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1.已知二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5, \\2x-y=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3,\end{cases}$则直线$y=5-x$与$y=2x-1$的交点坐标为（ ）
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,-3)$
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,-3)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可从一次函数与二元一次方程组的关系入手：两个一次函数图象的交点坐标，就是将两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。先将题中两条直线的解析式变形，验证是否和已知的二元一次方程组一致，若一致，已知的方程组的解就是两条直线的交点坐标。
【解析】
解：先对两条直线的解析式变形：
直线$y=5-x$移项可得$x+y=5$，
直线$y=2x-1$移项可得$2x-y=1$，
因此将两条直线解析式联立得到的方程组就是题目给出的$\begin{cases}x+y=5, \\2x-y=1\end{cases}$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，就是对应联立方程组的解。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3,\end{cases}$，因此两条直线的交点坐标为$(2,3)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
①一次函数与二元一次方程组的关系 ②函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，掌握该知识点可直接根据已知方程组的解得到答案，无需额外计算。
【难度系数】
0.9
解题时可从一次函数与二元一次方程组的关系入手：两个一次函数图象的交点坐标，就是将两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。先将题中两条直线的解析式变形，验证是否和已知的二元一次方程组一致，若一致，已知的方程组的解就是两条直线的交点坐标。
【解析】
解：先对两条直线的解析式变形：
直线$y=5-x$移项可得$x+y=5$，
直线$y=2x-1$移项可得$2x-y=1$，
因此将两条直线解析式联立得到的方程组就是题目给出的$\begin{cases}x+y=5, \\2x-y=1\end{cases}$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标，就是对应联立方程组的解。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3,\end{cases}$，因此两条直线的交点坐标为$(2,3)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
①一次函数与二元一次方程组的关系 ②函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，掌握该知识点可直接根据已知方程组的解得到答案，无需额外计算。
【难度系数】
0.9
2. (2024－2025·蚌埠期末改编)一次函数$y=-x+b$和$y=3x$的图象如图所示，则方程组$\begin{cases}y=-x+b, \\ y=3x\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
2.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心依据是：两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，交点的横坐标为方程组中x的值，纵坐标为方程组中y的值。首先观察图象可得两个函数交点的横坐标为1，先确定x的取值，再将x的值代入其中一个函数表达式即可求出y的值，进而得到方程组的解。
【解析】
∵二元一次方程组$\begin{cases}y=-x+b, \\ y=3x\end{cases}$的解是一次函数$y=-x+b$和$y=3x$的图象的交点坐标，
由图象可知，两个函数交点的横坐标为$x=1$，
将$x=1$代入$y=3x$，得$y=3×1=3$，
∴两个函数的交点坐标为$(1,3)$，即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图象的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的对应关系，结合图象读取横坐标后代入计算即可，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是：两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，交点的横坐标为方程组中x的值，纵坐标为方程组中y的值。首先观察图象可得两个函数交点的横坐标为1，先确定x的取值，再将x的值代入其中一个函数表达式即可求出y的值，进而得到方程组的解。
【解析】
∵二元一次方程组$\begin{cases}y=-x+b, \\ y=3x\end{cases}$的解是一次函数$y=-x+b$和$y=3x$的图象的交点坐标，
由图象可知，两个函数交点的横坐标为$x=1$，
将$x=1$代入$y=3x$，得$y=3×1=3$，
∴两个函数的交点坐标为$(1,3)$，即方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图象的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的对应关系，结合图象读取横坐标后代入计算即可，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.85
