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11.如图，在$△ ABC$中，$D$为边$AB$上一点，$AD=CD=BC$，$∠ A=25°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$105°$
（第11题图）
（第12题图）
C
）A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$105°$
（第11题图）
（第12题图）
答案
11.C
解析
【分析】
题目给出多组边相等的条件，可结合等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导角度：首先由AD=CD，结合已知∠A的度数得到∠ACD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠CDB的度数，接着根据CD=BC得到∠B与∠CDB相等，最后在△BCD中利用三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AD=CD，∠A=25°，
∴∠ACD=∠A=25°（等边对等角），
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=25°+25°=50°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又
∵CD=BC，
∴∠B=∠CDB=50°（等边对等角），
在△BCD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BCD=180°-∠CDB-∠B=180°-50°-50°=80°。
【答案】
C
【知识点】
等边对等角；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角性质和内角和定理，逐步推导所求角度，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
题目给出多组边相等的条件，可结合等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导角度：首先由AD=CD，结合已知∠A的度数得到∠ACD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠CDB的度数，接着根据CD=BC得到∠B与∠CDB相等，最后在△BCD中利用三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AD=CD，∠A=25°，
∴∠ACD=∠A=25°（等边对等角），
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=25°+25°=50°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又
∵CD=BC，
∴∠B=∠CDB=50°（等边对等角），
在△BCD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BCD=180°-∠CDB-∠B=180°-50°-50°=80°。
【答案】
C
【知识点】
等边对等角；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角性质和内角和定理，逐步推导所求角度，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
12.如图,在等边三角形纸片ABC中,点E在AC边上,点F在AB边上,沿EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置.若ED⊥BC,则∠EFD的度数为
45°
.答案
12. 45°
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到内角的度数，再结合垂直条件算出相关角的度数，接着根据折叠前后对应角相等的性质，得到折叠后对应角的大小，最后利用三角形内角和定理即可求出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠C=60°
∵ED⊥BC
∴∠EDC=90°
在△EDC中，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-90°-60°=30°
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-30°=150°
由折叠的性质可得△AEF≌△DEF
∴∠AEF=∠DEF，∠EDF=∠A=60°
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠AED=$\frac{1}{2}$×150°=75°
在△EDF中，根据三角形内角和为180°：
∠EFD=180°-∠EDF-∠DEF=180°-60°-75°=45°
【答案】
45°
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合等边三角形内角为60°的特点逐步推导角度，掌握基础几何图形的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质得到内角的度数，再结合垂直条件算出相关角的度数，接着根据折叠前后对应角相等的性质，得到折叠后对应角的大小，最后利用三角形内角和定理即可求出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠C=60°
∵ED⊥BC
∴∠EDC=90°
在△EDC中，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-90°-60°=30°
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-30°=150°
由折叠的性质可得△AEF≌△DEF
∴∠AEF=∠DEF，∠EDF=∠A=60°
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠AED=$\frac{1}{2}$×150°=75°
在△EDF中，根据三角形内角和为180°：
∠EFD=180°-∠EDF-∠DEF=180°-60°-75°=45°
【答案】
45°
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合等边三角形内角为60°的特点逐步推导角度，掌握基础几何图形的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图，在$△ ABC$中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，连接BD，DE。若$∠ A = 30°$，$AB = AC$，则$∠ BDE$的度数为
67.5°
。答案
13. 67.5°
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC入手，利用等边对等角求出底角∠ABC和∠C的度数；再根据作图特征得到BC=BD=BE，先在△BCD中利用等边对等角和三角形内角和求出∠CBD的度数，进而得到∠ABD的度数；最后在等腰△BDE中，再次利用等边对等角和三角形内角和即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=30°，
∴ ∠ABC=∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°，
由作图可知，BC、BD、BE均为以B为圆心的圆的半径，
∴ BC=BD=BE，
在△BCD中，BC=BD，
∴ ∠BDC=∠C=75°，
∴ ∠CBD = 180° - ∠C - ∠BDC = 180° - 75° -75° = 30°，
∴ ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 75° - 30° = 45°，
在△BDE中，BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED，
∴ ∠BDE = $\frac{180° - ∠ABD}{2}$ = $\frac{180° - 45°}{2}$ = 67.5°。
【答案】
67.5°
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，圆的半径相等
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，需要多次运用等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导角度，解题的关键是准确识别作图隐含的相等线段，理清各角度之间的关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰△ABC入手，利用等边对等角求出底角∠ABC和∠C的度数；再根据作图特征得到BC=BD=BE，先在△BCD中利用等边对等角和三角形内角和求出∠CBD的度数，进而得到∠ABD的度数；最后在等腰△BDE中，再次利用等边对等角和三角形内角和即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=30°，
∴ ∠ABC=∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°，
由作图可知，BC、BD、BE均为以B为圆心的圆的半径，
∴ BC=BD=BE，
在△BCD中，BC=BD，
∴ ∠BDC=∠C=75°，
∴ ∠CBD = 180° - ∠C - ∠BDC = 180° - 75° -75° = 30°，
∴ ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 75° - 30° = 45°，
在△BDE中，BD=BE，
∴ ∠BDE=∠BED，
∴ ∠BDE = $\frac{180° - ∠ABD}{2}$ = $\frac{180° - 45°}{2}$ = 67.5°。
【答案】
67.5°
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，圆的半径相等
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，需要多次运用等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导角度，解题的关键是准确识别作图隐含的相等线段，理清各角度之间的关系。
【难度系数】
0.7
14. 方程思想 新理念 如图，D是△ABC的边BC上的一点，且DA=DB，AB=AC=CD，求∠CAD的度数。
答案
14. 解:设∠B=x.
