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7.「2025湖北武汉中考，★★」已知二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$（$a$为常数，且$a≠0$）.下列五个结论：①该函数图象经过点$(-1,0)$；②若$a=-1$，则当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；③该函数图象与$x$轴有两个不同的交点；④若$a＞2$，则关于$x$的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1；⑤若$a＞2$，则关于$x$的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个.
其中正确的是
其中正确的是
①②④⑤
（填写序号）.答案
把$x=-1$代入二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$中,得$y=a-a+2-2=0$,故该函数图象经过点$(-1,0)$,故①正确;当$a=-1$时,该二次函数图象开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{a-2}{2a}=-\frac{3}{2}$,故当$x＞-\frac{3}{2}$时,$y$随$x$的增大而减小,因此当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小,故②正确;$\because \Delta=(a-2)^2+8a=(a+2)^2\ge0$,$\therefore$ 该函数图象与x轴有两个不同交点或只有一个交点,故③错误;由①可知关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根为$-1$,设另一个根为$x_2$,由根与系数的关系可知$-1· x_2=-\frac{2}{a}$,$\therefore x_2=\frac{2}{a}$,当$a＞2$时,$0＜\frac{2}{a}＜1$,即关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1,故④正确;
当$a＞2$时,对称轴为直线$x=\frac{2-a}{2a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}＜0$,
由$ax^2+(a-2)x-2=-2$得$ax^2+(a-2)x=0$,$\therefore x(ax+a-2)=0$,$\therefore x=0$或$x=\frac{2}{a}-1$,可知关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=-2$有两个非正解,
将$y=ax^2+(a-2)x-2$在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象,
令$y=2$,则直线$y=2$与$y=|ax^2+(a-2)x-2|$共有4个不同交点,其中只有最右侧交点横坐标为正,其余都为非正,即关于x的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个,故⑤正确.
故答案为①②④⑤.
解析
【分析】
我们需要对5个结论逐一判断：①将x=-1代入函数解析式验证y是否为0即可判断；②当a=-1时，先确定函数开口方向，计算对称轴，再结合二次函数增减性判断；③计算二次函数对应的一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断与x轴交点个数；④已知函数过(-1,0)，即方程一个根为-1，利用根与系数的关系求出另一个根，结合a＞2的范围判断根的范围；⑤将绝对值方程转化为两个一元二次方程，分别求解，结合a＞2的条件以及函数图象翻折的性质判断正根的个数。
【解析】
1. 验证结论①：把$x=-1$代入二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$，得$y=a· (-1)^2 + (a-2)· (-1) -2 = a - a +2 -2=0$，因此函数图象经过点$(-1,0)$，①正确。
2. 验证结论②：当$a=-1$时，二次函数解析式为$y=-x^2-3x-2$，$\because a=-1＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2× (-1)}=-\frac{3}{2}$，开口向下时，在对称轴右侧y随x增大而减小，$\because x＞-1 ＞ -\frac{3}{2}$，因此当$x＞-1$时，y随x的增大而减小，②正确。
3. 验证结论③：二次函数对应的一元二次方程为$ax^2+(a-2)x-2=0$，判别式$\Delta=(a-2)^2 -4· a· (-2)=(a-2)^2 +8a=a^2+4a+4=(a+2)^2≥0$，当$a=-2$时，$\Delta=0$，此时函数图象与x轴只有1个交点，因此“有两个不同交点”的说法错误，③错误。
4. 验证结论④：由①可知方程$ax^2+(a-2)x-2=0$的一个根为$x=-1$，设另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=-\frac{2}{a}$，即$-1· x_2=-\frac{2}{a}$，解得$x_2=\frac{2}{a}$。当$a＞2$时，$0＜\frac{2}{a}＜1$，即方程有一个根大于0且小于1，④正确。
5. 验证结论⑤：方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$等价于$ax^2+(a-2)x-2=2$或$ax^2+(a-2)x-2=-2$：
先解$ax^2+(a-2)x-2=-2$，整理得$ax^2+(a-2)x=0$，因式分解得$x(ax+a-2)=0$，解得$x=0$或$x=\frac{2-a}{a}=\frac{2}{a}-1$，当$a＞2$时，$\frac{2}{a}-1＜0$，因此这两个根都是非正根；
将$y=ax^2+(a-2)x-2$在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象，
当$a＞2$时，二次函数开口向上，对称轴$x=\frac{2-a}{2a}＜0$，直线$y=2$与翻折后的函数图象共有4个交点，仅最右侧的交点横坐标为正，其余均为非正，因此方程的正数根只有1个，⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根与系数的关系
