登录
23 先化简,再求值:$\dfrac{(1-x)^2}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x^2+1-2x}}{x^2-x}(x＜1)$,其中$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5}$。
答案
23.原式$=x - 1 - \dfrac{1}{x}$。当$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6} + 5}$时,原式$=\dfrac{1}{2\sqrt{6} + 5} - 1 -(2\sqrt{6} + 5) = -4\sqrt{6} - 1$。
解析
【分析】
拿到这道题首先观察式子结构，包含分式和二次根式，解题思路分两步走：第一步先化简式子，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的$x＜1$的条件确定绝对值化简后的符号，再分别对两个分式约分得到最简形式；第二步代入$x$求值，注意$x$是分数形式，可先求$x$的倒数和对$x$有理化，简化计算过程。
【解析】
解：$\because x＜1$，$\therefore x-1＜0$
化简原式：
1. 处理第一个分式：
$\dfrac{(1-x)^2}{x-1}=\dfrac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$（$x≠1$，符合题意）
2. 处理第二个分式：
根号内可整理为完全平方形式：$\sqrt{x^2+1-2x}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
结合$x＜1$得$|x-1|=1-x$，分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$
$\therefore \dfrac{\sqrt{x^2+1-2x}}{x^2-x}=\dfrac{1-x}{x(x-1)}=\dfrac{-(x-1)}{x(x-1)}=-\dfrac{1}{x}$（$x≠0$，符合题意）
综上，原式化简为：$x-1-\dfrac{1}{x}$
代入$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5}$：
先对$x$有理化：$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5}=\dfrac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}=\dfrac{2\sqrt{6}-5}{24-25}=5-2\sqrt{6}$，且$\dfrac{1}{x}=2\sqrt{6}+5$
代入得：
原式$=(5-2\sqrt{6})-1-(2\sqrt{6}+5)$
$=5-2\sqrt{6}-1-2\sqrt{6}-5$
$=-4\sqrt{6}-1$
【答案】
$-4\sqrt{6}-1$
【知识点】
分式化简；二次根式的性质；二次根式求值
【点评】
本题考查分式与二次根式的综合化简能力，解题关键是根据$x$的取值范围正确去掉二次根式的绝对值符号，代入求值时灵活运用有理化和倒数的性质，能有效降低计算难度，减少运算错误。
【难度系数】
0.6
拿到这道题首先观察式子结构，包含分式和二次根式，解题思路分两步走：第一步先化简式子，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的$x＜1$的条件确定绝对值化简后的符号，再分别对两个分式约分得到最简形式；第二步代入$x$求值，注意$x$是分数形式，可先求$x$的倒数和对$x$有理化，简化计算过程。
【解析】
解：$\because x＜1$，$\therefore x-1＜0$
化简原式：
1. 处理第一个分式：
$\dfrac{(1-x)^2}{x-1}=\dfrac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$（$x≠1$，符合题意）
2. 处理第二个分式：
根号内可整理为完全平方形式：$\sqrt{x^2+1-2x}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$
结合$x＜1$得$|x-1|=1-x$，分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$
$\therefore \dfrac{\sqrt{x^2+1-2x}}{x^2-x}=\dfrac{1-x}{x(x-1)}=\dfrac{-(x-1)}{x(x-1)}=-\dfrac{1}{x}$（$x≠0$，符合题意）
综上，原式化简为：$x-1-\dfrac{1}{x}$
代入$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5}$：
先对$x$有理化：$x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5}=\dfrac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}=\dfrac{2\sqrt{6}-5}{24-25}=5-2\sqrt{6}$，且$\dfrac{1}{x}=2\sqrt{6}+5$
