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1.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是边BC上的高.若$BD=2.5$，则AB的长为 （
A.4
B.5
C.6
D.7
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BD=2.5。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此BC边上的高AD同时是BC边上的中线，可得D是BC中点，即可求出BC的长度；再结合等边三角形三边相等的性质，就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即BC=2BD，
∵BD=2.5，
∴BC=2×2.5=5，
∴AB=BC=5。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一的性质以及等边三角形的边长特点，只要熟练掌握相关性质，就能快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BD=2.5。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此BC边上的高AD同时是BC边上的中线，可得D是BC中点，即可求出BC的长度；再结合等边三角形三边相等的性质，就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即BC=2BD，
∵BD=2.5，
∴BC=2×2.5=5，
∴AB=BC=5。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一的性质以及等边三角形的边长特点，只要熟练掌握相关性质，就能快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
2.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线，$E$为$AC$上一点，且$AE=AD$，$∠ BAD=50°$，则$∠ CDE$的度数为
25°
。答案
2.25°
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件：△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD平分顶角∠BAC、AD垂直BC，由此得到∠CAD的度数和∠ADC=90°；再结合AD=AE的条件，可知△ADE也是等腰三角形，已知顶角∠CAD的度数，可利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出底角∠ADE的度数；最后∠CDE为∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线
∴根据等腰三角形“三线合一”，得AD平分∠BAC，AD⊥BC
∴∠CAD=∠BAD=50°，∠ADC=90°
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+50°=100°，AB=AC
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
又
∵AD=AE，即△ADE为等腰三角形
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-50°)÷2=65°
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-65°=25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础综合应用题，解题的核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质得到角的关系，再结合等腰三角形角的计算规则求解，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目条件：△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD平分顶角∠BAC、AD垂直BC，由此得到∠CAD的度数和∠ADC=90°；再结合AD=AE的条件，可知△ADE也是等腰三角形，已知顶角∠CAD的度数，可利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出底角∠ADE的度数；最后∠CDE为∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线
∴根据等腰三角形“三线合一”，得AD平分∠BAC，AD⊥BC
∴∠CAD=∠BAD=50°，∠ADC=90°
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+50°=100°，AB=AC
∴∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
又
∵AD=AE，即△ADE为等腰三角形
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-50°)÷2=65°
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-65°=25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础综合应用题，解题的核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质得到角的关系，再结合等腰三角形角的计算规则求解，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,在三角测平架中,$AB=AC$,在BC的中点D处挂一重锤,让它自然下垂.如果调整架身,使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是 (
A.等腰三角形的三线合一
B.等角对等边
C.三角形具有稳定性
D.等边对等角
A
)A.等腰三角形的三线合一
B.等角对等边
C.三角形具有稳定性
D.等边对等角
答案
3.A
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC为等腰三角形，D是BC中点，说明AD是等腰三角形底边上的中线。重锤自然下垂时沿竖直方向，若重锤线过点A，要推导BC水平，需要联系等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高，由此就能得到AD与BC垂直，进而推出BC水平，对应等腰三角形三线合一的性质。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵D是BC的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时也是底边BC上的高，即AD⊥BC。
∵重锤线自然下垂为竖直方向，当重锤线经过点A时，AD为竖直方向，与AD垂直的BC就处于水平位置。
因此该做法依据的是等腰三角形的三线合一，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题将等腰三角形的性质与生活中的测平场景结合，考查学生对基础性质的理解和实际应用能力，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质即可快速选出答案。
【难度系数】
0.9
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC为等腰三角形，D是BC中点，说明AD是等腰三角形底边上的中线。重锤自然下垂时沿竖直方向，若重锤线过点A，要推导BC水平，需要联系等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高，由此就能得到AD与BC垂直，进而推出BC水平，对应等腰三角形三线合一的性质。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵D是BC的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时也是底边BC上的高，即AD⊥BC。
∵重锤线自然下垂为竖直方向，当重锤线经过点A时，AD为竖直方向，与AD垂直的BC就处于水平位置。
因此该做法依据的是等腰三角形的三线合一，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题将等腰三角形的性质与生活中的测平场景结合，考查学生对基础性质的理解和实际应用能力，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质即可快速选出答案。
【难度系数】
0.9
4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠DAC的大小为
60°
。答案
4.60°
解析
【分析】
解题时先梳理题干条件：已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，AD是底边BC上的高，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是顶角∠BAC的角平分线，因此∠DAC的大小为∠BAC的一半，代入已知角度即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=120°$，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角的计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，准确对应高和角平分线的关系即可快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题干条件：已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，AD是底边BC上的高，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是顶角∠BAC的角平分线，因此∠DAC的大小为∠BAC的一半，代入已知角度即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=120°$，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角的计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，准确对应高和角平分线的关系即可快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 建筑测量 情境化 如图是古建筑中的房梁三角架的示意图.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，连接$AD$，$E$是$AC$上一点，且$AD=DE$.若$∠ BAC=110°$，则$∠ ADE$的度数为 （
A.$55°$
B.$60°$
C.$62.5°$
D.$70°$
D
）A.$55°$
B.$60°$
C.$62.5°$
D.$70°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD是∠BAC的角平分线，先求出∠DAE的度数；②再根据AD=DE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角得到两个底角相等，最后结合三角形内角和180°即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
又
∵AD=DE
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA=55°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 180° - 55° - 55° = 70°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合古建筑测量的生活情境，考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形相关性质，属于基础类常考题，熟悉对应性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD是∠BAC的角平分线，先求出∠DAE的度数；②再根据AD=DE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角得到两个底角相等，最后结合三角形内角和180°即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
又
∵AD=DE
∴△ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA=55°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 180° - 55° - 55° = 70°
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合古建筑测量的生活情境，考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形相关性质，属于基础类常考题，熟悉对应性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=50°$,点$E,F$分别在边$AB,BC$上,且$BE=BF$,连接$EF$并延长,交$AC$的延长线于点$G$,取$EF$的中点$O$,连接$BO$并延长,交$AC$于点$D$,已知$∠ G=20°$.
