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1.「2026云南玉溪五中期中」二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与$x$轴的交点有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
令y=0,则$x^2-4x+2=0$,$\because \Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4×1×2=8＞0$,$\therefore$ 二次函数$y=x^2-4x+2$的图象与x轴的交点有2个,故选C.
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数：令函数解析式中y=0，得到一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的取值判断实根个数，其中Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。
【解析】
解：令y=0，可得一元二次方程：$x^2 -4x +2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8$，
∵$\Delta = 8 ＞ 0$，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与x轴有2个交点。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式符号与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可将问题转化为判断对应一元二次方程的实根个数：令函数解析式中y=0，得到一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的取值判断实根个数，其中Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。
【解析】
解：令y=0，可得一元二次方程：$x^2 -4x +2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8$，
∵$\Delta = 8 ＞ 0$，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与x轴有2个交点。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式符号与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 学科特色多解法「2026 四川绵阳涪城期中」二次函数 $y=-x^2+bx+3$ 的部分图象如图所示，则一元二次方程 $-x^2+bx+3=0$ 的根为（
A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=1,x_2=-1$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-3$
D
）A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=1,x_2=-1$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-3$
答案
【解法一】$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,与x轴的一个交点为$(1,0)$,$\therefore$ 抛物线与x轴的另外一个交点为$(-3,0)$,$\therefore$ 一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$.故选D.
【解法二】由图象可设一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2$,则$x_1x_2=-3$,解得$x_2=-3$,$\therefore$ 一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$.故选D.
【解法三】将$(1,0)$代入抛物线解析式中得$-1+b+3=0$,$\therefore b=-2$,$\therefore y=-x^2-2x+3$,令$y=0$,则$-x^2-2x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$,$\therefore$ 一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$.故选D.
【解法二】由图象可设一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2$,则$x_1x_2=-3$,解得$x_2=-3$,$\therefore$ 一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$.故选D.
【解法三】将$(1,0)$代入抛物线解析式中得$-1+b+3=0$,$\therefore b=-2$,$\therefore y=-x^2-2x+3$,令$y=0$,则$-x^2-2x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$,$\therefore$ 一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先从图像提取关键信息：二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且图像与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，即一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的一个根是$x=1$。可通过三种思路求解：1. 利用二次函数对称性：抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点和对称轴即可求出另一个交点，对应方程的另一个根；2. 利用韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知$a$、$c$和其中一个根即可求另一个根；3. 先将已知交点代入解析式求出参数$b$，再解方程得到两个根。
【解析】
解法一：由图像得二次函数对称轴为直线$x=-1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$。
因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，两交点到对称轴的距离相等，$1-(-1)=2$，因此另一个交点的横坐标为$-1-2=-3$，即另一个交点为$(-3,0)$。
所以一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$。
解法二：设方程$-x^2+bx+3=0$的两个根为$x_1=1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{-1}=-3$，代入$x_1=1$得$x_2=-3$，即方程的根为$x_1=1,x_2=-3$。
解法三：将$(1,0)$代入$y=-x^2+bx+3$得：$-1+b+3=0$，解得$b=-2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2-2x+3$，令$y=0$得$-x^2-2x+3=0$，因式分解得$-(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理
【点评】
本题考查二次函数图像性质与一元二次方程的关联，可选择多种方法求解，解题核心是能从图像中提取有效信息，熟练掌握二次函数和对应一元二次方程的转化逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时首先从图像提取关键信息：二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且图像与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，即一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的一个根是$x=1$。可通过三种思路求解：1. 利用二次函数对称性：抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点和对称轴即可求出另一个交点，对应方程的另一个根；2. 利用韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知$a$、$c$和其中一个根即可求另一个根；3. 先将已知交点代入解析式求出参数$b$，再解方程得到两个根。
【解析】
解法一：由图像得二次函数对称轴为直线$x=-1$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$。
因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，两交点到对称轴的距离相等，$1-(-1)=2$，因此另一个交点的横坐标为$-1-2=-3$，即另一个交点为$(-3,0)$。
所以一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$。
解法二：设方程$-x^2+bx+3=0$的两个根为$x_1=1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{-1}=-3$，代入$x_1=1$得$x_2=-3$，即方程的根为$x_1=1,x_2=-3$。
解法三：将$(1,0)$代入$y=-x^2+bx+3$得：$-1+b+3=0$，解得$b=-2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2-2x+3$，令$y=0$得$-x^2-2x+3=0$，因式分解得$-(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理
【点评】
本题考查二次函数图像性质与一元二次方程的关联，可选择多种方法求解，解题核心是能从图像中提取有效信息，熟练掌握二次函数和对应一元二次方程的转化逻辑。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，根据图象回答问题.
