$，即$1-a＞0$。
对原式变形：
$\begin{aligned}(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}&=-(1-a)\sqrt{\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{1-a}\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的化简
【点评】
本题的易错点是容易忽略根号外因式的符号，直接将$(a-1)$移到根号内导致错误，解题的核心是先根据被开方数的非负性确定未知参数的取值范围，再进行化简运算。
【难度系数】
0.6
要化简这个式子，首先得明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分母不能为0。第一步先根据这个条件判断出根号外的因式$(a-1)$的符号；第二步再利用二次根式的性质，把根号外的因式移到根号内，注意如果根号外的因式是负数，要把负号留在根号外，最后化简根式得到结果即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，可得：
$-\dfrac{1}{a-1}≥0$，且$a-1≠0$
由此可推出$a-1＜0$，即$1-a＞0$。
对原式变形：
$\begin{aligned}(a - 1)\sqrt{-\dfrac{1}{a - 1}}&=-(1-a)\sqrt{\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{(1-a)^2·\dfrac{1}{1-a}}\\&=-\sqrt{1-a}\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的化简
【点评】
本题的易错点是容易忽略根号外因式的符号，直接将$(a-1)$移到根号内导致错误，解题的核心是先根据被开方数的非负性确定未知参数的取值范围，再进行化简运算。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每题3分,共36分)
7 $\sqrt{x} + 1$的一个有理化因式是
7 $\sqrt{x} + 1$的一个有理化因式是
$\sqrt{x}-1$
。答案
7.$\sqrt{x}-1$
解析
【分析】
要找$\sqrt{x} +1$的有理化因式，首先明确有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。观察式子$\sqrt{x} +1$的结构，符合平方差公式中“两数和”的形式，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，只要给它乘“两数差”的形式，就能消去根号，得到不含二次根式的乘积，因此构造$\sqrt{x}-1$验证即可。
【解析】
根据有理化因式的定义，利用平方差公式计算：
$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)=(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$
乘积$x-1$不含二次根式，因此$\sqrt{x}+1$的一个有理化因式是$\sqrt{x}-1$。
【答案】
$\sqrt{x}-1$
【知识点】
有理化因式的定义，平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握有理化因式的判断方法，结合平方差公式的结构特征就能快速找到对应二次根式和差形式的有理化因式，属于二次根式运算中的基础考点。
【难度系数】
0.8
要找$\sqrt{x} +1$的有理化因式，首先明确有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。观察式子$\sqrt{x} +1$的结构，符合平方差公式中“两数和”的形式，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，只要给它乘“两数差”的形式，就能消去根号，得到不含二次根式的乘积，因此构造$\sqrt{x}-1$验证即可。
【解析】
根据有理化因式的定义，利用平方差公式计算：
$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)=(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$
乘积$x-1$不含二次根式，因此$\sqrt{x}+1$的一个有理化因式是$\sqrt{x}-1$。
【答案】
$\sqrt{x}-1$
【知识点】
有理化因式的定义，平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握有理化因式的判断方法，结合平方差公式的结构特征就能快速找到对应二次根式和差形式的有理化因式，属于二次根式运算中的基础考点。
【难度系数】
0.8
⑧ 化简：$\sqrt{4ab^3}$（其中$a＞0$）=
$2b\sqrt{ab}$
。答案
8.$2b\sqrt{ab}$
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需满足二次根式有意义，即被开方数为非负数，结合已知a＞0先判断b的取值范围；再根据二次根式的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），把被开方数中能开得尽方的因数、因式拆分出来，最后利用$\sqrt{x^2}=|x|$化简移到根号外即可。
【解析】
第一步：确定b的取值范围
二次根式有意义要求被开方数非负，即$4ab^3≥0$，已知$a＞0$，$4＞0$，因此$b^3≥0$，可得$b≥0$。
第二步：拆分被开方数并化简
将被开方数拆分为完全平方因式和剩余因式的乘积：
$\sqrt{4ab^3}=\sqrt{4· b^2· ab}$
根据二次根式乘法性质拆分得：
$=\sqrt{4}·\sqrt{b^2}·\sqrt{ab}$
分别计算开方：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{b^2}=|b|=b$（因$b≥0$，绝对值可直接去掉）
合并后得：$2b\sqrt{ab}$
【答案】
$2b\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，解题的易错点是容易忽略先判断b的符号，直接对$\sqrt{b^3}$化简出错，解题时先根据二次根式的非负性确定未知字母的取值范围，再拆分完全平方因式化简即可。
【难度系数】
0.8
要化简二次根式，首先需满足二次根式有意义，即被开方数为非负数，结合已知a＞0先判断b的取值范围；再根据二次根式的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），把被开方数中能开得尽方的因数、因式拆分出来，最后利用$\sqrt{x^2}=|x|$化简移到根号外即可。
【解析】
第一步：确定b的取值范围
二次根式有意义要求被开方数非负，即$4ab^3≥0$，已知$a＞0$，$4＞0$，因此$b^3≥0$，可得$b≥0$。
第二步：拆分被开方数并化简
将被开方数拆分为完全平方因式和剩余因式的乘积：
$\sqrt{4ab^3}=\sqrt{4· b^2· ab}$
根据二次根式乘法性质拆分得：
$=\sqrt{4}·\sqrt{b^2}·\sqrt{ab}$
分别计算开方：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{b^2}=|b|=b$（因$b≥0$，绝对值可直接去掉）
合并后得：$2b\sqrt{ab}$
【答案】
$2b\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，解题的易错点是容易忽略先判断b的符号，直接对$\sqrt{b^3}$化简出错，解题时先根据二次根式的非负性确定未知字母的取值范围，再拆分完全平方因式化简即可。