代入得：
原式$=(5-2\sqrt{6})-1-(2\sqrt{6}+5)$
$=5-2\sqrt{6}-1-2\sqrt{6}-5$
$=-4\sqrt{6}-1$
【答案】
$-4\sqrt{6}-1$
【知识点】
分式化简；二次根式的性质；二次根式求值
【点评】
本题考查分式与二次根式的综合化简能力，解题关键是根据$x$的取值范围正确去掉二次根式的绝对值符号，代入求值时灵活运用有理化和倒数的性质，能有效降低计算难度，减少运算错误。
【难度系数】
0.6
24 某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元。经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量会减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量会增加 10 个。因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 180 个，商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少元？
答案
24.设每个商品的定价是$x$元,由题意,得$(x - 40)[180 - 10(x - 52)] = 2000$,整理得$x^2 - 110x + 3000 = 0$,解得$x_1=50, x_2=60$。当$x=50$时,进货$180 - 10 × (50 - 52) = 200$个$＞ 180$个,不符合题意,舍去;当$x=60$时,进货$180 - 10(60 - 52) = 100$个$＜ 180$个,符合题意。所以当该商品每个定价为 60 元时,进货 100 个。
解析
【分析】
这是销售利润类的实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”的等量关系列方程求解。第一步先设定价为x元，单个商品利润为（x-40）元；第二步表示销售数量：定价为52元时可售180个，定价每增加1元销量减少10个，因此销量可表示为[180-10(x-52)]个；第三步根据总利润为2000元列一元二次方程；第四步解方程得到两个定价的解后，结合“进货个数不得超过180个”的限制条件，分别计算对应进货量，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
解：设每个商品的定价是$x$元，由题意得：
单个商品的利润为$(x-40)$元，销售量为$[180 - 10(x - 52)]$个，根据总利润的等量关系列方程：
$(x - 40)[180 - 10(x - 52)] = 2000$
整理方程：
$(x-40)(700-10x)=2000$
$x^2 - 110x + 3000 = 0$
因式分解得$(x-50)(x-60)=0$，解得$x_1=50, x_2=60$。
检验进货量是否符合要求：
当$x=50$时，进货量为$180 - 10 × (50 - 52) = 200$个，$200＞180$，不符合进货量限制，舍去；
当$x=60$时，进货量为$180 - 10(60 - 52) = 100$个，$100＜180$，符合题意。
【答案】
应进货100个，每个定价为60元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；根的合理性检验
【点评】
本题属于典型的实际应用类方程问题，解题时首先要找准利润相关的等量关系正确列方程，需要特别注意题目中附加的限制条件，对解得的方程根逐一验证合理性，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.6
这是销售利润类的实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”的等量关系列方程求解。第一步先设定价为x元，单个商品利润为（x-40）元；第二步表示销售数量：定价为52元时可售180个，定价每增加1元销量减少10个，因此销量可表示为[180-10(x-52)]个；第三步根据总利润为2000元列一元二次方程；第四步解方程得到两个定价的解后，结合“进货个数不得超过180个”的限制条件，分别计算对应进货量，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
解：设每个商品的定价是$x$元，由题意得：
单个商品的利润为$(x-40)$元，销售量为$[180 - 10(x - 52)]$个，根据总利润的等量关系列方程：
$(x - 40)[180 - 10(x - 52)] = 2000$
整理方程：
$(x-40)(700-10x)=2000$
$x^2 - 110x + 3000 = 0$
因式分解得$(x-50)(x-60)=0$，解得$x_1=50, x_2=60$。
检验进货量是否符合要求：
当$x=50$时，进货量为$180 - 10 × (50 - 52) = 200$个，$200＞180$，不符合进货量限制，舍去；
当$x=60$时，进货量为$180 - 10(60 - 52) = 100$个，$100＜180$，符合题意。
【答案】
应进货100个，每个定价为60元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；根的合理性检验
