1.(云南中考)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AB=13$,$BC=5$,则 $\sin A$ 的值为 ()

A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{12}$
C.$\dfrac{1}{13}$
D.$\dfrac{5}{13}$

1.D

【分析】
要求$\sin A$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，所以斜边为$AB$，$∠ A$的对边是$BC$，题目已经直接给出了$BC$和$AB$的长度，直接代入正弦定义计算即可，无需额外计算其他边长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义可知，$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
已知$AB=13$，$BC=5$，代入得：
$\sin A=\frac{5}{13}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义；直角三角形的边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对正弦定义的掌握，解题的关键是准确区分锐角的对边和斜边，牢记正弦是对边与斜边的比值，避免和余弦、正切的定义混淆。
【难度系数】
0.9

2.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin B=\frac{1}{2}$。若$AC=6$，则$AB$的长为（）

A.$8$
B.$12$
C.$6\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$

2.B

【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。首先确定∠B的对边为AC、斜边为AB，已知sinB的数值和AC的长度，代入正弦的定义公式即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
已知$\sin B=\frac{1}{2}$，$AC=6$，将已知条件代入上式：
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AB}$
求解得：$AB = 6 × 2 = 12$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角正弦定义的理解与应用，熟练掌握各类锐角三角函数的定义是解决这类题型的关键。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\sin A=\frac{4}{5}$,$AB=15$,求$\sin B$的值和$△ ABC$的周长.

解:$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5},AB=15,\therefore BC=12$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=9$. $\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$,$△ ABC$ 的周长为 $AB+AC+BC=36$.

【分析】
解题时首先梳理已知条件：$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，已知$\sin A$的值和斜边$AB$的长度，要求$\sin B$和三角形周长。第一步根据正弦的定义，锐角的正弦为该角对边与斜边的比值，结合$\sin A$和$AB$的数值可求出$BC$的长度；第二步利用勾股定理，已知直角三角形斜边和一条直角边，可求出另一条直角边$AC$的长度；第三步再根据正弦的定义，用$∠ B$的对边$AC$比斜边$AB$即可求出$\sin B$；最后将三条边长度相加就能得到三角形的周长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义可得$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
已知$AB=15$，代入得$\frac{BC}{15}=\frac{4}{5}$，解得$BC=12$。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$，
$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=15+9+12=36$。
【答案】
$\sin B=\frac{3}{5}$，$△ ABC$的周长为$36$
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于锐角三角函数和直角三角形性质结合的基础题，解题关键是熟记正弦的定义，结合勾股定理准确计算出未知边的长度即可。
【难度系数】
0.8

4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, AB=4, BC=\sqrt{3}$, 则 $\cos B$ 的值是 ()

A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{13}}{4}$

(第4题图)
(第5题图)

4.A

【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。我们先确定$∠ B$的邻边和$Rt△ ABC$的斜边，再代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边}$
其中$∠ B$的邻边为$BC=\sqrt{3}$，斜边为$AB=4$，代入得：
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
A
【知识点】
余弦的定义，锐角三角函数
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，解题关键是准确识记余弦的定义，找准角对应的邻边和斜边，计算难度低。
【难度系数】
0.9

5.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)若$\cos A=\dfrac{1}{2}$,$AB=8$,则$AC$的长为________;
(2)若$AC:AB=3:5$,则$\cos B$的值为________.

5.(1)4 (2)$\frac{4}{5}$

【分析】
本题是直角三角形中余弦定义的应用问题，解题思路如下：
(1) 首先明确锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。已知∠A的余弦值和斜边AB的长，直接代入余弦公式即可求出AC的长；
(2) 已知AC和AB的比例关系，可先设参数表示两条边的长度，再用勾股定理求出BC的长度，最后根据∠B的余弦定义代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：
$\cos A=\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}$
已知$\cos A=\dfrac{1}{2}$，$AB=8$，代入得：
$\dfrac{1}{2}=\dfrac{AC}{8}$
解得$AC=8×\dfrac{1}{2}=4$。
(2) 已知$AC:AB=3:5$，设$AC=3k$，$AB=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{25k^2-9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$，
根据余弦的定义，$\cos B=\dfrac{∠ B的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}$，
代入得$\cos B=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
(1)$4$；(2)$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
余弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心是对锐角余弦定义的理解，解题时要准确区分每个锐角对应的邻边和斜边，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点D,$AC=8$,$AB=10$,求$\cos∠ BCD$的值.