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的解是
(2)方程$ax^2+bx+c=-3$的解是
(3)方程$ax^2+bx+c=5$的解是
(4)方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
(5)方程$ax^2+bx+c=-6$的解的情况怎样？
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的解是
$x_1=-1,x_2=3$
.(2)方程$ax^2+bx+c=-3$的解是
$x_1=0,x_2=2$
.(3)方程$ax^2+bx+c=5$的解是
$x_1=-2,x_2=4$
.(4)方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
$x_1=x_2=1$
.(5)方程$ax^2+bx+c=-6$的解的情况怎样？
答案
(1)$x_1=-1,x_2=3$.
(2)$x_1=0,x_2=2$.
(3)$x_1=-2,x_2=4$.
(4)$x_1=x_2=1$.
(5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
(2)$x_1=0,x_2=2$.
(3)$x_1=-2,x_2=4$.
(4)$x_1=x_2=1$.
(5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
解析
【分析】
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=k$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标；若两个图象没有交点，则对应方程无实数解。解题时先从图象提取关键信息：抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，顶点坐标为$(1,-4)$（即函数最小值为$-4$），再分别找到各小问中对应$y$值对应的横坐标即可。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的解对应抛物线与$y=0$（x轴）交点的横坐标，由图可知交点横坐标为$-1$和$3$，故解为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$的解对应抛物线与$y=-3$交点的横坐标，由图可知$y=-3$时，横坐标为$0$和$2$，故解为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=5$的解对应抛物线与$y=5$交点的横坐标，由图可知$y=5$时，横坐标为$-2$和$4$，故解为$x_1=-2,x_2=4$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-4$的解对应抛物线与$y=-4$交点的横坐标，抛物线顶点为$(1,-4)$，仅与$y=-4$有1个交点，故解为$x_1=x_2=1$。
(5) 由图象可知二次函数的最小值为$-4$，$-6＜-4$，故抛物线与直线$y=-6$没有交点，因此方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$
(2)$x_1=0,x_2=2$
(3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$
(5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将解方程的问题转化为找函数图象交点横坐标的问题，只要熟练掌握二次函数图象的性质，理解函数与方程的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=k$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标；若两个图象没有交点，则对应方程无实数解。解题时先从图象提取关键信息：抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，顶点坐标为$(1,-4)$（即函数最小值为$-4$），再分别找到各小问中对应$y$值对应的横坐标即可。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的解对应抛物线与$y=0$（x轴）交点的横坐标，由图可知交点横坐标为$-1$和$3$，故解为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$的解对应抛物线与$y=-3$交点的横坐标，由图可知$y=-3$时，横坐标为$0$和$2$，故解为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=5$的解对应抛物线与$y=5$交点的横坐标，由图可知$y=5$时，横坐标为$-2$和$4$，故解为$x_1=-2,x_2=4$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-4$的解对应抛物线与$y=-4$交点的横坐标，抛物线顶点为$(1,-4)$，仅与$y=-4$有1个交点，故解为$x_1=x_2=1$。
(5) 由图象可知二次函数的最小值为$-4$，$-6＜-4$，故抛物线与直线$y=-6$没有交点，因此方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$
(2)$x_1=0,x_2=2$
(3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$
(5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将解方程的问题转化为找函数图象交点横坐标的问题，只要熟练掌握二次函数图象的性质，理解函数与方程的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4.「2026重庆月考改编」已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是（
A.$x≤-2$或$x≥4$
B.$-2＜x＜4$
C.$-2＜x≤4$
D.$x＜-2$或$x＞4$
D
）A.$x≤-2$或$x≥4$
B.$-2＜x＜4$
C.$-2＜x≤4$
D.$x＜-2$或$x＞4$
答案
由函数$y=ax^2+bx+c$图象可知,当$x＜-2$或$x＞4$时,函数图象在x轴的上方,即$ax^2+bx+c＞0$,$\therefore ax^2+bx+c＞0$的解集为$x＜-2$或$x＞4$,故选D.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0时自变量$x$的取值范围，对应到图象上就是找图象位于x轴上方的部分对应的x的取值。首先观察图象确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合开口方向判断x轴上方图象对应的x范围，注意交点处函数值为0，不满足$＞0$的条件，所以端点值不取。
【解析】
观察二次函数图象可知，抛物线开口向上，与x轴交于点$(-2,0)$和$(4,0)$。
不等式$ax^2+bx+c＞0$即函数值$y＞0$，对应图象中位于x轴上方的部分，该部分对应的自变量$x$的取值为$x＜-2$或$x＞4$，因此不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$x＜-2$或$x＞4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的图象性质 2.二次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是将代数的不等式问题转化为二次函数图象的位置问题，能够直观快速得到解集，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0时自变量$x$的取值范围，对应到图象上就是找图象位于x轴上方的部分对应的x的取值。首先观察图象确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合开口方向判断x轴上方图象对应的x范围，注意交点处函数值为0，不满足$＞0$的条件，所以端点值不取。
【解析】
观察二次函数图象可知，抛物线开口向上，与x轴交于点$(-2,0)$和$(4,0)$。
不等式$ax^2+bx+c＞0$即函数值$y＞0$，对应图象中位于x轴上方的部分，该部分对应的自变量$x$的取值为$x＜-2$或$x＞4$，因此不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$x＜-2$或$x＞4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的图象性质 2.二次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是将代数的不等式问题转化为二次函数图象的位置问题，能够直观快速得到解集，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
5.「2026 贵州黔东南州期中」如图,抛物线$y=x^2+bx$与直线$y=kx+2$相交于点$A(-2,0)$和点$B$.