【点评】
本题属于典型的实际应用类方程问题，解题时首先要找准利润相关的等量关系正确列方程，需要特别注意题目中附加的限制条件，对解得的方程根逐一验证合理性，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.6
25 已知$a+b+c -6\sqrt{a-2} -10\sqrt{b+1} -2\sqrt{c-3}=-31$，求$a+b+c$的值。
答案
25.因为$a + b + c - 6\sqrt{a - 2} - 10\sqrt{b + 1} - 2\sqrt{c - 3} = -31$,
所以$(a - 2 - 6\sqrt{a - 2} + 9) + (b + 1 - 10\sqrt{b + 1} + 25) + (c - 3 - 2\sqrt{c - 3} + 1) - 31 = -31$,
所以$(\sqrt{a - 2} - 3)^2 + (\sqrt{b + 1} - 5)^2 + (\sqrt{c - 3} - 1)^2 = 0$,
所以$\sqrt{a - 2} = 3, \sqrt{b + 1} = 5, \sqrt{c - 3} = 1$,解得$a=11, b=24, c=4$。
所以$a + b + c = 11 + 24 + 4 = 39$。
所以$(a - 2 - 6\sqrt{a - 2} + 9) + (b + 1 - 10\sqrt{b + 1} + 25) + (c - 3 - 2\sqrt{c - 3} + 1) - 31 = -31$,
所以$(\sqrt{a - 2} - 3)^2 + (\sqrt{b + 1} - 5)^2 + (\sqrt{c - 3} - 1)^2 = 0$,
所以$\sqrt{a - 2} = 3, \sqrt{b + 1} = 5, \sqrt{c - 3} = 1$,解得$a=11, b=24, c=4$。
所以$a + b + c = 11 + 24 + 4 = 39$。
解析
【分析】
本题是含二次根式的等式求值问题，解题核心思路是利用配方法凑完全平方，结合非负数的性质求解。首先观察等式中出现的$\sqrt{a-2}$、$\sqrt{b+1}$、$\sqrt{c-3}$，可将$a$、$b$、$c$分别拆分为与根号内表达式相关的形式，再分别凑成完全平方公式的结构，根据几个非负数的和为0时每个非负数均为0的性质，求出$a$、$b$、$c$的值，最后计算$a+b+c$即可。
【解析】
已知$a+b+c -6\sqrt{a-2} -10\sqrt{b+1} -2\sqrt{c-3}=-31$，
将等式左边拆分重组凑完全平方：
$(a-2 -6\sqrt{a-2} +9)+(b+1 -10\sqrt{b+1} +25)+(c-3 -2\sqrt{c-3} +1) -31 = -31$，
整理得$(\sqrt{a-2} -3)^2 + (\sqrt{b+1} -5)^2 + (\sqrt{c-3} -1)^2 = 0$。
因为平方数具有非负性，所以每个平方项均为0：
$\sqrt{a-2}=3$，解得$a=3^2+2=11$；
$\sqrt{b+1}=5$，解得$b=5^2-1=24$；
$\sqrt{c-3}=1$，解得$c=1^2+3=4$。
因此$a+b+c=11+24+4=39$。
【答案】
39
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数求值类的典型题型，解题关键是能够观察式子结构，灵活运用配方法将含根号的式子凑成完全平方形式，再结合非负数的性质求出未知量的值，熟练掌握配方法的技巧是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
本题是含二次根式的等式求值问题，解题核心思路是利用配方法凑完全平方，结合非负数的性质求解。首先观察等式中出现的$\sqrt{a-2}$、$\sqrt{b+1}$、$\sqrt{c-3}$，可将$a$、$b$、$c$分别拆分为与根号内表达式相关的形式，再分别凑成完全平方公式的结构，根据几个非负数的和为0时每个非负数均为0的性质，求出$a$、$b$、$c$的值，最后计算$a+b+c$即可。
【解析】
已知$a+b+c -6\sqrt{a-2} -10\sqrt{b+1} -2\sqrt{c-3}=-31$，
将等式左边拆分重组凑完全平方：
$(a-2 -6\sqrt{a-2} +9)+(b+1 -10\sqrt{b+1} +25)+(c-3 -2\sqrt{c-3} +1) -31 = -31$，
整理得$(\sqrt{a-2} -3)^2 + (\sqrt{b+1} -5)^2 + (\sqrt{c-3} -1)^2 = 0$。
因为平方数具有非负性，所以每个平方项均为0：
$\sqrt{a-2}=3$，解得$a=3^2+2=11$；
$\sqrt{b+1}=5$，解得$b=5^2-1=24$；
$\sqrt{c-3}=1$，解得$c=1^2+3=4$。
因此$a+b+c=11+24+4=39$。
【答案】
39
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数求值类的典型题型，解题关键是能够观察式子结构，灵活运用配方法将含根号的式子凑成完全平方形式，再结合非负数的性质求出未知量的值，熟练掌握配方法的技巧是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
