4. [2025重庆中考]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上.
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$，$\sqrt{7} \approx 2.65$）
（1）求BD的长度.（结果保留小数点后一位）
（2）甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机的速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号？（结果保留小数点后一位）

解:(1)如图,过点 $A$ 作 $AE ⊥ CD$ 于点 $E$,过点 $B$ 作 $BF ⊥ CD$ 于点 $F$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $∠ DAE = 30°, AD = 20$,
$\therefore AE = AD · \cos ∠ DAE = 20 · \cos 30° = 10\sqrt{3}\ , DE = AD · \sin ∠ DAE = 20 · \sin 30° = 10.$
$\because$ 甲无人机位于 $A$ 的正东方向 10 千米的 $B$ 处, $D$ 位于 $C$ 的正西方向上,
$\therefore AB // CD, AB = 10,\therefore AE ⊥ AB, BF ⊥ AB$,
$\therefore$ 四边形 $AEFB$ 是矩形,
$\therefore EF = AB = 10, BF = AE = 10\sqrt{3}\ ,$
$\therefore DF = DE + EF = 20,$
$\therefore BD = \sqrt{DF^2 + BF^2} = 10\sqrt{7} \approx 26.5.$
答:$BD$ 的长度约为 26.5 千米.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ FBC$ 中, $∠ BCF = 90° - 30° = 60°$,
$\therefore BC = \dfrac{BF}{\sin ∠ BCF} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sin 60°} = 20,$
$CF = \dfrac{BF}{\tan ∠ BCF} = \dfrac{10\sqrt{3}}{\tan 60°} = 10,$
$\therefore CD = DF + CF = 30.$
如图,假设当甲无人机运动到 $M$,乙无人机运动到 $N$ 时,满足 $MN = 20.$ 过点 $M$ 作 $MT ⊥ CD$ 于点 $T$.
设 $BM = x$,则 $DN = 2x, CM = 20 - x.$
在 $\mathrm{Rt}△ CMT$ 中, $CT = CM · \cos ∠ MCT = (20 - x) · \cos 60° = 10 - \dfrac{1}{2}x$,
$MT = CM · \sin ∠ MCT = (20 - x) · \sin 60° = 10\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$,
$\therefore TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10 - \dfrac{1}{2}x) = 20 - \dfrac{3}{2}x.$
在 $\mathrm{Rt}△ MNT$ 中,由勾股定理,得 $MN^2 = MT^2 + TN^2$,
$\therefore 20^2 = (10\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (20 - \dfrac{3}{2}x)^2,$
$\therefore x_1 = 15 - 5\sqrt{5}\ ,x_2 = 15 + 5\sqrt{5}\ $(舍去),
$\therefore BM = 15 - 5\sqrt{5} \approx 3.8.$
答:甲无人机飞离 $B$ 处约 3.8 千米时,两无人机可以开始相互接收到信号.

5. [2025达州中考]为了让莲花湖湿地公园的天更蓝,水更清,莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾,如图,已知无人机悬停在湖面上的C处,工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为$30°$,当工作人员沿正前方向划行30米到达B处,测得无人机的仰角为$45°$,求无人机离湖面的高度.(结果不取近似值)

解:如图,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$,垂足为 $D$,
设 $BD = x$,则 $AD = AB + BD = x + 30.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $∠ CAD = 30°$,
$\therefore CD = AD · \tan 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 30),$
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $∠ CBD = 45°$,
$\therefore CD = BD · \tan 45° = x,$
$\therefore x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x + 30)$,解得 $x = 15\sqrt{3} + 15$,
$\therefore CD = 15\sqrt{3} + 15$,
$\therefore$ 无人机离湖面的高度为 $(15\sqrt{3} + 15)$ 米.

6. [2025南京中考]如图,码头B位于码头A的南偏东30°方向,A,B之间的距离为40 km,灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发,沿正南方向航行,轮船乙从B出发,沿正东方向航行.当甲航行到C处时,乙航行了相同的距离到达D处,此时,C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

解:如图,延长 $AC,DB$ 交于点 $E$,过点 $P$ 作 $PF ⊥ AE$ 于点 $F$,过点 $B$ 作 $BH ⊥ BD$ 交 $CD$ 于点 $H$. 由题意得, $∠ E = 90°$, $∠ PFA = 90°, ∠ HBD = 90°$,
$\because A,B$ 之间的距离为 40 km, $P$ 在 $AB$ 的中点处, $\therefore AP = PB = 20$ km.
在 $\mathrm{Rt}△ APF$ 中, $∠ A = 30°$,
$\therefore AF = AP\cos A = 20 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ (\mathrm{km}).$
$\because PF // DE,P$ 为 $AB$ 中点,
$\therefore F$ 为 $AE$ 的中点,即 $AE = 2AF = 20\sqrt{3}\ \mathrm{km}, BE = 2PF = AP = 20$ km.
$\because AC // BH,\therefore ∠ A = ∠ PBH$,
在 $△ APC$ 和 $△ BPH$ 中, $\begin{cases}∠ A = ∠ PBH,\\AP = BP,\\∠ APC = ∠ BPH,\end{cases}$
$\therefore △ APC ≌ △ BPH(\mathrm{ASA}),\therefore AC = BH$,
由题意可知 $AC = BD$,
$\therefore BD = BH,\therefore ∠ HDB = 45°$,
$\therefore ∠ DCE = 45°,\therefore CE = ED$,
即 $AE - AC = BE + BD$,
$\therefore 20\sqrt{3} - AC = 20 + AC$,解得 $AC = 10\sqrt{3} - 10 \approx 7.3(\mathrm{km}).$
答:甲航行的距离 $AC$ 约为 7.3 km.