3.(教材P50例1变式)利用一次函数图象解二元一次方程组$\begin{cases}2x - y - 2 = 0, \\ y = -x -5.\end{cases}$
答案
3.解:原方程组可化为$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x-5. \end{cases}$在平面直角坐标系中分别画出一次函数$y=2x-2$与$y=-x-5$的图象如图所示
,两个一次函数的交点坐标为$(-1,-4)$.所以二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-4. \end{cases}$解析
【分析】
要利用一次函数图象解二元一次方程组，首先明确二元一次方程组的解对应组成方程组的两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时第一步先把方程组中的两个方程都变形为$y=kx+b$（$k≠0$）的一次函数形式；第二步在平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象；第三步找到两图象的交点，交点的横坐标就是方程组的$x$的解，纵坐标就是方程组的$y$的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先对原方程组进行变形：
将方程$2x - y - 2 = 0$移项，可得$y=2x-2$，原方程组转化为$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x-5. \end{cases}$
在平面直角坐标系中分别画出一次函数$y=2x-2$和$y=-x-5$的图象，观察图象可得两个函数图象的交点坐标为$(-1,-4)$。
由于交点坐标同时满足两个一次函数的解析式，即同时满足原方程组的两个方程，因此该交点的横、纵坐标就是原二元一次方程组的解。
【答案】
原方程组可化为$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x-5. \end{cases}$在平面直角坐标系中分别画出一次函数$y=2x-2$与$y=-x-5$的图象如图所示,两个一次函数的交点坐标为$(-1,-4)$.所以二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-4. \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程组的图象解法
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是掌握二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的对应关系，掌握一次函数图象画法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要利用一次函数图象解二元一次方程组，首先明确二元一次方程组的解对应组成方程组的两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时第一步先把方程组中的两个方程都变形为$y=kx+b$（$k≠0$）的一次函数形式；第二步在平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象；第三步找到两图象的交点，交点的横坐标就是方程组的$x$的解，纵坐标就是方程组的$y$的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先对原方程组进行变形：
将方程$2x - y - 2 = 0$移项，可得$y=2x-2$，原方程组转化为$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x-5. \end{cases}$
在平面直角坐标系中分别画出一次函数$y=2x-2$和$y=-x-5$的图象，观察图象可得两个函数图象的交点坐标为$(-1,-4)$。
由于交点坐标同时满足两个一次函数的解析式，即同时满足原方程组的两个方程，因此该交点的横、纵坐标就是原二元一次方程组的解。
【答案】
原方程组可化为$\begin{cases} y=2x-2, \\ y=-x-5. \end{cases}$在平面直角坐标系中分别画出一次函数$y=2x-2$与$y=-x-5$的图象如图所示
,两个一次函数的交点坐标为$(-1,-4)$.所以二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-4. \end{cases}$【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程组的图象解法
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是掌握二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的对应关系，掌握一次函数图象画法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.一次函数$y=x+2$与$y=x-2$的图象的位置关系是________，即________（填“有”或“没有”）交点，由此可知方程组$\begin{cases} x - y + 2 = 0, \\ x - y - 2 = 0 \end{cases}$的解的情况是________。
答案
4.平行 没有 无解
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数图象的位置判断规律：对于一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，若$k_1=k_2$且$b_1≠ b_2$，则两直线平行；再结合一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，若两直线无交点，则对应的方程组无解，按照这个逻辑逐步推导即可。