【难度系数】
0.8
9 若 $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，则 $(xy)^{-2}=$
$\frac{1}{9}$
。答案
9.$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
首先观察式子中存在两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值，再代入原式求出y的值，最后代入$(xy)^{-2}$按照负整数指数幂的运算法则计算即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，被开方数需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，可得：
$y=\sqrt{3-3}+\sqrt{3-3}+1=0+0+1=1$
则$xy=3×1=3$，根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得：
$(xy)^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的突破口是利用二次根式的被开方数为非负数确定x的取值，再代入按规则计算即可，掌握相关基础性质就能快速得分。
【难度系数】
0.8
首先观察式子中存在两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值，再代入原式求出y的值，最后代入$(xy)^{-2}$按照负整数指数幂的运算法则计算即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，被开方数需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+1$，可得：
$y=\sqrt{3-3}+\sqrt{3-3}+1=0+0+1=1$
则$xy=3×1=3$，根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可得：
$(xy)^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的突破口是利用二次根式的被开方数为非负数确定x的取值，再代入按规则计算即可，掌握相关基础性质就能快速得分。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知方程$(x+a)(x-4)=0$和方程$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + b = 0$的根完全相同，则$a+b=$
$-1$
。答案
10.$-1$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先求出第一个因式分解形式的一元二次方程的两个根；第二步，利用两个方程根完全相同的条件，将已知的根$x=4$代入第二个方程，先求出$b$的值；第三步，将$b$代回第二个方程，解出第二个方程的所有根，再根据根相同的条件求出$a$的值；最后计算$a+b$即可。也可以将两个方程都整理为二次项系数相同的标准形式，利用同解方程对应系数相等直接求$a$和$b$，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
1. 求解方程$(x+a)(x-4)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得两个根为$x_1=4$，$x_2=-a$。
2. 因为两个方程根完全相同，所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + b = 0$的根，将$x=4$代入该方程：
$\frac{1}{2} × 4^2 - \frac{3}{2} × 4 + b = 0$
计算得：$8 - 6 + b = 0$，解得$b=-2$。
3. 将$b=-2$代入第二个方程，得$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0$，两边同时乘2消去分母得$x^2 - 3x - 4 = 0$，因式分解为$(x-4)(x+1)=0$，解得根为$x_1=4$，$x_2=-1$。
4. 因为两个方程根完全相同，所以第一个方程的另一个根$-a=-1$，解得$a=1$。
5. 计算$a+b$：$a+b=1+(-2)=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的解、因式分解法解方程、代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心是利用同解方程的根相同的性质求解参数，解题时注意代入计算的符号准确性，熟练掌握一元二次方程的基本解法就能轻松完成。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先求出第一个因式分解形式的一元二次方程的两个根；第二步，利用两个方程根完全相同的条件，将已知的根$x=4$代入第二个方程，先求出$b$的值；第三步，将$b$代回第二个方程，解出第二个方程的所有根，再根据根相同的条件求出$a$的值；最后计算$a+b$即可。也可以将两个方程都整理为二次项系数相同的标准形式，利用同解方程对应系数相等直接求$a$和$b$，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
1. 求解方程$(x+a)(x-4)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得两个根为$x_1=4$，$x_2=-a$。
2. 因为两个方程根完全相同，所以$x=4$是方程$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + b = 0$的根，将$x=4$代入该方程：
$\frac{1}{2} × 4^2 - \frac{3}{2} × 4 + b = 0$
计算得：$8 - 6 + b = 0$，解得$b=-2$。
3. 将$b=-2$代入第二个方程，得$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0$，两边同时乘2消去分母得$x^2 - 3x - 4 = 0$，因式分解为$(x-4)(x+1)=0$，解得根为$x_1=4$，$x_2=-1$。
4. 因为两个方程根完全相同，所以第一个方程的另一个根$-a=-1$，解得$a=1$。
5. 计算$a+b$：$a+b=1+(-2)=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的解、因式分解法解方程、代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心是利用同解方程的根相同的性质求解参数，解题时注意代入计算的符号准确性，熟练掌握一元二次方程的基本解法就能轻松完成。
【难度系数】
0.7
11 若$0 ＜ x ＜ 1$，化简：$\sqrt{(x - \dfrac{1}{x})^2 + 4} - \sqrt{(x + \dfrac{1}{x})^2 - 4} = \underline{\hspace{5em}}$。
答案
11.$2x$
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的式子结构，先将根号下的多项式展开、整理，配方成完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的化简问题，最后结合给定的$0＜x＜1$的取值范围，判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
首先化简两个根号内的代数式：
