7. 跨学科·化学 [2024 呼和浩特中考] 实验是培养学生创新能力的重要途径. 如图是小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管 $ AB = 24 \, \mathrm{cm} $, $ BE = \frac{1}{3}AB $, 试管倾斜角 $ ∠ ABG $ 为 $ 12° $.
(1)求试管口 $ B $ 与铁杆 $ DE $ 的水平距离 $ BG $ 的长度;
(2)实验时,导气管紧靠水槽壁 $ MN $,延长 $ BM $ 交 $ CN $ 的延长线于点 $ F $,且 $ MN ⊥ CF $ 于点 $ N $(点 $ C,D,N,F $ 在一条直线上),经测得 $ DE=28 \, \mathrm{cm} $, $ MN = 8 \, \mathrm{cm} $, $ ∠ ABM = 147° $,求线段 $ DN $ 的长度.
(结果用含非特殊角的三角函数表示)

解:(1)由题意可知, $BE = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{1}{3} × 24 = 8(\mathrm{cm}).$
在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 中, $∠ EBG = 12°, \cos ∠ EBG = \dfrac{BG}{BE}$,
$\therefore BG = BE · \cos ∠ EBG = 8\cos 12°\ \mathrm{cm}.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 中, $∠ EBG = 12°, \sin ∠ EBG = \dfrac{EG}{BE}$,
$\therefore EG = BE · \sin ∠ EBG = 8\sin 12°\ \mathrm{cm}.$
如图,延长 $GB,NM$ 交于点 $H$,易知四边形 $DNHG$ 是矩形,
$\therefore ∠ H = 90°, NH = DG, GH = DN.$
$\because DG = DE - EG = (28 - 8\sin 12°)\mathrm{cm},$
$\therefore HM = NH - MN = DG - MN = (20 - 8\sin 12°)\mathrm{cm}.$
$\because ∠ ABG = 12°, ∠ ABM = 147°,$
$\therefore ∠ FBG = ∠ ABM - ∠ ABG = 135°,$
$\therefore ∠ MBH = 180° - ∠ FBG = 45°.$
又$\because ∠ H = 90°,\therefore △ BHM$ 是等腰直角三角形,
$\therefore BH = HM = (20 - 8\sin 12°)\mathrm{cm},$
$\therefore DN = GH = BG + BH = (8\cos 12° + 20 - 8\sin 12°)\mathrm{cm}.$

8. [2025成都中考]在综合与实践活动中,某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图,无人机从西门A处垂直上升至C处,在C处测得东门B的俯角为30°,然后沿AB方向飞行60米到达D处,在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1米;参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,√3≈1.73)

解:由题意,得 $∠ CAB = ∠ ACD = 90°, ∠ ABC = ∠ BCD = 30°, CD = 60$ 米.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AC = CD · \tan 63.4° \approx 60 × 2.00 = 120$(米),
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB = \dfrac{AC}{\tan 30°} = 120\sqrt{3} \approx 207.6$(米).
答:校园西门 $A$ 与东门 $B$ 之间的距离约为 207.6 米.

9. [2024 巴中中考]某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动. 如图所示,斜坡 BE 的坡度 $i=1:\sqrt{3}$,$BE=6\ \mathrm{m}$,在 B 处测得电线塔 CD 顶部 D 的仰角为 $45°$,在 E 处测得电线塔 CD 顶部 D 的仰角为 $60°$.
(1)求点 B 离水平地面的高度 AB.
(2)求电线塔 CD 的高度.(结果保留根号)

解:(1)由题意得, $BA ⊥ AE.$
斜坡 $BE$ 的坡度 $i=1:\sqrt{3}$,即$\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$,
设 $AB = x\ \mathrm{m}$,则 $AE = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$,由勾股定理,得 $BE = 2x\ \mathrm{m}.$
$\because BE = 6\ \mathrm{m},\therefore x = 3,\therefore AB = 3\ \mathrm{m}, AE = 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
即点 $B$ 离水平地面的高度 $AB$ 为 3 m.
(2)如图,过点 $B$ 作 $BF ⊥ CD$,垂足为 $F$,易知 $CF = AB$, $BF = AC.$
设 $CE = y\ \mathrm{m}$,则 $BF = AC = CE + AE = (y + 3\sqrt{3})\mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中, $∠ DEC = 60°,\therefore CD = CE · \tan 60° = \sqrt{3}y\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ BDF$ 中, $∠ DBF = 45°$,
$\therefore DF = BF · \tan 45° = (y + 3\sqrt{3})\mathrm{m}.$
$\because DF + CF = CD,\therefore y + 3\sqrt{3} + 3 = \sqrt{3}y$,解得 $y = 6 + 3\sqrt{3}$,
$\therefore CD = \sqrt{3}y = (6\sqrt{3} + 9)\mathrm{m},$
即电线塔 $CD$ 的高度为 $(6\sqrt{3} + 9)\mathrm{m}.$