【解析】
1. 判断一次函数图象的位置关系：
一次函数$y=x+2$的比例系数$k=1$，常数项$b=2$；一次函数$y=x-2$的比例系数$k=1$，常数项$b=-2$。两个函数的$k$值相等、$b$值不相等，因此它们的图象互相平行。
2. 判断交点情况：
平行的两条直线没有公共点，因此这两个一次函数的图象没有交点。
3. 判断方程组的解的情况：
将两个一次函数移项变形，可得$x-y+2=0$和$x-y-2=0$，与题干给出的方程组完全一致。二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，由于两个图象没有交点，因此该方程组无解。
【答案】
平行；没有；无解
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与二元一次方程组的联系；二元一次方程组解的判定
【点评】
本题考查一次函数的图象特征和函数与方程的转化思想，理解一次函数中$k$、$b$对图象的影响，掌握函数交点和方程组解的对应逻辑，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数图象的位置判断规律：对于一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，若$k_1=k_2$且$b_1≠ b_2$，则两直线平行；再结合一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，若两直线无交点，则对应的方程组无解，按照这个逻辑逐步推导即可。
【解析】
1. 判断一次函数图象的位置关系：
一次函数$y=x+2$的比例系数$k=1$，常数项$b=2$；一次函数$y=x-2$的比例系数$k=1$，常数项$b=-2$。两个函数的$k$值相等、$b$值不相等，因此它们的图象互相平行。
2. 判断交点情况：
平行的两条直线没有公共点，因此这两个一次函数的图象没有交点。
3. 判断方程组的解的情况：
将两个一次函数移项变形，可得$x-y+2=0$和$x-y-2=0$，与题干给出的方程组完全一致。二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，由于两个图象没有交点，因此该方程组无解。
【答案】
平行；没有；无解
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与二元一次方程组的联系；二元一次方程组解的判定
【点评】
本题考查一次函数的图象特征和函数与方程的转化思想，理解一次函数中$k$、$b$对图象的影响，掌握函数交点和方程组解的对应逻辑，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+y=1, \\2y-2bx=4\end{cases}$有无穷多组解，则直线$y=-ax+1$与直线$y=bx+2$的位置关系是 ______ 。
能力提升 整合运用
能力提升 整合运用
答案
5.重合
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆二元一次方程组解的情况与对应一次函数图象位置关系的规律：两个一次函数图象相交时，方程组有唯一解；平行时方程组无解；重合时方程组有无穷多组解。接下来先把方程组的两个方程都整理成y=kx+b的一次函数形式，会发现整理后的解析式正好是题目要判断位置关系的两条直线，结合题目给出的方程组有无穷多组解的条件，直接就能推出两条直线的位置关系。
【解析】
第一步：将方程组中的两个方程变形为一次函数解析式形式：
1. 对方程$ax+y=1$移项，得：$y=-ax+1$；
2. 对方程$2y-2bx=4$，两边同时除以2得$y-bx=2$，移项得：$y=bx+2$。
第二步：结合一次函数与二元一次方程组的关系推导：
变形得到的两个解析式就是题目给出的两条直线，已知原方程组有无穷多组解，说明两条直线有无数个公共点，因此两条直线重合。
【答案】
重合
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；两直线位置关系判定
【点评】
本题考查对一次函数和二元一次方程组对应关系的理解，不需要复杂计算，熟练掌握方程组解的情况和直线位置的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆二元一次方程组解的情况与对应一次函数图象位置关系的规律：两个一次函数图象相交时，方程组有唯一解；平行时方程组无解；重合时方程组有无穷多组解。接下来先把方程组的两个方程都整理成y=kx+b的一次函数形式，会发现整理后的解析式正好是题目要判断位置关系的两条直线，结合题目给出的方程组有无穷多组解的条件，直接就能推出两条直线的位置关系。
【解析】
第一步：将方程组中的两个方程变形为一次函数解析式形式：
1. 对方程$ax+y=1$移项，得：$y=-ax+1$；
2. 对方程$2y-2bx=4$，两边同时除以2得$y-bx=2$，移项得：$y=bx+2$。
第二步：结合一次函数与二元一次方程组的关系推导：
变形得到的两个解析式就是题目给出的两条直线，已知原方程组有无穷多组解，说明两条直线有无数个公共点，因此两条直线重合。
【答案】
重合
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；两直线位置关系判定
【点评】
本题考查对一次函数和二元一次方程组对应关系的理解，不需要复杂计算，熟练掌握方程组解的情况和直线位置的对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.如图,两条直线的交点坐标$(2,3)$可以看作两个二元一次方程的公共解,其中一个方程是$x-y=-1$,则另一个方程是 (
A.$2x-y=-1$
B.$2x-y=1$
C.$2x+y=-1$
D.$3x-y=-1$
B