【点评】
本题综合性较强，需要逐个分析多个结论，涉及代入验证、判别式应用、韦达定理、函数图象翻折等多种方法，能较好考查对二次函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
我们需要对5个结论逐一判断：①将x=-1代入函数解析式验证y是否为0即可判断；②当a=-1时，先确定函数开口方向，计算对称轴，再结合二次函数增减性判断；③计算二次函数对应的一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断与x轴交点个数；④已知函数过(-1,0)，即方程一个根为-1，利用根与系数的关系求出另一个根，结合a＞2的范围判断根的范围；⑤将绝对值方程转化为两个一元二次方程，分别求解，结合a＞2的条件以及函数图象翻折的性质判断正根的个数。
【解析】
1. 验证结论①：把$x=-1$代入二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$，得$y=a· (-1)^2 + (a-2)· (-1) -2 = a - a +2 -2=0$，因此函数图象经过点$(-1,0)$，①正确。
2. 验证结论②：当$a=-1$时，二次函数解析式为$y=-x^2-3x-2$，$\because a=-1＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2× (-1)}=-\frac{3}{2}$，开口向下时，在对称轴右侧y随x增大而减小，$\because x＞-1 ＞ -\frac{3}{2}$，因此当$x＞-1$时，y随x的增大而减小，②正确。
3. 验证结论③：二次函数对应的一元二次方程为$ax^2+(a-2)x-2=0$，判别式$\Delta=(a-2)^2 -4· a· (-2)=(a-2)^2 +8a=a^2+4a+4=(a+2)^2≥0$，当$a=-2$时，$\Delta=0$，此时函数图象与x轴只有1个交点，因此“有两个不同交点”的说法错误，③错误。
4. 验证结论④：由①可知方程$ax^2+(a-2)x-2=0$的一个根为$x=-1$，设另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=-\frac{2}{a}$，即$-1· x_2=-\frac{2}{a}$，解得$x_2=\frac{2}{a}$。当$a＞2$时，$0＜\frac{2}{a}＜1$，即方程有一个根大于0且小于1，④正确。
5. 验证结论⑤：方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$等价于$ax^2+(a-2)x-2=2$或$ax^2+(a-2)x-2=-2$：
先解$ax^2+(a-2)x-2=-2$，整理得$ax^2+(a-2)x=0$，因式分解得$x(ax+a-2)=0$，解得$x=0$或$x=\frac{2-a}{a}=\frac{2}{a}-1$，当$a＞2$时，$\frac{2}{a}-1＜0$，因此这两个根都是非正根；
将$y=ax^2+(a-2)x-2$在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象，
当$a＞2$时，二次函数开口向上，对称轴$x=\frac{2-a}{2a}＜0$，直线$y=2$与翻折后的函数图象共有4个交点，仅最右侧的交点横坐标为正，其余均为非正，因此方程的正数根只有1个，⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根与系数的关系
【点评】
本题综合性较强，需要逐个分析多个结论，涉及代入验证、判别式应用、韦达定理、函数图象翻折等多种方法，能较好考查对二次函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8.「2025江苏连云港中考，★☆」已知二次函数 $y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$，$a$ 为常数。
(1)若该二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，求 $a$ 的取值范围。
(2)若该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $a$ 的值。
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点。
(1)若该二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，求 $a$ 的取值范围。
(2)若该二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $a$ 的值。
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点。
答案
(1)$\because$ 二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$中,二次项系数$1＞0$,$\therefore$ 二次函数的图象开口向上,
$\because$ 二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点,
$\therefore$ 二次函数的最小值小于$2a^2$,
则$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2＜2a^2$,
解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)$\because$ 二次函数的图象与x轴有交点,
$\therefore x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根,
$\therefore \Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2\ge0$,$\therefore 8(a-1)^2\le0$,
又$\because 8(a-1)^2\ge0$,$\therefore 8(a-1)^2=0$,
解得$a_1=a_2=1$.$\therefore a$的值为1.
(3)证明:当$x=0$时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,
$\therefore$ 二次函数的图象不经过原点.