∵DA=DB,AB=AC,
∴∠DAB=∠C=∠B=x.
∴∠CDA=∠B+∠DAB=2x.
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA=2x. 在△ADC中,
∵∠CAD+∠CDA+∠C=180°,
∴2x+2x+x=180°,解得x=36°.
∴∠CAD=2x=72°.
∵DA=DB,AB=AC,
∴∠DAB=∠C=∠B=x.
∴∠CDA=∠B+∠DAB=2x.
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA=2x. 在△ADC中,
∵∠CAD+∠CDA+∠C=180°,
∴2x+2x+x=180°,解得x=36°.
∴∠CAD=2x=72°.
解析
【分析】
本题给出多组边相等的条件，可优先联想到等腰三角形“等边对等角”的性质求解角度。首先观察到图中有3个等腰三角形（△ABD、△ABC、△ACD），角之间存在数量关联，适合用方程思想解题：先设最小的角∠B为x，再利用等边对等角、三角形外角的性质，将其余相关角用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
设∠B=x，
∵ DA=DB，AB=AC，
∴ ∠DAB=∠B=x，∠C=∠B=x，
∵ ∠CDA是△ABD的外角，
∴ ∠CDA=∠B+∠DAB=2x，
又
∵ AC=CD，
∴ ∠CAD=∠CDA=2x，
在△ADC中，根据三角形内角和定理得：
∠CAD+∠CDA+∠C=180°，
代入得：2x+2x+x=180°，
解得x=36°，
∴ ∠CAD=2x=2×36°=72°。
【答案】
72°
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是灵活运用等腰三角形的性质梳理角之间的数量关系，结合方程思想简化求解过程，能有效考察学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题给出多组边相等的条件，可优先联想到等腰三角形“等边对等角”的性质求解角度。首先观察到图中有3个等腰三角形（△ABD、△ABC、△ACD），角之间存在数量关联，适合用方程思想解题：先设最小的角∠B为x，再利用等边对等角、三角形外角的性质，将其余相关角用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
设∠B=x，
∵ DA=DB，AB=AC，
∴ ∠DAB=∠B=x，∠C=∠B=x，
∵ ∠CDA是△ABD的外角，
∴ ∠CDA=∠B+∠DAB=2x，
又
∵ AC=CD，
∴ ∠CAD=∠CDA=2x，
在△ADC中，根据三角形内角和定理得：
∠CAD+∠CDA+∠C=180°，
代入得：2x+2x+x=180°，
解得x=36°，
∴ ∠CAD=2x=2×36°=72°。
【答案】
72°
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是灵活运用等腰三角形的性质梳理角之间的数量关系，结合方程思想简化求解过程，能有效考察学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE。
(1)求证：BE=CD；
(2)求∠1+∠2的度数。
(1)求证：BE=CD；
(2)求∠1+∠2的度数。
答案
15.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,AC=CB. 在△ACD和△CBE中,
∵$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBE(SAS).
∴BE=CD.(2)解:
∵△ACD≌△CBE,
∴∠1=∠ACD.
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,AC=CB. 在△ACD和△CBE中,
∵$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBE(SAS).
∴BE=CD.(2)解:
∵△ACD≌△CBE,
∴∠1=∠ACD.
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°.