(1)求$b$和$k$的值.
(2)求点$B$的坐标,并结合图象写出不等式$kx+2≤x^2+bx$的解集.
(1)求$b$和$k$的值.
(2)求点$B$的坐标,并结合图象写出不等式$kx+2≤x^2+bx$的解集.
答案
(1)把$A(-2,0)$代入$y=x^2+bx$得$4-2b=0$,解得$b=2$.
把$A(-2,0)$代入$y=kx+2$得$-2k+2=0$,解得$k=1$.
(2)由(1)知抛物线解析式为$y=x^2+2x$,直线解析式为$y=x+2$,
联立得$\begin{cases}y=x^2+2x,\\y=x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=1,\\y_2=3,\end{cases}$$\therefore B(1,3)$,
由图象可知$kx+2≤x^2+bx$的解集为$x≤-2$或$x≥1$.
把$A(-2,0)$代入$y=kx+2$得$-2k+2=0$,解得$k=1$.
(2)由(1)知抛物线解析式为$y=x^2+2x$,直线解析式为$y=x+2$,
联立得$\begin{cases}y=x^2+2x,\\y=x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=1,\\y_2=3,\end{cases}$$\therefore B(1,3)$,
由图象可知$kx+2≤x^2+bx$的解集为$x≤-2$或$x≥1$.
解析
【分析】
（1）点在函数图象上时，点的坐标满足该函数的解析式，已知公共点A的坐标，将其分别代入抛物线和直线的表达式，即可得到关于b、k的一元一次方程，解方程就能求出两个参数的值。
（2）求出b、k后可得到两个函数的完整解析式，两个函数图象的交点坐标就是两个解析式联立组成的方程组的解，解方程组后排除已知的A点坐标，即可得到B点坐标。不等式$kx+2≤x^2+bx$的几何意义是直线图象在抛物线图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标观察图象就能直接写出解集。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+bx$，得：
$(-2)^2 -2b = 0$，即$4-2b=0$，解得$b=2$。
将点$A(-2,0)$代入直线解析式$y=kx+2$，得：
$-2k + 2 = 0$，解得$k=1$。
(2) 由(1)可得，抛物线解析式为$y=x^2+2x$，直线解析式为$y=x+2$。
联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+2\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，整理得$x^2 +x -2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
把$x=1$代入$y=x+2$，得$y=3$，因此点B的坐标为$(1,3)$。
观察图象可知，当$x≤-2$或$x≥1$时，直线位于抛物线下方（含交点），满足$kx+2≤x^2+bx$，因此不等式的解集为$x≤-2$或$x≥1$。
【答案】
(1) $b=2$，$k=1$；
(2) 点B的坐标为$(1,3)$，不等式$kx+2≤x^2+bx$的解集为$x≤-2$或$x≥1$。
【知识点】
1. 待定系数法
2. 函数交点求解
3. 函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是理解点坐标与函数解析式的关系、函数交点与方程组的关系、不等式与函数图象位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
（1）点在函数图象上时，点的坐标满足该函数的解析式，已知公共点A的坐标，将其分别代入抛物线和直线的表达式，即可得到关于b、k的一元一次方程，解方程就能求出两个参数的值。
（2）求出b、k后可得到两个函数的完整解析式，两个函数图象的交点坐标就是两个解析式联立组成的方程组的解，解方程组后排除已知的A点坐标，即可得到B点坐标。不等式$kx+2≤x^2+bx$的几何意义是直线图象在抛物线图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标观察图象就能直接写出解集。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+bx$，得：
$(-2)^2 -2b = 0$，即$4-2b=0$，解得$b=2$。
将点$A(-2,0)$代入直线解析式$y=kx+2$，得：
$-2k + 2 = 0$，解得$k=1$。
(2) 由(1)可得，抛物线解析式为$y=x^2+2x$，直线解析式为$y=x+2$。
联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+2\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，整理得$x^2 +x -2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
把$x=1$代入$y=x+2$，得$y=3$，因此点B的坐标为$(1,3)$。
观察图象可知，当$x≤-2$或$x≥1$时，直线位于抛物线下方（含交点），满足$kx+2≤x^2+bx$，因此不等式的解集为$x≤-2$或$x≥1$。
【答案】
(1) $b=2$，$k=1$；
(2) 点B的坐标为$(1,3)$，不等式$kx+2≤x^2+bx$的解集为$x≤-2$或$x≥1$。
【知识点】
1. 待定系数法
2. 函数交点求解
3. 函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是理解点坐标与函数解析式的关系、函数交点与方程组的关系、不等式与函数图象位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
6.「★☆」如图所示的为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，在下列说法中：
①$ac＜0$；②方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1,x_2=3$；③$a+b+c＞0$；④当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；⑤$b^2-4ac＞0$。正确的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
①$ac＜0$；②方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1,x_2=3$；③$a+b+c＞0$；④当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；⑤$b^2-4ac＞0$。正确的有（