解:$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB,\therefore ∠ BDC=∠ ACB=90°.\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ B+∠ BCD=90°.\therefore ∠ A=∠ BCD.\because AB=10,AC=8,\therefore \cos ∠ BCD=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$.

【分析】
要求$\cos∠BCD$的值，直接计算$△ BCD$的边长比较繁琐，我们可以先推导角的等量关系：在两个直角三角形中，$∠ B$分别和$∠ A$、$∠ BCD$互余，根据同角的余角相等可得$∠ BCD=∠ A$，因此只需要计算$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ A$的余弦值，即可得到$∠ BCD$的余弦值，最后结合余弦的定义计算即可。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ B+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCD$（同角的余角相等）。
$\because AB=10,AC=8$，
$\therefore \cos ∠ BCD=\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
余弦的定义、同角的余角相等、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题通过角的等量转化，将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中锐角的三角函数值，简化了计算过程，是锐角三角函数应用的典型基础题，解题的关键是准确找到相等的角。
【难度系数】
0.7

7. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=6$，则下列结论正确的是（）

A.$\sin A=\dfrac{1}{3}$
B.$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\tan A=2\sqrt{2}$
D.$\tan B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

7.C

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断类题目，解题思路如下：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，先用勾股定理求出第三条边BC的长度；第二步，牢记锐角三角函数的定义：锐角的正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边，正切=对边/邻边；第三步，分别计算四个选项中对应的三角函数值，和选项给出的数值对比，即可选出正确答案。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
逐一分析选项：
A. $\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{1}{3}$，故A错误；
B. $\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{\sqrt{2}}{4}$，故B错误；
C. $\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，故C正确；
D. $\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}≠\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是准确掌握锐角三角函数对应的边的比例关系，计算时注意先求出未知直角边，不要混淆各锐角对应的对边和邻边即可正确求解。
【难度系数】
0.8

8.(教材P120例2变式)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=15$,$AB=17$.
(1)BC的长为;
(2)$\sin A=$,$\cos A=$,$\tan A=$.

8.(1)8 (2)$\frac{8}{17}$ $\frac{15}{17}$ $\frac{8}{15}$

【分析】
本题属于直角三角形的基础计算类题目。(1)已知直角三角形的斜边AB和直角边AC，求另一条直角边BC，可直接用勾股定理求解，勾股定理指直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，将公式变形为$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$后代入数值计算即可。(2)求∠A的三个三角函数值，首先明确各锐角三角函数的定义：正弦是锐角的对边与斜边的比值，余弦是锐角的邻边与斜边的比值，正切是锐角的对边与邻边的比值，找到∠A对应的对边、邻边和斜边，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入$AC=15$，$AB=17$，得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$
(2) 根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17}$
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17}$
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}$
【答案】
(1)8 (2)$\frac{8}{17}$；$\frac{15}{17}$；$\frac{8}{15}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查勾股定理和锐角三角函数定义的应用，熟练掌握相关基础知识即可快速解题。
【难度系数】
0.85

9.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=4$，$BC=3$，则$\sin A$的值为。

9.$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$

【分析】
题目未明确Rt△ABC的直角顶点，因此需要先分类讨论可能的直角位置，排除不可能的情况后，结合勾股定理求出对应斜边长度，再根据正弦的定义（锐角的对边与斜边的比值）计算sinA的值。首先排除∠A为直角的情况：若∠A为直角，则对边BC应为最长边，但BC=3＜AC=4，矛盾，因此仅需讨论∠C为直角、∠B为直角两种情况。
【解析】
本题分两种情况计算：
1. 当∠C为直角时，斜边AB的长度由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
2. 当∠B为直角时，斜边为AC=4，
此时$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
综上，sinA的值为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认直角顶点为C，忽略其他可能的直角位置导致漏解，解题时遇到未明确直角顶点的直角三角形问题，要先全面分析所有可能的直角情况，排除矛盾情形后再计算。
【难度系数】
0.6