解析
【分析】
(1) 要证明BE=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据等边三角形的性质可得AC=BC、∠A=∠BCE=60°，结合已知AD=CE，可通过SAS判定△ACD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 求∠1+∠2的度数时，利用第一问全等三角形的对应角相等，可得∠1=∠ACD，将∠1代换后，∠1+∠2可转化为等边三角形的内角∠ACB，直接得到对应度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=CB。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{array} $
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴BE=CD。
(2) 解：
∵△ACD≌△CBE，
∴∠1=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°。
【答案】
(1) BE=CD得证；(2) ∠1+∠2的度数为60°
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考查全等三角形与等边三角形性质的综合应用，解题的关键是准确找到全等三角形，利用全等性质完成边角的转化，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明BE=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据等边三角形的性质可得AC=BC、∠A=∠BCE=60°，结合已知AD=CE，可通过SAS判定△ACD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 求∠1+∠2的度数时，利用第一问全等三角形的对应角相等，可得∠1=∠ACD，将∠1代换后，∠1+∠2可转化为等边三角形的内角∠ACB，直接得到对应度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=CB。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{array} $
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴BE=CD。
(2) 解：
∵△ACD≌△CBE，
∴∠1=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°。
【答案】
(1) BE=CD得证；(2) ∠1+∠2的度数为60°
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考查全等三角形与等边三角形性质的综合应用，解题的关键是准确找到全等三角形，利用全等性质完成边角的转化，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
16. 如图,在第一个$△ A_1BC$中,$∠ B=40°$,$A_1B=BC$,在边$A_1B$上任取一点$D$,延长$CA_1$到$A_2$,使$A_1A_2=A_1D$,得到第二个$△ A_1A_2D$,再在边$A_2D$上任取一点$E$,延长$A_1A_2$到$A_3$,使$A_2A_3=A_2E$,得到第3个$△ A_2A_3E$……如此类推,可得到第$n$个等腰三角形.则在第$n$个等腰三角形中,以$A_n$为顶点的内角的度数为 $$
$$
A.$(\dfrac{1}{2})^n · 40°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 40°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 70°$
D.$(\dfrac{1}{2})^n · 70°$
$$A.$(\dfrac{1}{2})^n · 40°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 40°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 70°$
D.$(\dfrac{1}{2})^n · 70°$
答案
16.C
解析
【分析】
解题先从第一个等腰三角形入手：首先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，算出第一个以$A_1$为顶点的内角的度数；再结合后续每个等腰三角形等边对等角的特点，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可发现后一个三角形以$A_n$为顶点的内角是前一个对应角度的一半，最终推导得出第$n$个的角度规律。
【解析】
1. 计算第1个等腰三角形对应角度
在$△ A_1BC$中，$A_1B=BC$，$∠ B=40°$，根据等边对等角得$∠ BA_1C=∠ C$。
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BA_1C=(180°-∠ B)÷2=(180°-40°)÷2=70°$，即$n=1$时，对应角度为$70°$。
2. 推导角度变化规律
对于第2个等腰$△ A_1A_2D$，$A_1A_2=A_1D$，根据等边对等角得$∠ A_2=∠ A_1DA_2$。
$∠ BA_1C$是$△ A_1A_2D$的外角，根据外角性质得$∠ BA_1C=∠ A_2+∠ A_1DA_2=2∠ A_2$，因此$∠ A_2=70°×\frac{1}{2}=70°×(\frac{1}{2})^{2-1}$。
对于第3个等腰$△ A_2A_3E$，同理可得$∠ A_3=∠ A_2÷2=70°×(\frac{1}{2})^2=70°×(\frac{1}{2})^{3-1}$。
3. 总结一般规律
以此类推，第$n$个等腰三角形中，以$A_n$为顶点的内角的度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}·70°$。
【答案】
C
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；规律探究
【点评】
本题将等腰三角形性质和规律探究相结合，解题核心是抓住每次构造等腰三角形时，新的底角为前一个对应角度的一半，通过特殊值推导一般规律即可求解，需注意指数和$n$的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
解题先从第一个等腰三角形入手：首先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，算出第一个以$A_1$为顶点的内角的度数；再结合后续每个等腰三角形等边对等角的特点，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可发现后一个三角形以$A_n$为顶点的内角是前一个对应角度的一半，最终推导得出第$n$个的角度规律。
【解析】
1. 计算第1个等腰三角形对应角度
在$△ A_1BC$中，$A_1B=BC$，$∠ B=40°$，根据等边对等角得$∠ BA_1C=∠ C$。
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BA_1C=(180°-∠ B)÷2=(180°-40°)÷2=70°$，即$n=1$时，对应角度为$70°$。
2. 推导角度变化规律
对于第2个等腰$△ A_1A_2D$，$A_1A_2=A_1D$，根据等边对等角得$∠ A_2=∠ A_1DA_2$。
$∠ BA_1C$是$△ A_1A_2D$的外角，根据外角性质得$∠ BA_1C=∠ A_2+∠ A_1DA_2=2∠ A_2$，因此$∠ A_2=70°×\frac{1}{2}=70°×(\frac{1}{2})^{2-1}$。
对于第3个等腰$△ A_2A_3E$，同理可得$∠ A_3=∠ A_2÷2=70°×(\frac{1}{2})^2=70°×(\frac{1}{2})^{3-1}$。
3. 总结一般规律
以此类推，第$n$个等腰三角形中，以$A_n$为顶点的内角的度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}·70°$。
【答案】
C
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；规律探究
【点评】
本题将等腰三角形性质和规律探究相结合，解题核心是抓住每次构造等腰三角形时，新的底角为前一个对应角度的一半，通过特殊值推导一般规律即可求解，需注意指数和$n$的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
