1. 新情境 [2026苏州期中]雪上项目占据了2026年米兰冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等.如图，某滑雪运动员在坡比为1：2.4的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米.

1 35 如图，∠C=90°,tan∠B=1:2.4,设AC=k米,则BC=2.4k米,由勾股定理,得AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = 2.6k 米,
∵ AB=91 米,
∴ 2.6k=91,解得k=35,
∴ AC=35 米.

2. [2025聊城段考]如图,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,$∠ACB=45°$,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使$∠D=30°$,则CD的长度约为米.(参考数据:$\sqrt{2}≈1.414,\sqrt{3}≈1.732$)

2 3.66 在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,
∴ AC=AB=5 米. 在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∠BAD=90°,
∴ $\frac{AB}{AD}$=tan∠ADB,
∴ $AD=\frac{AB}{\tan30°}=5\sqrt{3}$(米),
∴ $CD=AD-AC=5\sqrt{3}-5≈8.66-5=3.66$(米).

3. 教材P144例6变式 水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固. 原大坝的横断面是四边形ABCD，AD//BC，如图所示，已知迎水坡AB的长为10 m，∠ABC=60°，背水坡DC的长为$10\sqrt{3}$ m. 加固后大坝的横断面为四边形ABED，且CE的长为5 m.
(1)若需加固的大坝长100 m，求需要填土多少立方米；
(2)求新大坝背水坡DE的坡度.(计算结果保留根号)

3 解:(1)如图,过点A,D 作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G.

在Rt△ABF中,AB=10 m,∠ABC=60°,
∵ $\sin B=\frac{AF}{AB}$,即 $\sin60°=\frac{AF}{10}$,
∴ $AF=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}(m)$,
∴ $DG=5\sqrt{3}$ m,
∴ $S_{△ DCE}=\frac{1}{2}CE·DG=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}(m^2)$,
∴ 需要填土 $100×\frac{25\sqrt{3}}{2}=1250\sqrt{3}(m^3)$.
答:需要填土 $1250\sqrt{3}\ m^3$.
(2)在Rt△DGC中,$DC=10\sqrt{3}$ m,
∴ $GC=\sqrt{DC^2-DG^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=15(m)$,
∴ $GE=GC+CE=15+5=20(m)$,
∴ 背水坡 DE 的坡度 $i=\frac{DG}{GE}=\frac{5\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}:4$.
答:新大坝背水坡 DE 的坡度为$\sqrt{3}:4$.

4. 新情境［2025青海中考］【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：如图，当支架与地面形成$65°$夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成$65°$夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为$1.8\ \mathrm{m}$，插入地下的部分为$0.3\ \mathrm{m}$，竹竿与地面接触点间距为$0.6\ \mathrm{m}$，且与地面所形成的夹角均为$65°$.
环节二：数学抽象
如图：已知线段$AB$与$CD$交于点$O$，$AB$，$CD$与直线$l$分别交于点$E$，$F$，$AB = CD = 1.8\ \mathrm{m}$，$BE = DF = 0.3\ \mathrm{m}$，$∠ AEF = ∠ CFE = 65°$，$EF = 0.6\ \mathrm{m}$，求$OE$的长度.（结果精确到$0.1$，参考数据：$\sin 65° \approx 0.91$，$\cos 65° \approx 0.42$，$\tan 65° \approx 2.14$）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点$O$距顶端$A$的长度$OA$为$\mathrm{m}$时，支架与地面形成$65°$夹角，这样更贴合作物的生长规律.

4 解:【模型求解】如图,过点 O 作 OH⊥EF,垂足为 H.
∵ ∠AEF=∠CFE=65°,
∴ OE=OF,
∴ $EH=\frac{1}{2}EF=0.3$ m.
在Rt△OEH中,∠OEF=65°,
$\cos65°=\frac{EH}{OE}=\frac{0.3}{OE}$,
∴ $OE=\frac{0.3}{\cos65°}≈\frac{0.3}{0.42}≈0.7$(m).
【问题总结】0.8

5. 直线$y=x+1$与$x$轴正方向的夹角为.

5 45° 设所求角为α,则 $\tan α=1$,
∴ $α=45°$.

6. 直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$ 向上方向与x轴正方向的夹角α的正弦值是.

6 $\frac{1}{2}$ 由题意,得 $\tan α=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ 直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$ 向上方向与x轴正方向的夹角 $α=30°$,
∴ $\sin α=\frac{1}{2}$.