1. [2025长春中考]如图,已知某山峰的海拔为$m$米,一位登山者到达海拔为$n$米的点$A$处,测得山峰顶端$B$的仰角为$α$,则$A,B$两点之间的距离为（）


A.$(m-n)\sinα$米
B.$\dfrac{m-n}{\sinα}$米
C.$(m-n)\cosα$米
D.$\dfrac{m-n}{\cosα}$米

易知 $CD = AE = n,\therefore BC = BD - CD = m - n.$ 由题意,得
$∠ ACB = 90°, ∠ BAC = α,\therefore \sin ∠ BAC = \dfrac{BC}{AB},\therefore AB = \dfrac{BC}{\sin α} = \dfrac{m-n}{\sin α}.$

2. [2026宣城期末] 拉杆箱是外出旅行常用工具. 某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为50 cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上. 如图1,当拉杆伸出一节(MB)时,MC与地面夹角∠MCP = 50°;如图2,当拉杆伸出两节(AM,MB)时,AC与地面夹角∠ACP = 35°,两种情况下拉杆把手(图1的点M,图2的点A)距离地面高度相同,求每节拉杆的长度.
度.(结果保留整数.参考数据:$\sin 50° \approx 0.77$, $\tan 50° \approx 1.19$, $\sin 35° \approx 0.57$, $\tan 35° \approx 0.70$)

解:如图1,过点 $M$ 作 $MN ⊥ CP$ 于点 $N$,
设每节拉杆的长度为 $x$,则 $CM = 50 + x,CA = 50 + 2x$,
如图1,在 $\mathrm{Rt}△ MCN$ 中, $∠ MCN = 50°,\because \sin ∠ MCN = \dfrac{MN}{CM}$,
$\therefore MN = CM · \sin ∠ MCN \approx 0.77(50 + x).$
如图2,在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中, $∠ ACH = 35°,\because \sin ∠ ACH = \dfrac{AH}{AC}$,
$\therefore AH = AC · \sin ∠ ACH \approx 0.57(50 + 2x),$
由题意,得 $0.77(50 + x) = 0.57(50 + 2x)$,解得 $x \approx 27.$
答:每节拉杆的长度约为 27 cm.

3. [2025内蒙古中考]如图,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量.某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的C点处,从C点测得A点的俯角为60°,测得B点的俯角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A,B的距离为 m.(结果保留根号)

$120\sqrt{3}$ 如图,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$,则 $CD = 90\ \mathrm{m}$,
$∠ ACD = 90° - 60° = 30°, ∠ BCD = 90° - 30° = 60°,\therefore AD = CD\tan ∠ ACD = 90 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3}\ (\mathrm{m}), BD = CD\tan ∠ BCD = 90 × \sqrt{3} = 90\sqrt{3}\ (\mathrm{m}),\therefore AB = AD + BD = 120\sqrt{3}\ \mathrm{m}.$