$\because$ 二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点,
$\therefore$ 二次函数的最小值小于$2a^2$,
则$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2＜2a^2$,
解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)$\because$ 二次函数的图象与x轴有交点,
$\therefore x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根,
$\therefore \Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2\ge0$,$\therefore 8(a-1)^2\le0$,
又$\because 8(a-1)^2\ge0$,$\therefore 8(a-1)^2=0$,
解得$a_1=a_2=1$.$\therefore a$的值为1.
(3)证明:当$x=0$时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,
$\therefore$ 二次函数的图象不经过原点.
解析
【分析】
本题围绕二次函数与方程的关系设置三个小问，解题思路如下：
(1) 二次函数图象与直线$y=2a^2$有两个交点，结合开口向上的二次函数性质，只要函数最小值小于直线纵坐标即可，通过计算顶点纵坐标列不等式求解。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式$\Delta≥0$，计算判别式后结合平方的非负性即可求出$a$的值。
(3) 要证函数图象不经过原点，只需验证原点$(0,0)$不满足函数解析式，即代入$x=0$时$y$的值恒不为0，通过配方判断代数式的正负性即可证明。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$的二次项系数$1＞0$，图象开口向上。
因为函数图象与直线$y=2a^2$有两个交点，所以二次函数的最小值小于$2a^2$。
二次函数的最小值为：
$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$
列不等式：$2a^2-4a+2＜2a^2$
解得$a＞\frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，即一元二次方程$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根，因此$\Delta≥0$。
计算判别式：
$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2$
因此$-8(a-1)^2≥0$，即$8(a-1)^2≤0$。
又因为$8(a-1)^2≥0$，所以$8(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：当$x=0$时，$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}$，
因为$3(a-\frac{1}{3})^2≥0$，所以$y=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}≥\frac{8}{3}＞0$，
即$x=0$时$y$恒大于0，不可能为0，因此该二次函数的图象不经过原点。
【答案】
(1) $a＞\frac{1}{2}$
(2) $a=1$
(3) 证明见解析
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式
3. 二次函数最值
【点评】
本题是二次函数交点问题的基础题型，三个小问层层递进，核心考查函数与方程的转化思想，通过判别式、代入验证等方法即可解决，能有效巩固二次函数与方程结合的相关知识。
【难度系数】
0.75
本题围绕二次函数与方程的关系设置三个小问，解题思路如下：
(1) 二次函数图象与直线$y=2a^2$有两个交点，结合开口向上的二次函数性质，只要函数最小值小于直线纵坐标即可，通过计算顶点纵坐标列不等式求解。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式$\Delta≥0$，计算判别式后结合平方的非负性即可求出$a$的值。
(3) 要证函数图象不经过原点，只需验证原点$(0,0)$不满足函数解析式，即代入$x=0$时$y$的值恒不为0，通过配方判断代数式的正负性即可证明。
【解析】
(1) 二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$的二次项系数$1＞0$，图象开口向上。
因为函数图象与直线$y=2a^2$有两个交点，所以二次函数的最小值小于$2a^2$。
二次函数的最小值为：
$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$
列不等式：$2a^2-4a+2＜2a^2$
解得$a＞\frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，即一元二次方程$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$有实数根，因此$\Delta≥0$。
计算判别式：
$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2$
因此$-8(a-1)^2≥0$，即$8(a-1)^2≤0$。
又因为$8(a-1)^2≥0$，所以$8(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：当$x=0$时，$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}$，
因为$3(a-\frac{1}{3})^2≥0$，所以$y=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}≥\frac{8}{3}＞0$，
即$x=0$时$y$恒大于0，不可能为0，因此该二次函数的图象不经过原点。
【答案】
(1) $a＞\frac{1}{2}$
(2) $a=1$
(3) 证明见解析
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式
3. 二次函数最值
【点评】
本题是二次函数交点问题的基础题型，三个小问层层递进，核心考查函数与方程的转化思想，通过判别式、代入验证等方法即可解决，能有效巩固二次函数与方程结合的相关知识。
【难度系数】
0.75
9.「2026 河北邯郸十一中期中，★☆」问题提出：
我们已经学习了一元二次方程,二次函数,能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集?
例如:解一元二次不等式 $x^2 -5x＞0$.