)A.$2x-y=-1$
B.$2x-y=1$
C.$2x+y=-1$
D.$3x-y=-1$
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路：一次函数图象的交点坐标就是对应两个二元一次方程组成的方程组的公共解，因此交点(2,3)一定满足所求的二元一次方程。我们可以采用代入验证法，将x=2，y=3逐一代入各选项的方程，判断等式是否成立，成立的即为正确选项，该方法是解这类选择题的快捷方法，计算量小不容易出错。
【解析】
已知两条直线的交点坐标为(2,3)，即x=2，y=3是两个二元一次方程的公共解，因此该组值满足所求方程。
将x=2，y=3分别代入各选项验证：
A选项：左边=2×2 - 3=1，右边=-1，左边≠右边，不符合要求；
B选项：左边=2×2 - 3=1，右边=1，左边=右边，符合要求；
C选项：左边=2×2 + 3=7，右边=-1，左边≠右边，不符合要求；
D选项：左边=3×2 - 3=3，右边=-1，左边≠右边，不符合要求。
因此另一个方程是2x-y=1。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的关系
2.二元一次方程的解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，核心是理解函数交点与方程组解的对应性，采用代入验证法解决这类选择题效率很高，需要掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.8
解题思路：一次函数图象的交点坐标就是对应两个二元一次方程组成的方程组的公共解，因此交点(2,3)一定满足所求的二元一次方程。我们可以采用代入验证法，将x=2，y=3逐一代入各选项的方程，判断等式是否成立，成立的即为正确选项，该方法是解这类选择题的快捷方法，计算量小不容易出错。
【解析】
已知两条直线的交点坐标为(2,3)，即x=2，y=3是两个二元一次方程的公共解，因此该组值满足所求方程。
将x=2，y=3分别代入各选项验证：
A选项：左边=2×2 - 3=1，右边=-1，左边≠右边，不符合要求；
B选项：左边=2×2 - 3=1，右边=1，左边=右边，符合要求；
C选项：左边=2×2 + 3=7，右边=-1，左边≠右边，不符合要求；
D选项：左边=3×2 - 3=3，右边=-1，左边≠右边，不符合要求。
因此另一个方程是2x-y=1。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的关系
2.二元一次方程的解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，核心是理解函数交点与方程组解的对应性，采用代入验证法解决这类选择题效率很高，需要掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.8
7.如果方程组$\begin{cases}y=3x+2, \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，那么直线$y=(-2k+1)x-2$不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7.A
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组由两个一次函数的解析式组成，若方程组无解，说明对应的两条一次函数图象没有交点，即两直线平行。根据两直线平行的性质：一次项系数相等、常数项不相等，可求出k的值；再将k代入待判断的直线解析式，结合一次函数图象与系数的关系，即可判断直线不经过的象限。
【解析】
1. 求k的值：
已知方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，说明直线$y=3x+2$与直线$y=(k+1)x-5$平行。
两直线平行时，一次项系数相等，常数项不相等，因此有：
$k+1=3$，解得$k=2$。
验证常数项：$2≠-5$，符合平行条件，$k=2$成立。
2. 判断直线$y=(-2k+1)x-2$经过的象限：
将$k=2$代入解析式，得：
$-2k+1=-2×2+1=-3$，因此直线解析式为$y=-3x-2$。
对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$：
这里$k=-3＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必过第二、四象限；
$b=-2＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线还会经过第三象限。
综上，直线$y=-3x-2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是掌握“方程组无解对应两直线平行”的对应关系，再结合一次函数系数和图象象限的规律即可求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先明确二元一次方程组由两个一次函数的解析式组成，若方程组无解，说明对应的两条一次函数图象没有交点，即两直线平行。根据两直线平行的性质：一次项系数相等、常数项不相等，可求出k的值；再将k代入待判断的直线解析式，结合一次函数图象与系数的关系，即可判断直线不经过的象限。
【解析】
1. 求k的值：
已知方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，说明直线$y=3x+2$与直线$y=(k+1)x-5$平行。
两直线平行时，一次项系数相等，常数项不相等，因此有：
$k+1=3$，解得$k=2$。
验证常数项：$2≠-5$，符合平行条件，$k=2$成立。
2. 判断直线$y=(-2k+1)x-2$经过的象限：
将$k=2$代入解析式，得：
$-2k+1=-2×2+1=-3$，因此直线解析式为$y=-3x-2$。
对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$：