1. 对第一个根号内的式子展开配方：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 +4 = x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} +4 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = (x+\dfrac{1}{x})^2$
2. 对第二个根号内的式子展开配方：
$(x+\dfrac{1}{x})^2 -4 = x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} -4 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = (x-\dfrac{1}{x})^2$
因此原式可转化为：
$\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})^2} - \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})^2} = \left|x+\dfrac{1}{x}\right| - \left|x-\dfrac{1}{x}\right|$
接下来根据$0＜x＜1$判断绝对值内的符号：
因为$0＜x＜1$，所以$\dfrac{1}{x}＞1＞x$，可得：
$x+\dfrac{1}{x}＞0$，故$\left|x+\dfrac{1}{x}\right|=x+\dfrac{1}{x}$；
$x-\dfrac{1}{x}＜0$，故$\left|x-\dfrac{1}{x}\right|=-(x-\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x}-x$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x+\dfrac{1}{x}) - (\dfrac{1}{x}-x)\\&=x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}+x\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
$2x$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题核心是先将根号内的式子配方为完全平方形式，再结合取值范围判断绝对值内式子的正负，要注意算术平方根的结果具有非负性，去绝对值时不要搞错符号。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察根号内的式子结构，先将根号下的多项式展开、整理，配方成完全平方的形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的化简问题，最后结合给定的$0＜x＜1$的取值范围，判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
首先化简两个根号内的代数式：
1. 对第一个根号内的式子展开配方：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 +4 = x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} +4 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = (x+\dfrac{1}{x})^2$
2. 对第二个根号内的式子展开配方：
$(x+\dfrac{1}{x})^2 -4 = x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} -4 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = (x-\dfrac{1}{x})^2$
因此原式可转化为：
$\sqrt{(x+\dfrac{1}{x})^2} - \sqrt{(x-\dfrac{1}{x})^2} = \left|x+\dfrac{1}{x}\right| - \left|x-\dfrac{1}{x}\right|$
接下来根据$0＜x＜1$判断绝对值内的符号：
因为$0＜x＜1$，所以$\dfrac{1}{x}＞1＞x$，可得：
$x+\dfrac{1}{x}＞0$，故$\left|x+\dfrac{1}{x}\right|=x+\dfrac{1}{x}$；
$x-\dfrac{1}{x}＜0$，故$\left|x-\dfrac{1}{x}\right|=-(x-\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x}-x$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x+\dfrac{1}{x}) - (\dfrac{1}{x}-x)\\&=x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}+x\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
$2x$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题核心是先将根号内的式子配方为完全平方形式，再结合取值范围判断绝对值内式子的正负，要注意算术平方根的结果具有非负性，去绝对值时不要搞错符号。
【难度系数】
0.7
⑫ 若最简二次根式$\sqrt[2a-4]{3a+b}$与$\sqrt{a-b}$是同类根式，则$a-2b=$
9
。答案
12.9
解析
【分析】
解决本题需要先明确最简同类二次根式的成立条件：第一，二者都是二次根式，因此根指数必须为2；第二，题目已说明是最简二次根式，所以同类根式要求被开方数相等。我们先根据根指数的条件求出a的值，再代入被开方数相等的关系式求出b的值，最后计算a-2b的结果即可。
【解析】
∵ 两个式子是最简二次根式且为同类根式
∴ 第一步：二次根式的根指数为2，可列方程：
$2a-4=2$
解得：$2a=6$，$a=3$
第二步：同类最简二次根式被开方数相等，可列方程：
$3a+b=a-b$
移项整理得：$2a=-2b$，即$b=-a$
把$a=3$代入得：$b=-3$
第三步：计算$a-2b$的值：
将$a=3$，$b=-3$代入得：
$a-2b=3-2×(-3)=3+6=9$
【答案】
9
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式；解一元一次方程
【点评】
本题核心是考查同类二次根式的概念，解题的关键是牢牢抓住同类二次根式的两个判定条件，易错点是容易忽略根指数的限制，直接只列被开方数相等的式子导致解题错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确最简同类二次根式的成立条件：第一，二者都是二次根式，因此根指数必须为2；第二，题目已说明是最简二次根式，所以同类根式要求被开方数相等。我们先根据根指数的条件求出a的值，再代入被开方数相等的关系式求出b的值，最后计算a-2b的结果即可。
【解析】
∵ 两个式子是最简二次根式且为同类根式
∴ 第一步：二次根式的根指数为2，可列方程：
$2a-4=2$
解得：$2a=6$，$a=3$
第二步：同类最简二次根式被开方数相等，可列方程：
$3a+b=a-b$
移项整理得：$2a=-2b$，即$b=-a$
把$a=3$代入得：$b=-3$
第三步：计算$a-2b$的值：
将$a=3$，$b=-3$代入得：
$a-2b=3-2×(-3)=3+6=9$
【答案】
9
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式；解一元一次方程
【点评】
本题核心是考查同类二次根式的概念，解题的关键是牢牢抓住同类二次根式的两个判定条件，易错点是容易忽略根指数的限制，直接只列被开方数相等的式子导致解题错误。
【难度系数】
0.7