解:根据不等式特征构造二次函数 $y=x^2 -5x$,
当 $y=0$ 时,可得方程 $x^2 -5x=0$,解得 $x_1=0,x_2=5$,则抛物线 $y=x^2 -5x$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(5,0)$.画出二次函数 $y=x^2 -5x$ 的大致图象(如图1所示).
由图象可知:当 $x＜0$ 或 $x＞5$ 时,函数图象位于 $x$ 轴上方,即 $x^2 -5x＞0$,
所以一元二次不等式 $x^2 -5x＞0$ 的解集为 $x＜0$ 或 $x＞5$.
(1)仿照上面的解题方法解一元二次不等式:
$x^2 -2x -3＞0$.
(2)二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 的图象如图2所示,根据图象回答问题:若不等式 $ax^2 +bx +c＞k$ 无解,则 $k$ 的取值范围为
(3)若一元二次不等式 $x^2 +ax +2a -3＞0$ 的解集为全体实数,则 $a$ 的取值范围为
我们已经学习了一元二次方程,二次函数,能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集?
例如:解一元二次不等式 $x^2 -5x＞0$.
解:根据不等式特征构造二次函数 $y=x^2 -5x$,
当 $y=0$ 时,可得方程 $x^2 -5x=0$,解得 $x_1=0,x_2=5$,则抛物线 $y=x^2 -5x$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(5,0)$.画出二次函数 $y=x^2 -5x$ 的大致图象(如图1所示).
由图象可知:当 $x＜0$ 或 $x＞5$ 时,函数图象位于 $x$ 轴上方,即 $x^2 -5x＞0$,
所以一元二次不等式 $x^2 -5x＞0$ 的解集为 $x＜0$ 或 $x＞5$.
(1)仿照上面的解题方法解一元二次不等式:
$x^2 -2x -3＞0$.
(2)二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 的图象如图2所示,根据图象回答问题:若不等式 $ax^2 +bx +c＞k$ 无解,则 $k$ 的取值范围为
$k\ge2$
.(3)若一元二次不等式 $x^2 +ax +2a -3＞0$ 的解集为全体实数,则 $a$ 的取值范围为
$2＜a＜6$
.答案
(1)令$x^2-2x-3=0$,
解得$x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore$ 抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$,$(3,0)$.
又$\because$ 抛物线的开口向上,
$\therefore x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$.
(2)根据题中图象可得$y=ax^2+bx+c$的最大值为2,
$\therefore ax^2+bx+c\le2$,
$\because$ 不等式$ax^2+bx+c＞k$无解,
$\therefore y=ax^2+bx+c$的最大值都不大于k.
$\therefore k\ge2$,故答案为$k\ge2$.
(3)当抛物线$y=x^2+ax+2a-3$与x轴无交点时,
$a^2-4(2a-3)＜0$,
整理得$a^2-8a+12＜0$,即$(a-2)(a-6)＜0$,$\therefore 2＜a＜6$.
故答案为$2＜a＜6$.
解得$x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore$ 抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$,$(3,0)$.
又$\because$ 抛物线的开口向上,
$\therefore x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$.
(2)根据题中图象可得$y=ax^2+bx+c$的最大值为2,
$\therefore ax^2+bx+c\le2$,
$\because$ 不等式$ax^2+bx+c＞k$无解,
$\therefore y=ax^2+bx+c$的最大值都不大于k.
$\therefore k\ge2$,故答案为$k\ge2$.
(3)当抛物线$y=x^2+ax+2a-3$与x轴无交点时,
$a^2-4(2a-3)＜0$,
整理得$a^2-8a+12＜0$,即$(a-2)(a-6)＜0$,$\therefore 2＜a＜6$.
故答案为$2＜a＜6$.
