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1[中]若实数$a,b,c,d$满足$a-1 = b - \sqrt{2} = c+1 = d+2$，则$a,b,c,d$这四个实数中最大的是（
A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
B
）A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
答案
1.B 【解析】因为 $a-1=b-\sqrt{2}$, 所以 $b=a-1+\sqrt{2}$, 所以 $b＞a$. 因为 $a-1=c+1$, 所以 $a=c+2$, 所以 $a＞c$. 因为 $c+1=d+2$, 所以 $c=d+1$, 所以 $c＞d$, 所以 $b＞a＞c＞d$, 所以 $b$ 最大. 故选 B.
2[中]已知$\min\{a,b,c\}$表示取三个数中最小的那个数.例如:$\min\{|-2|,(-2)^2,(-2)^3\}=-8$.当$\min\{\sqrt{x},x^2,x\}=\frac{1}{16}$时,$x$的值为 (
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.C 【解析】
当 $x=\frac{1}{16}$ 时,$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$,$x^2=\frac{1}{256}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
当 $x=\frac{1}{8}$ 时,$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{8}}$,$x^2=\frac{1}{64}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
当 $x=\frac{1}{4}$ 时,$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$,$x^2=\frac{1}{16}$,$x^2＜x＜\sqrt{x}$, 符合题意
当 $x=\frac{1}{2}$ 时,$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}$,$x^2=\frac{1}{4}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
故选 C.
当 $x=\frac{1}{16}$ 时,$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$,$x^2=\frac{1}{256}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
当 $x=\frac{1}{8}$ 时,$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{8}}$,$x^2=\frac{1}{64}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
当 $x=\frac{1}{4}$ 时,$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$,$x^2=\frac{1}{16}$,$x^2＜x＜\sqrt{x}$, 符合题意
当 $x=\frac{1}{2}$ 时,$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}$,$x^2=\frac{1}{4}$,$x^2＜x$, 且 $x^2≠ \frac{1}{16}$, 不符合题意
故选 C.
3[2026浙江宁波期中]如图,将边长为2的正方形ABCD各边四等分,把一根长度为$\sqrt{31}$的绳子一端固定在点A处,并沿逆时针方向缠绕正方形ABCD,则绳子的另一端点E将落在下列哪条线段上（
A.$CR_3$
B.$R_1R_2$
C.$R_2R_3$
D.$R_1D$
D
）A.$CR_3$
B.$R_1R_2$
C.$R_2R_3$
D.$R_1D$
答案
3.D 【解析】因为正方形 $ABCD$ 的边长为 2,所以 $AB=BC=CD=2$,$CR_1=1.5$,$DR_1=0.5$,所以 $AB+BC+CR_1=5.5$,$AB+BC+CR_1+R_1D=6$. 因为 $5.5＜\sqrt{31}＜6$, 所以绳子的另一端点 $E$ 将落在线段 $R_1D$ 上. 故选 D.
4[2025 浙江绍兴期末,较难]若$\sqrt{3}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,$4-\sqrt{3}$的整数部分为$c$,小数部分为$d$,则$\dfrac{b+d}{ac}$的值为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{3-1}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3+1}}{2}$
A
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{3-1}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3+1}}{2}$
答案
4.A 【解析】因为 $\sqrt{3}$ 的整数部分为 $a$, 小数部分为 $b$,$1＜\sqrt{3}＜2$, 所以 $a=1$,$b=\sqrt{3}-1$. 因为 $1＜\sqrt{3}＜2$, 所以 $-2＜-\sqrt{3}＜-1$, 所以 $2＜4-\sqrt{3}＜3$. 因为 $4-\sqrt{3}$ 的整数部分为 $c$, 小数部分为 $d$, 所以 $c=2$,$d=4-\sqrt{3}-2=2-\sqrt{3}$, 所以 $\frac{b+d}{ac}=\frac{\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}}{1× 2}=\frac{1}{2}$. 故选 A.
5[中]在数轴上,如果点A表示的数是$\sqrt{3}$,那么到点A的距离等于2个单位的点所表示的数是
刷素养 走向重高
$\sqrt{3}+2$或$\sqrt{3}-2$
.刷素养 走向重高
答案
5.$\sqrt{3}+2$ 或 $\sqrt{3}-2$ 【解析】如果这个点在点 $A$ 的右侧,那么表示的数为 $\sqrt{3}+2$; 如果这个点在点 $A$ 的左侧,那么表示的数为 $\sqrt{3}-2$. 故答案为 $\sqrt{3}+2$ 或 $\sqrt{3}-2$.
6 思想方法数形结合[2025福建福州质检,难]问题情境:$\sqrt{2}$有多大? 如图(1),将两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开,拼成一个面积是2的大正方形,则大正方形的边长为$\sqrt{2}$
(1)探究过程:因为$1.4^2=1.96,1.5^2=2.25$,所以$1.4＜\sqrt{2}＜1.5$.设$\sqrt{2}=1.4+x$,将边长为$\sqrt{2}$的正方形分成如图(2)所示的四部分.由面积公式,可得$x^2+2.8x+1.96=2$.因为x的值很小,所以$x^2$更小,略去$x^2$,解得$x≈0.014$(精确到0.001),所以$\sqrt{2}≈$
(2)理解应用:黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,现在仿照上面(1)的探究“$\sqrt{2}$有多大?”的过程,请你写出探究“$\sqrt{5}$有多大?”的过程,然后计算出黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值.(结果均精确到0.001)
(3)操作实践:怎样画出$\sqrt{13}$?现有13个边长为1的小正方形,排列成图(3),类比图(1)的方法,请你在图(3)中用实线把它们分割,然后在图(4)中拼成一个新的大正方形.要求:在图(3)中画出分割线,并在图(4)中直接用实线画出拼成的新的大正方形,且大正方形的边长为$\sqrt{13}$(图(4)中每个小正方形的边长均为1).
(1)探究过程:因为$1.4^2=1.96,1.5^2=2.25$,所以$1.4＜\sqrt{2}＜1.5$.设$\sqrt{2}=1.4+x$,将边长为$\sqrt{2}$的正方形分成如图(2)所示的四部分.由面积公式,可得$x^2+2.8x+1.96=2$.因为x的值很小,所以$x^2$更小,略去$x^2$,解得$x≈0.014$(精确到0.001),所以$\sqrt{2}≈$
1.414
.(2)理解应用:黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,现在仿照上面(1)的探究“$\sqrt{2}$有多大?”的过程,请你写出探究“$\sqrt{5}$有多大?”的过程,然后计算出黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值.(结果均精确到0.001)
(3)操作实践:怎样画出$\sqrt{13}$?现有13个边长为1的小正方形,排列成图(3),类比图(1)的方法,请你在图(3)中用实线把它们分割,然后在图(4)中拼成一个新的大正方形.要求:在图(3)中画出分割线,并在图(4)中直接用实线画出拼成的新的大正方形,且大正方形的边长为$\sqrt{13}$(图(4)中每个小正方形的边长均为1).
答案
6.(1)1.414
【解】(2) 因为 $2.2^2=4.84$,$2.3^2=5.29$, 所以 $2.2＜\sqrt{5}＜2.3$.
设 $\sqrt{5}=2.2+x$, 将边长为 $\sqrt{5}$ 的正方形分成如图(1)所示的四部分, 由面积公式可得 $x^2+4.4x+4.84=5$.
因为 $x$ 的值很小, 所以 $x^2$ 更小, 略去 $x^2$, 解方程得 $x\approx 0.036$, 所以 $\sqrt{5}\approx 2.236$, 所以黄金分割数 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$.
(3) 如图(2), 图(3), 即为所求.