(1)求$∠ BEF$的度数;
(2)求$∠ BDC$的度数.
(1)求$∠ BEF$的度数;
(2)求$∠ BDC$的度数.
答案
6.解:(1)
∵BE=BF,∠ABC=50°,
∴∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=65°.(2)
∵O为EF的中点,BE=BF,
∴BO⊥EF.
∴∠DOG=90°.
∵∠G=20°,
∴∠BDC=90°−∠G=70°.
∵BE=BF,∠ABC=50°,
∴∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=65°.(2)
∵O为EF的中点,BE=BF,
∴BO⊥EF.
∴∠DOG=90°.
∵∠G=20°,
∴∠BDC=90°−∠G=70°.
解析
【分析】
（1）求解∠BEF的度数时，先根据已知条件$BE=BF$判断$△ BEF$为等腰三角形，$∠ ABC$是该等腰三角形的顶角，结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ BEF$的度数。
（2）求解$∠ BDC$的度数时，已知$O$是$EF$的中点，结合$△ BEF$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得$BO⊥ EF$，得到直角$∠ DOG=90°$，再结合三角形内角和定理和已知$∠ G=20°$，即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
(1) $\because BE=BF$，$∠ ABC=50°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ BFE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
(2) $\because O$为$EF$的中点，$BE=BF$，
$\therefore BO⊥ EF$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ DOG=90°$，
$\because ∠ G=20°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ DOG-∠ G=90°-20°=70°$。
【答案】
(1) $∠ BEF=65°$；
(2) $∠ BDC=70°$
【知识点】
等腰三角形两底角相等，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心考察等腰三角形性质的应用，解题关键是准确识别等腰三角形，结合已知条件选择对应的性质推导角度关系，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠BEF的度数时，先根据已知条件$BE=BF$判断$△ BEF$为等腰三角形，$∠ ABC$是该等腰三角形的顶角，结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ BEF$的度数。
（2）求解$∠ BDC$的度数时，已知$O$是$EF$的中点，结合$△ BEF$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得$BO⊥ EF$，得到直角$∠ DOG=90°$，再结合三角形内角和定理和已知$∠ G=20°$，即可求出$∠ BDC$的度数。
【解析】
(1) $\because BE=BF$，$∠ ABC=50°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ BFE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
(2) $\because O$为$EF$的中点，$BE=BF$，
$\therefore BO⊥ EF$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ DOG=90°$，
$\because ∠ G=20°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ DOG-∠ G=90°-20°=70°$。
【答案】
(1) $∠ BEF=65°$；
(2) $∠ BDC=70°$
【知识点】
等腰三角形两底角相等，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心考察等腰三角形性质的应用，解题关键是准确识别等腰三角形，结合已知条件选择对应的性质推导角度关系，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
7.在△ABC中，AB=AC.
(1)AD是BC上的高，AD=AE.
①如图①，如果∠BAD=30°,则∠EDC=
②如图②，如果∠BAD=40°,则∠EDC=
(2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:
(3)如图③,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.
(1)AD是BC上的高，AD=AE.
①如图①，如果∠BAD=30°,则∠EDC=
15°
；②如图②，如果∠BAD=40°,则∠EDC=
20°
；(2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:
∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD
；(3)如图③,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.
答案
7.解:(1)①15° ②20° (2)∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD (3)仍成立,理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C. 又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC,即∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C. 又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC,即∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD.
解析
【分析】
本题可结合等腰三角形的性质逐步求解：(1)首先利用等腰三角形“三线合一”得到AD平分∠BAC，结合AD=AE推出△ADE为等腰三角形，先求出∠ADE的度数，再结合∠ADC=90°计算∠EDC即可；(2)根据前两小问的结果归纳∠BAD和∠EDC的数量关系；(3)若AD不是高，可利用三角形外角的性质，结合等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换推导两角的关系。
【解析】
(1)①
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，∠B=∠C，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°。
②同理，当∠BAD=40°时，∠DAC=40°，
∠ADE=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠EDC=90°-70°=20°。
(2)由①②的结果可得：∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD。
(3)仍有∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD的关系，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠C，
代入上式得：∠BAD+∠B=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BAD=2∠EDC，即∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD。
【答案】
(1)①$\boxed{15°}$；②$\boxed{20°}$
(2)$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$
(3)仍成立，$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况入手推导一般规律，重点考查等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，以及三角形外角性质的运用，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合等腰三角形的性质逐步求解：(1)首先利用等腰三角形“三线合一”得到AD平分∠BAC，结合AD=AE推出△ADE为等腰三角形，先求出∠ADE的度数，再结合∠ADC=90°计算∠EDC即可；(2)根据前两小问的结果归纳∠BAD和∠EDC的数量关系；(3)若AD不是高，可利用三角形外角的性质，结合等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换推导两角的关系。
【解析】
(1)①
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，∠B=∠C，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°。
②同理，当∠BAD=40°时，∠DAC=40°，
∠ADE=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠EDC=90°-70°=20°。
(2)由①②的结果可得：∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD。
(3)仍有∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD的关系，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠C，
代入上式得：∠BAD+∠B=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BAD=2∠EDC，即∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD。
【答案】
(1)①$\boxed{15°}$；②$\boxed{20°}$
(2)$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$
(3)仍成立，$\boxed{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊情况入手推导一般规律，重点考查等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，以及三角形外角性质的运用，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