解析
【分析】
本题考查二次函数与一元二次不等式的结合应用，解题思路如下：
(1) 仿照题中示例方法：先构造与不等式对应的二次函数，求解对应一元二次方程的根得到抛物线与x轴的交点，再结合抛物线开口方向，找到函数图象在x轴上方对应的x的取值范围，即为不等式的解集。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞k$无解，说明二次函数的所有函数值都不大于k，结合图象找到二次函数的最大值，即可确定k的取值范围。
(3) 不等式解集为全体实数，说明开口向上的抛物线恒在x轴上方，即抛物线与x轴无交点，利用一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可。
【解析】
(1) 构造二次函数$y=x^2-2x-3$，令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
$\therefore$ 抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
观察图象可知：当$x＜-1$或$x＞3$时，函数图象位于x轴上方，此时$y＞0$，即$x^2-2x-3＞0$，
$\therefore$ 一元二次不等式$x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$。
(2) 由图2可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口向下，顶点纵坐标为2，即函数的最大值为2，
$\therefore$ 对任意x，都有$ax^2+bx+c\le2$，
若不等式$ax^2+bx+c＞k$无解，说明不存在x使得$ax^2+bx+c＞k$，即函数最大值$\le k$，
$\therefore k\ge2$。
(3) 构造二次函数$y=x^2 +ax +2a -3$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
若一元二次不等式$x^2 +ax +2a -3＞0$的解集为全体实数，说明抛物线恒在x轴上方，即抛物线与x轴无交点，
$\therefore$ 对应一元二次方程$x^2 +ax +2a -3=0$无实根，判别式$\Delta＜0$，
即$\Delta=a^2-4×1×(2a-3)＜0$，
整理得$a^2-8a+12＜0$，因式分解得$(a-2)(a-6)＜0$，
解得$2＜a＜6$。
【答案】
(1) $x＜-1$或$x＞3$
(2) $k\ge2$
(3) $2＜a＜6$
【知识点】
二次函数与不等式的关系，二次函数的最值，根的判别式的应用
【点评】
本题以数形结合思想为核心，将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者结合考查，解题的关键是理解图象与不等式解集的对应关系，属于二次函数应用的基础题型，能很好地锻炼学生知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数与一元二次不等式的结合应用，解题思路如下：
(1) 仿照题中示例方法：先构造与不等式对应的二次函数，求解对应一元二次方程的根得到抛物线与x轴的交点，再结合抛物线开口方向，找到函数图象在x轴上方对应的x的取值范围，即为不等式的解集。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞k$无解，说明二次函数的所有函数值都不大于k，结合图象找到二次函数的最大值，即可确定k的取值范围。
(3) 不等式解集为全体实数，说明开口向上的抛物线恒在x轴上方，即抛物线与x轴无交点，利用一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可。
【解析】
(1) 构造二次函数$y=x^2-2x-3$，令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
$\therefore$ 抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
观察图象可知：当$x＜-1$或$x＞3$时，函数图象位于x轴上方，此时$y＞0$，即$x^2-2x-3＞0$，
$\therefore$ 一元二次不等式$x^2-2x-3＞0$的解集为$x＜-1$或$x＞3$。
(2) 由图2可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口向下，顶点纵坐标为2，即函数的最大值为2，
$\therefore$ 对任意x，都有$ax^2+bx+c\le2$，
若不等式$ax^2+bx+c＞k$无解，说明不存在x使得$ax^2+bx+c＞k$，即函数最大值$\le k$，
$\therefore k\ge2$。
(3) 构造二次函数$y=x^2 +ax +2a -3$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
若一元二次不等式$x^2 +ax +2a -3＞0$的解集为全体实数，说明抛物线恒在x轴上方，即抛物线与x轴无交点，
$\therefore$ 对应一元二次方程$x^2 +ax +2a -3=0$无实根，判别式$\Delta＜0$，
即$\Delta=a^2-4×1×(2a-3)＜0$，
整理得$a^2-8a+12＜0$，因式分解得$(a-2)(a-6)＜0$，
解得$2＜a＜6$。
【答案】
(1) $x＜-1$或$x＞3$
(2) $k\ge2$
(3) $2＜a＜6$
【知识点】
二次函数与不等式的关系，二次函数的最值，根的判别式的应用
【点评】
本题以数形结合思想为核心，将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者结合考查，解题的关键是理解图象与不等式解集的对应关系，属于二次函数应用的基础题型，能很好地锻炼学生知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
10. 核心素养 几何直观 「2025 四川南充中考」已知某函数图象关于$y$轴对称,当$0≤ x≤ 2$时,$y=x^2-2x$;当$x＞2$时,$y=2x-4$.若直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数$b$的取值范围是（
A.$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\dfrac{9}{4}＜b＜-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ b≤ 0$
D.$b≤ -\dfrac{1}{4}$或$b＞0$
A
）A.$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\dfrac{9}{4}＜b＜-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}≤ b≤ 0$
D.$b≤ -\dfrac{1}{4}$或$b＞0$
答案
$\because$ 函数图象关于y轴对称,当$0≤x≤2$时,$y=x^2-2x$,当$x＞2$时,$y=2x-4$.