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
$\because$ 抛物线开口向上,$\therefore a＞0$,$\because$ 抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上,$\therefore c＜0$,$\therefore ac＜0$,$\therefore$ ①正确;
$\because$ 图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore$ ②正确;
把$x=1$代入$y=ax^2+bx+c$得$y=a+b+c$,由函数图象可知当$x=1$时,$y＜0$,即$a+b+c＜0$,$\therefore$ ③错误;$\because$ 图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$,则当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ ④正确;$\because$ 图象与x轴有两个交点,$\therefore b^2-4ac＞0$,$\therefore$ ⑤正确.
故选C.
$\because$ 图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore$ ②正确;
把$x=1$代入$y=ax^2+bx+c$得$y=a+b+c$,由函数图象可知当$x=1$时,$y＜0$,即$a+b+c＜0$,$\therefore$ ③错误;$\because$ 图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$,则当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ ④正确;$\because$ 图象与x轴有两个交点,$\therefore b^2-4ac＞0$,$\therefore$ ⑤正确.
故选C.
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断类问题，要结合图象信息逐个分析结论：首先通过抛物线开口方向判断a的符号，结合与y轴交点位置判断c的符号，可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标直接对应一元二次方程的根，可判断②；代入x=1，观察对应函数值的正负即可判断③；先利用x轴两交点坐标求出对称轴，再结合开口方向判断函数增减性，可判断④；根据抛物线与x轴交点个数和判别式的关系判断⑤即可。
【解析】
我们逐个分析5个结论：
1. 分析①：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴$c＜0$，因此$ac＜0$，①正确。
2. 分析②：
∵图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，即当$x=-1$、$x=3$时$y=0$，
∴方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1,x_2=3$，②正确。
3. 分析③：把$x=1$代入$y=ax^2+bx+c$得$y=a+b+c$，观察图象可知$x=1$时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，
∴$a+b+c＜0$，③错误。
4. 分析④：抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，又
∵抛物线开口向上，
∴当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，④正确。
5. 分析⑤：
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即$b^2-4ac＞0$，⑤正确。
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数系数与图象；二次函数与一元二次方程；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础综合题，核心是结合图象信息推导函数性质及相关结论，属于二次函数章节的常考题型，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断类问题，要结合图象信息逐个分析结论：首先通过抛物线开口方向判断a的符号，结合与y轴交点位置判断c的符号，可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标直接对应一元二次方程的根，可判断②；代入x=1，观察对应函数值的正负即可判断③；先利用x轴两交点坐标求出对称轴，再结合开口方向判断函数增减性，可判断④；根据抛物线与x轴交点个数和判别式的关系判断⑤即可。
【解析】
我们逐个分析5个结论：
1. 分析①：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴$c＜0$，因此$ac＜0$，①正确。
2. 分析②：
∵图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，即当$x=-1$、$x=3$时$y=0$，
∴方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1,x_2=3$，②正确。
3. 分析③：把$x=1$代入$y=ax^2+bx+c$得$y=a+b+c$，观察图象可知$x=1$时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，
∴$a+b+c＜0$，③错误。
4. 分析④：抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，又
∵抛物线开口向上，
∴当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，④正确。
5. 分析⑤：
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即$b^2-4ac＞0$，⑤正确。
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数系数与图象；二次函数与一元二次方程；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础综合题，核心是结合图象信息推导函数性质及相关结论，属于二次函数章节的常考题型，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
