7. 在平面直角坐标系中,已知直线$ l $与$ y $轴交于点$(0, -3)$,且该直线向上方向与$ x $轴正方向所夹的锐角为$α$,若$\tan α = \frac{3}{4}$,则直线$ l $的表达式为________.

7 $y=\frac{3}{4}x-3$ 设直线 l 的表达式为 $y=kx+b$,由题意可知 $k=\tan α=\frac{3}{4}$,把$(0,-3)$代入,得 $b=-3$,故直线 l 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x-3$.

8. 跨学科·物理 [2025芜湖镜湖区二模]中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理. 在图2中，AB呈水平状态，AE，CD为法线，$∠ BCD = ∠ ACD = 41°$，$∠ CAE = 37°$，$AE ⊥ AB$，已知$AB = 11\sqrt{2}$米，则镜面上点C到水盆A的距离约为米.（结果精确到0.1米，参考数据：$\sin 82° \approx 0.99$，$\cos 82° \approx 0.14$，$\tan 82° \approx 7.12$）

8 11.1 如图,过点 A 作 AF⊥BC,垂足为 F,则∠AFB=∠AFC=90°.
∵ EA⊥AB,
∴ ∠EAB=90°,
∴ ∠CAB=∠EAB-∠EAC=90°-37°=53°.
∵ ∠BCD=∠ACD=41°,
∴ ∠ACB=82°,
∴ ∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=45°. 在Rt△ABF中,∠ABC=45°,
∴ $AF=AB·\sin45°=11\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=11$(米). 在Rt△ACF中,∠ACB=82°,
∴ $AC=\frac{AF}{\sin82°}≈\frac{11}{0.99}≈11.1$(米),
∴ 镜面上点 C 到水盆 A 的距离约为 11.1 米.

9. 一题多解 学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件. 零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC = 90°，∠BAD = 53°，AB = 10 cm，BC = 6 cm. 求零件的截面面积.（参考数据：$\sin 53° \approx 0.80$，$\cos 53° \approx 0.60$）

9 解:
∵ 四边形 AEFD 为矩形,
∴ AD//EF,∠E=∠F=90°,
∴ ∠EBA=∠BAD=53°.
在Rt△ABE中,∠E=90°,AB=10 cm,∠EBA=53°,
∴ $\sin∠EBA=\frac{AE}{AB}≈0.80$,$\cos∠EBA=\frac{BE}{AB}≈0.60$,
∴ AE=8 cm,BE=6 cm.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠FBC=90°-∠EBA=37°,
∴ ∠BCF=90°-∠FBC=53°.
在Rt△BCF中,∠F=90°,BC=6 cm,
∴ $\sin∠BCF=\frac{BF}{BC}≈0.80$,$\cos∠BCF=\frac{FC}{BC}≈0.60$,
∴ BF=4.8 cm,FC=3.6 cm,
∴ EF=BE+BF=6+4.8=10.8(cm),
∴ $S_{四边形EFDA}=AE·EF=8×10.8=86.4(cm^2)$,
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE·BE=\frac{1}{2}×8×6=24(cm^2)$,
$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}BF·CF=\frac{1}{2}×4.8×3.6=8.64(cm^2)$,
∴ 零件的截面面积约为 $S_{四边形EFDA}-S_{△ ABE}-S_{△ BCF}=86.4-24-8.64=53.76(cm^2)$. (和差法是求不规则图形面积的常用方法)
另解 如图,延长 AB 交 DC 的延长线于点 M.
∵ 四边形 AEFD 为矩形,
∴ ∠D=90°,
∴ ∠M+∠BAD=90°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠M+∠BCM=90°,
∴ ∠BCM=∠BAD=53°.
在Rt△BCM中,∠MBC=90°,BC=6 cm,∠BCM=53°,
∴ $\cos∠BCM=\frac{BC}{CM}≈0.60$,
∴ CM=10 cm,
由勾股定理,得 $BM=\sqrt{CM^2-BC^2}=8$ cm,
∴ AM=AB+BM=10+8=18(cm).
在Rt△ADM中,∠D=90°,AM=18 cm,∠MAD=53°,
∴ AD=AM·cos∠MAD≈10.8 cm,
DM=AM·sin∠MAD≈14.4 cm,
∴ 零件的截面面积约为 $S_{△ ADM}-S_{△ BCM}=\frac{1}{2}AD·DM-\frac{1}{2}BC·BM=53.76(cm^2)$.

10. [2025湖南中考]如图,某处有一个晾衣装置,固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B,D,AB=19分米,CD＞AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米,一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合),且直线MN⊥l.
(1)如图1,当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时,点E到直线AB的距离EG等于12分米,求该连衣裙MN的长度;
(2)如图2,为避免该连衣裙接触到地面,在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧),若∠BAE=76.1°,求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米.
(结果保留整数,参考数据:$\sin 76.1° \approx 0.97$, $\cos 76.1° \approx 0.24$, $\tan 76.1° \approx 4.04$)

10 解题思路:(1)在Rt△AGM中,由勾股定理求 AG 的长,进而得 BG 的长;由四边形 BNMG 是矩形,得 MN 的长.
(2)过点 E 作 EK⊥AB 于点 K,解Rt△AKE,再由线段数量关系即可求出答案.
解:(1)由题意可知,在Rt△AGM中,AM=13 分米,MG=12 分米,
由勾股定理,得 $AG=\sqrt{AM^2-MG^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$(分米),
∴ MN=BG=AB-AG=19-5=14(分米),即该连衣裙 MN 的长度为 14 分米.
(2)如图,过点 E 作 EK⊥AB 于点 K.
在Rt△AKE中,AE=13,∠BAE=76.1°,
∴ AK=AE·cos76.1°=13×0.24=3.12(分米),
∴ BK=AB-AK=19-3.12=15.88(分米),
∴ BK-MN=15.88-14=1.88≈2(分米),
即该连衣裙下端 N 点到地面水平线 l 的距离约为 2 分米.

11. 运算能力 [2025 盐城中考]一种遮阳伞如图,遮阳伞支架 AB 垂直于地面 BC,点 D 在 AB 上,AD = 0.6 m,D,E,F 三点共线,DF = 3DE = 3AE.当太阳光线与 DF 垂直时,它与地面的夹角正好为 60°,则 DF 落在地面上的影子 GH = m.

11 $\frac{6}{5}\sqrt{3}$ 如图,过点 E 作 EM⊥AD 于点 M,过点 G 作 GN⊥FH 于点 N,
∴ ∠MED+∠MDE=90°,
∵ ∠EDG=∠MDE+∠BDG=90°,
∴ ∠MED=∠BDG.
∵ DG//FH,
∴ ∠DGB=∠FHG=60°,
∴ ∠MED=∠BDG=90°-∠DGB=30°.
∵ AE=DE,
∴ $DM=\frac{1}{2}AD=0.3$ m,
∴ DE=2DM=0.6 m,
∴ DF=3DE=1.8 m.
∵ ∠FDG=∠F=∠GNF=90°,
∴ 四边形 DGNF 是矩形,
∴ GN=DF=1.8 m. 在Rt△GNH中,∠GHN=60°,
∴ $GH=\frac{GN}{\sin60°}=\frac{1.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{5}\sqrt{3}(m)$.