$\therefore$ 当$-2≤x＜0$时,$y=x^2+2x$,当$x＜-2$时,$y=-2x-4$.
函数图象如图.
联立$\begin{cases}y=x^2+2x,\\y=x+b,\end{cases}$得$x^2+x-b=0$,
当$\Delta=1+4b=0$,即$b=-\frac{1}{4}$时,直线$y=x+b$与函数$y=x^2+2x$的图象只有一个交点,
此时直线$y=x+b$与函数图象有三个不同交点;
当直线$y=x+b$过$(0,0)$时,$b=0$,此时直线$y=x+b$与函数图象有三个不同交点.
结合图象可知,当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时,直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点.
故选A.
解析
【分析】
解题时首先利用函数图象关于y轴对称的性质，由已知x≥0时的函数解析式推导x＜0时的分段解析式，得到完整的函数表达式。接下来要确定直线$y=x+b$与函数有4个交点的b的范围，需先找到两个临界情况：一是直线和x负半轴的二次函数段相切时的b值，二是直线过原点时的b值，最后结合图象判断两个临界之间的范围即为所求。
【解析】
∵ 函数图象关于y轴对称，当$0≤x≤2$时，$y=x^2-2x$，当$x＞2$时，$y=2x-4$，
∴ 当$-2≤x＜0$时，$-x\in(0,2]$，代入x≥0的对应解析式得$y=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$；当$x＜-2$时，$-x＞2$，代入得$y=2(-x)-4=-2x-4$。
函数图象如图：
联立$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+b\end{cases}$，整理得一元二次方程$x^2+x-b=0$，
当判别式$\Delta=1^2-4×1×(-b)=1+4b=0$，即$b=-\dfrac{1}{4}$时，直线$y=x+b$与$y=x^2+2x$的图象相切，仅存在1个交点，此时直线与整个函数图象共有3个不同交点；
当直线$y=x+b$过点$(0,0)$时，代入得$0=0+b$，即$b=0$，此时直线与函数图象也共有3个不同交点。
结合图象可知，当$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$时，直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点。
故选A。
【答案】A
【知识点】
函数图象对称性，二次函数与一元二次方程，一次函数图象性质
【点评】
本题结合了函数对称性、一次函数与分段函数的交点问题，核心考查数形结合思想，找准相切、过特殊点两个临界状态是解题的关键，能很好地体现对几何直观核心素养的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用函数图象关于y轴对称的性质，由已知x≥0时的函数解析式推导x＜0时的分段解析式，得到完整的函数表达式。接下来要确定直线$y=x+b$与函数有4个交点的b的范围，需先找到两个临界情况：一是直线和x负半轴的二次函数段相切时的b值，二是直线过原点时的b值，最后结合图象判断两个临界之间的范围即为所求。
【解析】
∵ 函数图象关于y轴对称，当$0≤x≤2$时，$y=x^2-2x$，当$x＞2$时，$y=2x-4$，
∴ 当$-2≤x＜0$时，$-x\in(0,2]$，代入x≥0的对应解析式得$y=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$；当$x＜-2$时，$-x＞2$，代入得$y=2(-x)-4=-2x-4$。
函数图象如图：
联立$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+b\end{cases}$，整理得一元二次方程$x^2+x-b=0$，
当判别式$\Delta=1^2-4×1×(-b)=1+4b=0$，即$b=-\dfrac{1}{4}$时，直线$y=x+b$与$y=x^2+2x$的图象相切，仅存在1个交点，此时直线与整个函数图象共有3个不同交点；
当直线$y=x+b$过点$(0,0)$时，代入得$0=0+b$，即$b=0$，此时直线与函数图象也共有3个不同交点。
结合图象可知，当$-\dfrac{1}{4}＜b＜0$时，直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点。
故选A。
【答案】A
【知识点】
函数图象对称性，二次函数与一元二次方程，一次函数图象性质
【点评】
本题结合了函数对称性、一次函数与分段函数的交点问题，核心考查数形结合思想，找准相切、过特殊点两个临界状态是解题的关键，能很好地体现对几何直观核心素养的考查。
【难度系数】
0.6