这里$k=-3＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必过第二、四象限；
$b=-2＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线还会经过第三象限。
综上，直线$y=-3x-2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是掌握“方程组无解对应两直线平行”的对应关系，再结合一次函数系数和图象象限的规律即可求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8.若方程组$\begin{cases}y=kx+b,\\y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无数组解，则$2k+b^2$的值为 ______ 。
答案
8.5
解析
【分析】
二元一次方程组的解对应两个一次函数图像的交点坐标，若方程组有无数组解，说明两个一次函数的图像完全重合。两个一次函数图像重合的条件是：一次项系数相等，常数项也相等，我们可以根据这个条件列方程求出k、b的值，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵方程组$\begin{cases}y=kx+b\\y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无数组解
∴一次函数$y=kx+b$与$y=(3k-1)x+2$的图像重合
可得$\begin{cases}k=3k-1\\b=2\end{cases}$
解方程$k=3k-1$：
移项得$k-3k=-1$
合并同类项得$-2k=-1$
系数化为1得$k=\frac{1}{2}$
将$k=\frac{1}{2}$，$b=2$代入$2k+b^2$：
$2×\frac{1}{2} + 2^2 = 1 + 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像重合的条件、代数式求值
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组解的个数和对应一次函数图像位置的对应关系，解题的关键是根据方程组有无数组解得到两个函数系数的等量关系，进而求出参数计算代数式的值，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
二元一次方程组的解对应两个一次函数图像的交点坐标，若方程组有无数组解，说明两个一次函数的图像完全重合。两个一次函数图像重合的条件是：一次项系数相等，常数项也相等，我们可以根据这个条件列方程求出k、b的值，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵方程组$\begin{cases}y=kx+b\\y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无数组解
∴一次函数$y=kx+b$与$y=(3k-1)x+2$的图像重合
可得$\begin{cases}k=3k-1\\b=2\end{cases}$
解方程$k=3k-1$：
移项得$k-3k=-1$
合并同类项得$-2k=-1$
系数化为1得$k=\frac{1}{2}$
将$k=\frac{1}{2}$，$b=2$代入$2k+b^2$：
$2×\frac{1}{2} + 2^2 = 1 + 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像重合的条件、代数式求值
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组解的个数和对应一次函数图像位置的对应关系，解题的关键是根据方程组有无数组解得到两个函数系数的等量关系，进而求出参数计算代数式的值，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，直线 $ l_1: y = kx + b(k ≠ 0) $ 与直线 $ l_2: y = -x + 3 $ 交于点 $ A(1, m) $，且直线 $ l_1 $ 经过点 $ B(-1,1) $。
(1) 求直线 $ l_1 $ 的函数表达式；
(2) 方程组 $ \begin{cases}y = kx + b, \\ x + y - 3 = 0\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(3) 当 $ kx + b ≥ -x + 3 $ 时，写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(1) 求直线 $ l_1 $ 的函数表达式；
(2) 方程组 $ \begin{cases}y = kx + b, \\ x + y - 3 = 0\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(3) 当 $ kx + b ≥ -x + 3 $ 时，写出自变量 $ x $ 的取值范围。
答案
9.解:(1)把$A(1,m)$代入$l_2:y=-x+3$,得$m=-1+3=2$,所以$A(1,2)$. 把$A(1,2)$,$B(-1,1)$代入$l_1:y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases} 2=k+b, \\ 1=-k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}, \\ b=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$所以直线$l_1$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.(2)$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$ (3)$x≥1$.
解析
【分析】
(1) 要确定直线$l_1$的函数表达式，需要知道直线上两个点的坐标，已知$l_1$过点$B(-1,1)$，另一个点$A(1,m)$在直线$l_2$上，因此先将$A$点代入$l_2$的解析式求出$m$，得到$A$的完整坐标，再用待定系数法将两个点坐标代入$l_1$的解析式，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
(2) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$A$，直接写出交点坐标就是方程组的解。
(3) 不等式$kx+b≥-x+3$的几何意义是直线$l_1$的图象在直线$l_2$图象上方（包含交点）时对应的自变量$x$的取值，结合图象中交点的横坐标即可直接得出取值范围。
【解析】
(1) 先求点$A$的坐标：把$A(1,m)$代入$l_2:y=-x+3$，得$m=-1+3=2$，即$A(1,2)$。
将$A(1,2)$、$B(-1,1)$代入$l_1:y=kx+b(k≠0)$，得方程组：
$\begin{cases} 2=k+b \\ 1=-k+b \end{cases}$
两式相加消去$k$得$3=2b$，解得$b=\frac{3}{2}$，将$b=\frac{3}{2}$代入$2=k+b$，得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线$l_1$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
(2) 方程组中两个方程分别对应直线$l_1$和$l_2$，两直线的交点为$A(1,2)$，因此方程组的解就是交点坐标。
(3) 不等式$kx+b≥-x+3$表示$l_1$的函数值大于等于$l_2$的函数值，观察图象可得，交点$A$右侧（含交点）时$l_1$在$l_2$上方，交点横坐标为1，因此$x$的取值范围为$x≥1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{x≥1}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数与一元一次不等式的关系
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，将函数、方程、不等式结合图象考查，运用数形结合思想可大幅提升解题效率，掌握一次函数与方程、不等式的对应联系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定直线$l_1$的函数表达式，需要知道直线上两个点的坐标，已知$l_1$过点$B(-1,1)$，另一个点$A(1,m)$在直线$l_2$上，因此先将$A$点代入$l_2$的解析式求出$m$，得到$A$的完整坐标，再用待定系数法将两个点坐标代入$l_1$的解析式，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
(2) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$A$，直接写出交点坐标就是方程组的解。
(3) 不等式$kx+b≥-x+3$的几何意义是直线$l_1$的图象在直线$l_2$图象上方（包含交点）时对应的自变量$x$的取值，结合图象中交点的横坐标即可直接得出取值范围。
【解析】
(1) 先求点$A$的坐标：把$A(1,m)$代入$l_2:y=-x+3$，得$m=-1+3=2$，即$A(1,2)$。
将$A(1,2)$、$B(-1,1)$代入$l_1:y=kx+b(k≠0)$，得方程组：
$\begin{cases} 2=k+b \\ 1=-k+b \end{cases}$
两式相加消去$k$得$3=2b$，解得$b=\frac{3}{2}$，将$b=\frac{3}{2}$代入$2=k+b$，得$k=\frac{1}{2}$。
因此直线$l_1$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
(2) 方程组中两个方程分别对应直线$l_1$和$l_2$，两直线的交点为$A(1,2)$，因此方程组的解就是交点坐标。
(3) 不等式$kx+b≥-x+3$表示$l_1$的函数值大于等于$l_2$的函数值，观察图象可得，交点$A$右侧（含交点）时$l_1$在$l_2$上方，交点横坐标为1，因此$x$的取值范围为$x≥1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{x≥1}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数与一元一次不等式的关系
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，将函数、方程、不等式结合图象考查，运用数形结合思想可大幅提升解题效率，掌握一次函数与方程、不等式的对应联系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
